1、2015-2016 学年广西桂林中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=x|1x1，B=x|x 22x0，则 AB=（ ）A0，1 B 1，2 C 1，0 D （，1 2，+）2 （5 分）已知 b 为实数，i 为虚数单位，若 为实数，则 b=（ ）A1 B2 C1 D23 （5 分）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+）单调递增的函数是（ ）Ay= |lgx| By=2 |x| Cy=| | Dy=lg|x|4 （5 分）已知函数 f（x）= ，则函数 f（x
2、）的零点为（ ）A ，0 B 2，0 CC、 D05 （5 分）已知双曲线 kx2y2=1（k0）的一条渐近线与直线 2x+y3=0 垂直，则双曲线的离心率是（ ）A B C4 D6 （5 分）设a n是公差不为零的等差数列，满足 ，则该数列的前 10 项和等于（ ）A10 B5 C0 D57 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）A B C D78 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S 为 ，则判断框中填写的内容可以是（ ）An=6 Bn6 Cn6 Dn89 （5 分）设 f（x）=lnx，0ab，若 p=f（ ） ，q=f（ ） ，r=
3、（f（a）+f （b） ） ，则下列关系式中正确的是（ ）Aq=rp Bp=rq Cq=rp Dp=r q10 （5 分）直三棱柱 ABCA1B1 C1 的六个顶点都在球 O 的球面上若 AB=BC=1，ABC=120 ，AA 1=2，则球 O 的表面积为（ ）A4 B16 C24 D811 （5 分）已知圆 C：x 2+y22x+4y11=0，在区间4，6 上任取实数 m，则直线 l：x+y+m=0 与圆 C 相交所得ABC 为钝角三角形（其中 A、B 为交点，C 为圆心）的概率为（ ）A B C D12 （5 分）设 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f（x） ，若 f（x）+f
4、（x）1，f（0）=2015，则不等式 exf（x）e x+2014（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A （2014，+） B （ ，0） （2014，+） C （ ，0） （0，+） D （0，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13 （5 分）设向量 =（x，1） ， =（4，x） ，且 ， 方向相反，则 x 的值是 14 （5 分）二项式（ax+2） 6 的展开式的第二项的系数为 12，则实数 a= 15 （5 分）已知 x，y 满足 ，且目标函数 z=3x+y 的最小值是 5，则 z 的最大值为 16 （5 分）已知函数 f（x
5、） = ，若|f（ x）|ax 1 恒成立，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）设函数 f（x）= ，其中向量 =（2cosx， 1） ， =（cosx ， sin2x） ，xR（1）求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知 f（A）=2，b=1，ABC 的面积为 ，求的值18 （12 分）设数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a1=2，a n+1=2Sn+2（n=1，2，3）（1）求 a2；（2）求数列a n的通项公式；（3）设 b
6、n= ，求证：b 1+b2+bn 19 （12 分）某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天 60 名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：网购金额（单位：千元）频数 频率（0， 0.5 3 0.05（0.5， 1 x p（1， 1.5 9 0.15（1.5， 2 15 0.25（2， 2.5 18 0.30（2.5， 3 y q合计 60 1.00若网购金额超过 2 千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过 千元的顾客定义为“非网购达人” ，已知“非网购达人” 与“网购达人”人数比恰好为 3：2（1）试确定 x，y
7、，p，q 的值，并补全频率分布直方图（如图） （2）该营销部门为了进一步了解这 60 名网友的购物体验，从“非网购达人” 、 “网购达人” 中用分层抽样的方法确定 10 人，若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查设 为选取的 3 人中“网购达人” 的人数，求 的分布列和数学期望20 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面 ABCD，PDPB，PA=PD（）求证：平面 PCD平面 PAB；（）设 E 是棱 AB 的中点，PEC=90 ，AB=2 ，求二面角 EPCB 的余弦值21 （12 分）已知椭圆 C： 的右焦点 ，点 在椭圆 C 上（）求椭
