1、2015-2016 学年江西省红色七校高三（下）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知复数 z= （其中 i 为虚数单位） ，则复数 在坐标平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2 （5 分）已知集合 M=x|y=lg ，N=y|y=x 2+2x+3，则（ RM）N=（ ）Ax|10x1 Bx|x 1 Cx|x2 Dx|1x23 （5 分） 是 成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知 ，由如程序框图输
2、出的 S=（ ）A1 B C D15 （5 分）一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于（ ）A B2 C3 D66 （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则 的最小值为（ ）A B C D47 （5 分）二面角 l 等于 120，A、B 是棱 l 上两点， AC、BD 分别在半平面 、 内，ACl，BD l ，且 AB=AC=BD=1，则 CD 的长等于（ ）A B C2 D8 （5 分）设 O 是平面上一定点， A，B，C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足， 0，+） ，则点 P 的轨迹经过ABC
3、的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心9 （5 分）等差数列a n，b n的前 n 项和分别为 Sn，T n，若 ，则 =（ ）A16 B C D10 （5 分）过双曲线 =1（a0，b0）的左焦点 F（ c，0） （c0）作圆 x2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 = （ + ） ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D11 （5 分）记集合 M=（x，y）|（x2cos） 2+（y2sin ） 21，任取点 PM，则点 P（x，y）|x2+y24的概率（ ）A B C D12 （5 分）已知定义在（0，+）上的单调函数 f（x） ，对 x（0，+） ，都有
4、 ff（x）log 3 x=4，则函数 g（x）=f（x1） f（x 1）3 的零点所在区间是（ ）A （1，2） B （2，3） C （ ，1） D （0， ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）若二项式（a ） 6 的展开式的常数项为 160，则 a= 14 （5 分）已知函数 f（x） = ，则 f（ log27）的值是 15 （5 分）我们可以利用数列a n的递推公式 求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 8 个 5 是该数列的第 项16 （5 分）抛物线 N1：y=ax 2+bx+c 与抛物线 N2
5、：y=ax 2+dx+e 的顶点分别为 P1（x 1，y 1）与 P2（x 2，y 2） ，且两抛物线相交于点 A（12， 21）与 B（28，3） （均异于顶点） ，则 = 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c已知且 ；（）求角 B 的大小；（）设 T=sin2A+sin2B+sin2C，求 T 的取值范围18 （12 分）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得
6、分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表分数（分数段） 频数（人数） 频率60，70） 9 x70，80） y 0.3880，90） 16 0.3290，100） z s合 计 p 1（）求出上表中的 x，y，z，s，p 的值；（）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序已知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；记高一二班在决赛中进入前三名的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ACBD 于 O，E 为线段
7、 PC 上一点，且ACBE，（1）求证：PA平面 BED；（2）若 BCAD ，BC= ，AD=2 ，PA=3 且 AB=CD，求 PB 与面 PCD 所成角的正弦值20 （12 分）已知动圆 C 过点 A（2，0） ，且与圆 M：（x 2） 2+y2=64 相内切（1）求动圆 C 的圆心的轨迹方程；（2）设直线 l：y=kx +m（其中 k，mZ）与（1）所求轨迹交于不同两点 B，D，与双曲线 交于不同两点 E，F，问是否存在直线 l，使得向量 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x） =lnx ，g（x）=ax+b（1）若函数 h（x）=f
8、（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求实数 a 的取值范围；（2）若直线 g（x）=ax+b 是函数 f（x）=lnx 图象的切线，求 a+b 的最小值；（3）当 b=0 时，若 f（x）与 g（x）的图象有两个交点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，求证：x 1x22e 2（取 e 为 2.8，取 ln2 为 0.7，取 为 1.4）请考生在（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分） 如图，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 的
9、直径，AE CD 于点 E，DA 平分BDE（1）证明：AE 是O 的切线；（2）如果 AB=2 ，AE= ，求 CD选修 4-4：坐标系与参数方程 23平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，圆 C 的方程为 x2+y2=4以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程；（）求直线 l 和圆 C 的交点的极坐标（要求极角 0， 2） ）选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=|x |+|x+m|（m 0）（1）证明：f（x）4；（2）若 f（2）5，求 m 的取值范围2015-2016 学年江西省红色七校高
