初升高——函数周期性.doc

1、 广元凹凸个性化教育 初升高数学-第 8 次课 可以成功 可以失败 不可以放弃 信王哥 得高分 1函数周期性1周期函数：对于 定义域内的每一个 ，都存在非零常数 ，使得()fxxT恒成立，则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，则()(fxTf()fT()fx（ ）也是 的周期，所有周期中的最小正数叫 的最小正周k,0Zk()fx ()f期2几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数 满足对定义域内任一实数 （其中 为常数） ，yfxxa(1) ，则 是以 为周期的周期函数；ayfxT(2) ，则 是以 为周期的周期函数；fxfxf2a(3) ，则 是以 为周期的周期函数；1afx(4)

2、 ，则 是以 为周期的周期函数；fxbfTab以上（ 1） -（ 4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。(5)函数 满足 （ ） ，若 为奇函数，则其周期为()yfx()()faxf0a()fx，若 为偶函数，则其周期为 4Ta 2T(6)函数 的图象关于直线 和 都对称，则函数()yfxRxba是以 为周期的周期函数；()fx2ba(7)函数 的图象关于两点 、 都对称，则函数()yfx,0Aa,Bba是以 为周期的周期函数；()fx2ba(8)函数 的图象关于 和直线 都对称，则函数()yfxR,0axba是以 为周期的周期函数；()fx4ba广元

3、凹凸个性化教育 初升高数学-第 8 次课 可以成功 可以失败 不可以放弃 信王哥 得高分 2（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。（三）主要方法：1判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的 恒有 ；x()(fTfx二是能找到适合这一等式的非零常数 ，2解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值（四）典型例题【例 1】 （2009 年安徽卷理）函数 对于任意实数 满足条件 ，fxx12fxf若 则 _。5,ff【例 2】 （2009 天津卷）设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 的图象关于直

4、yfx线 对称，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.1x【例 3】 （学而思培优试题巧解）已知函数 满足 ，求yfx1()fxfx的值。5()2f【例 4】 （2011 全国卷 2）设 是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时， =()fx ()fx，则(1)x(A) - (B) (C) (D)2412【例 5】 （2011 山东卷）已知 f（x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当0x2 时，f（x）=x 3-x，则函数 y=f（x）的图像在区间0,6上与 x 轴的交点个数为（A）6 （B）7 （C）8 （D）9【例 6】 已知 是定义在 上

5、的函数， 且()fxR(10)()fxf广元凹凸个性化教育 初升高数学-第 8 次课 可以成功 可以失败 不可以放弃 信王哥 得高分 3，则 （ ）(20)(20)fxfx()f是A. 周期为 20 的奇函数 B. 周期为 20 的偶函数C. 周期为 40 的奇函数 D. 周期为 40 的偶函数（五）课堂强化【例 7】 （2005 福建卷 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 ，则()fx (2)0f方程 =0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） ()fA5 B4 C3 D2【例 8】 定义在 上的函数 满足 ，且函数 为奇函R()fx()(0ffx3fx数给出以下 3 个命

6、题：函数 的周期是 6；()fx函数 的图象关于点 对称；302，函数 的图象关于 轴对称，其中，真命题的个数是（ ） ()fxyA3 B2 C1 D0【例 9】 设 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 对称且对任意()fx 1x，都有 ， 12,0,1212()()fxfx(0fa求 及 ；()f4f证明 是周期函数；x广元凹凸个性化教育 初升高数学-第 8 次课 可以成功 可以失败 不可以放弃 信王哥 得高分 4【例 10】 已知定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称图形，且R()fx304，满足 ， ， 那么，3()2fxf(1)f(0)2f的值是（ ）1(06ffA1 B2

7、C D 2【例 11】 (2006 年山东卷）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x),则,f(6)的值为 ( )(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2【例 12】 设 是 上的奇函数， ，当 0x 1 时，fx,2fxf，则 f（7.5）等于（ ）A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.5【例 13】 已知函数 f(x)的定义域为 N，且对任意正整数 x，都有 f(x)f(x 1)f(x1) 若 f(0)2004，求 f(2004)【例 14】 函数 在 上有意义，且满足： 是偶函数； ；()fxR()fx(0)9f是奇函数，求 1g(208f【例 15】

8、是定义在 R 上的函数，对任意的 xR，都有 和()fx (3)(fxf，设 ，求证 是周期函数；如果2()ff ()gxf)gf（998）=1002 ，求 f（2000）的值（05 广东卷）设函数 在 上满足 ， ，()fx,)(2)()fxf(7)()fxf广元凹凸个性化教育 初升高数学-第 8 次课 可以成功 可以失败 不可以放弃 信王哥 得高分 5且在闭区间0，7上，只有 (1)30f（）试判断函数 的奇偶性；yx（）试求方程 =0 在闭区间-2005 ，2005上的根的个数，并证明你的()f结论【例 16】 对每一个实数对 x,y,函数 f(t)满足 f(xy)f( x)f( y)xy1,若 f(2)=2,试求满足 f(a) a 的所有整数 a.（六）课后练习【例 17】 （2011 年陕西高考题）设函数 满足()fxR,则 的图像可能是（ ）(),(2)fxfxy【例 18】 （2011 年上海高考试题）设 是定义在 上、以 1 为周期的函数，若()gxR在 上的值域为 ，则 在区间 上的()()fxg3,42,5()fx0,值域为