1、勾股定理论文一勾股定理的简介勾股定律是初等几何的著名定理之一。直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积，即如果直角三角形两直角边长度为 a 和 b，斜边长度为 c，那么 a2+b2=c2。此定理很早已被发现。古埃及人在 4500 年前建造金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，就广泛地使用勾股定理。古巴比伦（公元前 1800 到 1600 年）的数学家也提出许多勾股数组。数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。中国古代称直角三角形的直角边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理.二勾股定理在求角问题中的应用 在初中数学当中，有些求角
2、问题使用常规方法难以解决，而使用勾股定理则能够很快地解决。因此，将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用。例题 2：在等边ABC 中，有一点 P，已知 PA、PB、PC 分别等于 3、4、5，试问APB 等于多少度？解：把APC 绕着点 A 旋转，旋转至ABQ，让 AB 和AC 能够重合；此时，APAQ3，BQPC5， ，PAQBAC60；所以，PAQ是等边三角形；所以，PQ3；在三角形 PBQ 当中，PB、BQ 分别等于 4、5，所以，三角形 PBQ 是直角三角形，其中BPQ90；所以，APBBPQAPQ90+60150。三勾股定理在实际问题中的应用 对于勾股定理，还能够解决实际问题
3、，并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。例题 4：一棵小树高为 4 米，现有小鸟 A 停留在树梢上，此时小鸟 B 停留在高 20 米的一棵大树树梢上发出友好的叫声，已知大树与小树的距离为 12 米，如果小鸟 A 以 4m/s 的速度飞往大树树梢，试问：小鸟 A 至少需要多长时间才能够与小鸟 B 在一起？解：如图 4，根据题干的已知条件可知，AC16m，BC12m，由勾股定理得：AB2AC2BC2162122，求得 AB20m；所以，小鸟 A 所需时间为 20/45 秒。笔者认为，利用勾股定理解决实际问题，需要弄清题意，进而对题目中所涉及的直角三角形找出来，然后结合勾股定理进行求解。在例题
4、 4 中，最主要的步骤便是依照题意，结合勾股定理，然后画出大树与小树之间的直角三角形，在充分利用已知条件的基础上，便能够使问题有效解决。四勾股定理的别名勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石” ，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000 多年，据记载，商高(约公元前 1120 年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”
5、，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五” 因此，勾股定理在我国又称“商高定理” 在公元前 7至 6 世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理” 。还有的国家称勾股定理为“平方定理” 。 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理” 前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876 年 4 月1 日） 。五勾股定理的证
6、明【证法 1】 （项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P.过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = ， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90
7、，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF. 【证法 2】 （赵浩杰证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以 CF，AE 为边长做正方形FCJI 和 AEIG， EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J 在同一直线上， CJ=CF=a，CB=CD=c，CJB = CFD = 90， RtCJB RtCFD ， 同理，RtABG RtADE， RtCJB RtCFD RtABG RtADE ABG = BCJ, B
8、CJ +CBJ= 90, ABG +CBJ= 90, ABC= 90, G,B,I,J 在同一直线上， 【证法 3】 （欧几米得证明） 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过 C作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 ，即 a+b=c 【证法 4】欧几里得的证法 几何原本中的
9、证明在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设ABC 为一直角三角形，其中 A 为直角。从 A 点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。 （SAS 定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理 3） 。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等
10、面积的长方形。其证明如下： 设ABC 为一直角三角形，其直角为 CAB。 其边为 BC、AB、和CA，依序绘成四方形 CBDE、BAGF 和 ACIH。 画出过点 A 之BD、CE 的平行线。此线将分别与 BC 和 DE 直角相交于 K、L。 分别连接 CF、AD，形成两个三角形 BCF、BDA。 CAB 和BAG都是直角，因此 C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证 B、A和 H。 CBD 和FBA 皆为直角，所以ABD 等于FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以ABD 必须相等于FBC。 因为 A 与 K 和 L 是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于
11、ABD。 因为 C、A 和 G 有共同线性，所以正方形 BAGF必须二倍面积于FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB2。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2。 把这两个结果相加， AB2+ AC2; = BDBK + KLKC 由于 BD=KL，BDBK + KLKC = BD(BK + KC) = BDBC 由于 CBDE 是个正方形，因此 AB2 + AC2= BC2。 此证明是于欧几里得几何原本一书第 1.47 节所提出的。六总结勾股定理在几何学当中占有非常重要的地位，它不仅仅只是一种解决数学问题的定理那么简单，它还与我们的日常生活息息相关。在数学教学过程中，学习勾股定理进行解题，不但能够提高学生解题的效率，而且还能够让学生对生活引发思考，从而在学习数学过程中，体会到生活与数学学科的密切联系，进一步为数学在生活中的实际应用奠定良机。