8、圆 C 的标准方程；（）直线 l 过点 F，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，过原点 O 作直线 l 的垂线，垂足为 P，如果OAB 的面积为 （ 为实数） ，求 的值22 （12 分）已知函数 f（x） =xalnx（aR） （）当 a=2 时，求曲线 f（ x）在 x=1 处的切线方程；（）设函数 h（x）=f（x）+ ，求函数 h（x）的单调区间；（）若 g（x）= ，在1，e（e=2.71828）上存在一点 x0，使得 f（x 0）g（x 0）成立，求 a 的取值范围2015-2016 学年广西桂林中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小
9、题，每小题 5 分，共 60 分每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2015 琼海校级模拟）已知集合 A=x|1x 1，B= x|x22x0，则 AB=（ ）A0，1 B 1，2 C 1，0 D （，1 2，+）【分析】求出集合 B，根据交集定义进行求解【解答】解：B=x|x 22x0 =x|0x2，则 AB=x|0x1=0，1，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2 （5 分） （2015 惠州模拟）已知 b 为实数，i 为虚数单位，若 为实数，则 b=（ ）A1 B2 C1 D2【分析】根据复数的有关概念进行化简即可【解答】解： = ，所以若 为实
10、数，则 2+b=0，解得 b=2，故选：B【点评】本题主要考查复数的运算和复数的有关概念，比较基础3 （5 分） （2015 秋 桂林校级月考）下列函数中，既是偶函数，又在（0，+）单调递增的函数是（ ）Ay= |lgx| By=2 |x| Cy=| | Dy=lg|x|【分析】根据偶函数定义域关于原点对称，指数函数的单调性，反比例函数的单调性，以及对数函数的单调性，偶函数的定义便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Ay=|lgx|的定义域为x|x0，定义域不关于原点对称，不是偶函数，该选项错误；Bx0 时， ，该函数在（0，+）上单调递减，该选项错误；Cx0 时， ；该函数在（
11、0，+）上单调递减，该选项错误；D该函数定义域为x|x0 ，设 y=f（x） ，显然 f（x）=f（x） ；该函数为偶函数；x0 时，y=lg| x|=lgx，该函数在（ 0，+）上单调递增；该选项正确故选：D【点评】考查偶函数的定义及判断方法，偶函数定义域的特点，指数函数、反比例函数，以及对数函数的单调性4 （5 分） （2014 秋 杭州期末）已知函数 f（x）= ，则函数 f（x）的零点为（ ）A ，0 B 2，0 CC、 D0【分析】函数 f（x）= 的零点即方程 f（ x）=0 的根，解方程即可【解答】解：当 x1 时，3 x1=0；解得，x=0；当 x1 时，1+log 2x=0，
12、解得，x= （舍去） ；故函数 f（x）的零点为 0；故选 D【点评】本题考查了分段函数的应用，属于基础题5 （5 分） （2015 淮南一模）已知双曲线 kx2y2=1（k0）的一条渐近线与直线 2x+y3=0 垂直，则双曲线的离心率是（ ）A B C4 D【分析】已知双曲线 kx2y2=1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直，可求出渐近线的斜率，由此求出 k 的值，得到双曲线的方程，再求离心率【解答】解：由题意双曲线 kx2y2=1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直，可得渐近线的斜率为 ，又由于双曲线的渐近线方程为 y= x故 = ，k= ，可得 a=2，b=1，c= ，
13、由此得双曲线的离心率为 ，故选：A【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直，由此关系求 k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证6 （5 分） （2015 南昌校级二模）设a n是公差不为零的等差数列，满足 ，则该数列的前10 项和等于（ ）A10 B5 C0 D5【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到 a1+a10=0，则可求得数列的前10 项和等于 0【解答】解：设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d（d0） ，由 ，得 ，整理得：2a 1+9d=0，即 a1+a10=0， 故选：C【点评】本题考查了
14、等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础的计算题7 （5 分） （2015 菏泽二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）A B C D7【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，分别计算体积后，相减可得答案【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体，正方体的棱长为 2，故体积为：222=8，三棱锥的底面是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1，故体积为： 111= ，故几何体的体积 V=8 = ，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体