10、三（下）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2016 春 江西月考）已知复数 z= （其中 i 为虚数单位） ，则复数 在坐标平面内对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 ，再求出复数 在坐标平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：z= = ， 则复数 在坐标平面内对应的点的坐标为：（ ， ） ，位于第四象限故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，考查了复数
11、的代数表示法及其几何意义，是基础题2 （5 分） （2015 佳木斯校级三模）已知集合 M=x|y=lg ，N=y|y=x 2+2x+3，则（ RM）N=（ ）Ax|10x1 Bx|x 1 Cx|x2 Dx|1x2【分析】利用函数的定义域求出 M，函数的值域求出 N，即可求解（ RM）N【解答】解：集合 M=x|y=lg ， ，解得：0x1，M=x|0x1 ， RM=x|x0 或 x1N=y|y=x2+2x+3=y|y2 ，（ RM）N= 2，+） 故选：C【点评】本题考查分式不等式的解法，函数的值域以及函数的定义域，交、并、补的运算3 （5 分） （2014 秋 杨浦区校级期中） 是 成立的
12、（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：当 时， 成立，即充分性成立，当 x=10， ，满足 成立但 不成立，即必要性不成立故 是 成立充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键4 （5 分） （2016 鹰潭一模）已知 ，由如程序框图输出的 S=（ ）A1 B C D1【分析】先根据定积分几何意义求出 M，然后根据定积分的运算公式求出 N，最后根据选择结构进行求解即可【解答】解：M= = =N= =sinx =1MN，
13、不满足条件 MN 则 S=M=故选 C【点评】本题主要考查了以选择结构为载体考查定积分的应用，同时考查了计算能力，属于基础题5 （5 分） （2014 张掖校级模拟）一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于（ ）A B2 C3 D6【分析】根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四锥锥，结合三视图中标识的数据，我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案【解答】解：由已知三视图我们可得：棱锥以俯视图为底面以侧视图高为高由于侧视图是以 2 为边长的等边三角形，故 h=结合三视图中标识的其它数据，S 底面 = （1+2）2=3故 V=
14、3 =故选 A【点评】本题考查的知识点是根据三视图求几何体的体积，其中根据已知三视图，结合简单几何体的结构特征易判断出几何体的形状，和相关的几何量（底面边长，高）是解答本题的关键6 （5 分） （2009 山东）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为 12，则 的最小值为（ ）A B C D4【分析】已知 2a+3b=6，求 的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线 ax+by=z（a 0，b0 ）过直线 xy+2=0 与直线 3xy6=0 的交点（4，6）时，目标函数
15、z=ax+by（a 0，b 0）取得最大 12，即 4a+6b=12，即 2a+3b=6，而 = ，故选 A【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值7 （5 分） （2011 春 兖州市期末）二面角 l 等于 120，A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面、 内，ACl，BDl，且 AB=AC=BD=1，则 CD 的长等于（ ）A B C2 D【分析】由已知中二面角 l 等于 120，A、B 是棱 l 上两点， AC、BD 分别在半平面 、 内，ACl，BD l ，且 AB=AC=BD=1，代
16、入异面直线上两点之间距离公式，即可求出 CD 的长【解答】解：A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面 、 内，ACl，BDl ，又二面角 l 的平面角 等于 120，且 AB=AC=BD=1，CD= = =2故选 C【点评】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中熟练掌握异面直线上两点之间的距离公式，是解答本题的关键8 （5 分） （2015 春 延边州校级期末）设 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点 P满足 ， 0， +） ，则点 P 的轨迹经过ABC 的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心【分析】可先根据数量积为零得出 与 （ + ）垂直
17、，可得点 P 在 BC 的高线上，从而得到结论【解答】解： ， =（ + ） 又 （ + ）=| |+| |=0 与 （ + ）垂直，即 ，点 P 在 BC 的高线上，即 P 的轨迹过ABC 的垂心故选：D【点评】本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，解答关键是得出 与 （ + ）垂直，属于中档题9 （5 分） （2016 春 江西月考）等差数列a n，b n的前 n 项和分别为 Sn，T n，若 ，则 =（ ）A16 B C D【分析】设 Sn=n（38n+14） ，T n=n（2n+1） ，利用递推关系可得： an，b n【解答】解：设 Sn=n（38n+14） ，T n=n（2n+1） ，可得 n2 时，a n=38n2+14n38（n 1） 2+14（n1）=76n24同理可得：b n=4n1 = =16故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分） （2015 余杭区模拟）过双曲线 =1（a 0，b0）的左焦点 F（ c，0） （c 0）作圆 x2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 = （ + ） ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D