15、的形状8 （5 分） （2015 绥化校级二模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 S 为 ，则判断框中填写的内容可以是（ ）An=6 Bn6 Cn6 Dn8【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，n 的值，当 n=8 时，S= ，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 ，故判断框中填写的内容可以是 n6【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S= ，n=4满足条件，S= = ，n=6满足条件，S= = ，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 ，故判断框中填写的内容可以是 n6，故选：C【点评】本题主要考查了
16、程序框图和算法，正确写出每次循环得到的 S 的值是解题的关键，属于基础题9 （5 分） （2015 陕西）设 f（x）=lnx，0ab，若 p=f（ ） ，q=f（ ） ，r= （f（a ）+f（b） ） ，则下列关系式中正确的是（ ）Aq=rp Bp=rq Cq=rp Dp=r q【分析】由题意可得 p= （lna+lnb ） ，q=ln （ ）ln（ ）=p，r= （lna+lnb） ，可得大小关系【解答】解：由题意可得若 p=f（ ）=ln（ ）= lnab= （lna+lnb） ，q=f（ ）=ln （ ）ln （ ）=p，r= （f（a）+f（b） ）= （lna+lnb ） ，p=
17、rq，故选：B【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题10 （5 分） （2015 秋 桂林校级月考）直三棱柱 ABCA1B1 C1 的六个顶点都在球 O 的球面上若AB=BC=1， ABC=120，AA 1=2 ，则球 O 的表面积为（ ）A4 B16 C24 D8【分析】通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为 O，球心为 O，在 RTOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可【解答】解：在ABC 中 AB=BC=1，ABC=120，由余弦定理可得 AC= ，由正弦定理，可得ABC 外接圆半径 r=1，设此圆圆心为 O，球心为 O，在 RTOAO中，
18、得球半径 R= =2，故此球的表面积为 4R2=16故选 B【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力11 （5 分） （2015 秋 桂林校级月考）已知圆 C：x 2+y22x+4y11=0，在区间4，6上任取实数 m，则直线l：x+y+m=0 与圆 C 相交所得ABC 为钝角三角形（其中 A、B 为交点，C 为圆心）的概率为（ ）A B C D【分析】求出圆心到直线 l： x+y+m=0 的距离为 d= ，利用直线 l：x+y+m=0 与圆 C 相交所得ABC 为钝角三角形，可得 4 ，
19、求出 m 的范围，以长度为测度，即可求出概率【解答】解：圆 C：x 2+y22x+4y11=0 的圆心为（1，2） ，半径为 4，圆心到直线 l：x+y+m=0 的距离为 d=直线 l：x+y+m=0 与圆 C 相交所得ABC 为钝角三角形， 4 ，3 m 5，长度为 8，区间4，6 的长度为 10，所求的概率为 = ，故选：B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查几何概型，属于中档题12 （5 分） （2014 秋 洛阳期中）设 f（x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f（x） ，若 f（x）+f （x）1，f（0）=2015 ，则不等式 exf（x）e x+2014（其中 e 为自然
20、对数的底数）的解集为（ ）A （2014，+） B （ ，0） （2014，+） C （ ，0） （0，+） D （0，+）【分析】构造函数 g（x）=e xf（x）e x， （xR） ，研究 g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解【解答】解：设 g（x）=e xf（ x）e x， （xR） ，则 g（x）=e xf（x）+e xf（x）e x=exf（x）+f（x）1，f（x）+f （x ）1，f（x）+f （x ） 10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，e xf（ x）e x+2014，g（x）2014，又g（0）=e 0f（0）e 0=20151=2014，g（x
21、）g（0） ，x0故选：D【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13 （5 分） （2013 秋 永昌县校级期中）设向量 =（x，1） ， =（4，x） ，且 ， 方向相反，则 x 的值是 2 【分析】由 ， 方向相反，可得 且 0，即（x，1）= （4，x） ，由此求得 x 的值【解答】解：向量 =（x，1） ， =（4，x） ，且 ， 方向相反，设 ，则 0，（x，1）=（4，x）即 x2=4，解得 x=2，x=2（舍去） ，x 的值为2故答案是2【点评】本题主要考查相反的向量的定义，要熟练掌握共线向量定理及其坐标表示14 （5 分） （2015 秋 桂林校级月考）二项式（ax+2） 6 的展开式的第二项的系数为 12，则实数 a= 1 【分析】根据题意，利用二项式展开的第二项系数，求出 a 的值【解答】解：由题意，二项式展开的第二项为
