1、1 基于 优化理论 的 任务 定价 与分配 模型 摘要 APP 拍照任务定价问题是一个任务发布者 （ APP 平台） 和任务完成者 （会员） 间 双向决策问题。任务发布者希望在任务成本较小的情况下，任务的完成量 尽可能的大；而作为任务完成者追求任务完成后的收益尽可能的大。 问题 1： 我们得到任务 定价 主要 与 任务附近范围内的 会员密集程度 、 给定区域内 任务集中程度 、 任务难易程度 有关 。 根据所给数据 ，通过定量分析方法，得到任务的定价与上述三个因素满足规律 0 0 .5i i i iP P R S Q 。 针对该定价规律，我们分析了任务未完成的原因主要有 ： （ 1）任务本身定
2、价较低，使会员对该任务的满意度未达到期望值；（ 2） 高收入地区会员期望值较高，导致在其他地区能够完成的任务在该地区未被完成；（ 3） 高信誉会员的任务额较高，而且有优先选择任务的权力，预约任务过多，导致很多任务没及时完成。 问题 2： 首先， 针对问题一定价规律中存在的缺陷，我们对 问题一中的定价模型进行改进。 （ 1）对于经济发达的地区，会员的收益期望值较高，在定价时， 应当 适当提高了该地区任务的定价；（ 2）考虑到高信誉会员优先选择任务和限额的特点，在计算会员密集程度时，把一个高信誉会员当做若干个会员处理。 建立了新的定价模型。其次，根据新的定价模型， 以任务有效完成量最大为目标，以会
3、员预定限额、会员接单期望、不同城市 经济发展水平的 用户期望 值 等条件 为约束，建立 了任务分配的 优化模型。 考虑到模型约束条件比较复杂，现有方法很难对模型进行求解，我们设计了一种 基于最大流的 启发式算法， 利用 MATLAB 编程，对模型进行求解。 求解结果与问题一比较，在总费用基本不变的情况下，使得任务的完成率 提高了 24.5%。 问题 3： 为了进一步提高任务的完成率 ， 借鉴了商品的打包销售方法 ， 我们 给出三条具体的打包原则： （ 1） 距离相近的任务（集中度较高的任务）应考 虑打包发布；（ 2）未完成的任务应尽量与自己距离相近的已完成的任务打包发布；（ 3）距离相近的价格
4、差比较大的任务应尽量考虑打包发布。按照 该 原则 ，我们对任务进行打包处理，把每个包看作一个新的任务。类似于问题二，重新建立了打包情况下的任务定价模型和任务分配优化 模型。通过模型的求解， 得到在总费用大致不变 的情况下，使 任务的总完成率在问题二的基础上又提高了 7.2%。 问题 4： 对于给定的任务地理位置和会员的分布情况，由于此时任务的难易程度未知 ，在 问题三的定价模型中，舍弃了问题难易度因素，只利用 会员密集程度 、给定区域内 任务集 中程度 、 不同地区会员的期望值不同等因素， 建立了任务定价模型和任务分配优化 模型。得到任务的完成率是 87.8%，较好地解决了任务的定价和分配问题
5、。 定价模型 考虑了 会员密集程 度、任务集中度、 任务难易程度 等因素 。任务优化分配模型提高了任务的有效完成率， 基于最大流的 启发式算法计算精度高 、运算时间短 。 关键词： 任务定价 定价规律 打包原则 优化模型 2 1 问题重述 1.1 问题的背景 随着 移动互联网 的高速发展， “拍照赚钱 ”这种 基于移动互联网的自助式劳务众包平台 应运而生。相比传统的市场调查，它不但 节省调查成本 ，而且 有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期 。 APP 作为“拍照赚钱”平台运行的核心 。用户在 APP上注册会员，完成所 领取 的拍照 任务 后即可赚取标定的酬金 。而 APP 中 任务
6、的 定价是维持平台运行的核心要素， APP 拍照任务定价问题是一个任务发布者（ APP 平台）和任务完成者（会员）间双向决策问题。任务发布者希望在任务成本较小的情况下，任务的完成量尽可能的大；而作为任务完成者追求任务完成后的收益尽可能的大。 若定价不合理，会使任务无人问津 。因此 ，如何合理定价成为当下一个非常热门 而重要 的话题。 1.2 问题的相关信息 根据题目 提供的相关信息， 可知如下数据条件： 附件 1 给出了 835 个任务的 位置、定价和完成情况 ，其中 “ 1”表示完成，“ 0”表示未完成； 附件 2 包含 了 1877 个会员的 位置、信誉值 、 任务开始预订时间和预订限额
7、。 原则上会员信誉越高，越优先 挑选任务，其配额就越大 ； 附件 3 给出 了 2066 个 任务的位置信息 。 1.3 需解决的问题 问题一： 分析 附件 1 中 的任务数据， 建立相应的数学模型， 研究项目的 任务定价规律， 并对 未完成的 任务 找出 原因 ； 问题二： 为附件 1 中的项目 设计 一种 新的任务定价方案，并 与 原方案进行比较 ； 问题三： 为了提高项目的完成 数量 ，给出将任务联合打包的方案 ， 改 进 问题二中的定价模型， 并分析打包 对任务完成情况的影响。 问题四：利用所建立的 定价模型 给出附件 3 中新项目的任务定价方案，并 评价 该方案的实施效果。 2 模型
8、假设和符号说明 2.1 模型的假设 （ 1）假设 任意两点之间的实际路程可以用直线距离近似代替 ； （ 2）假设 每个会员都处于 在线 状态， 是否接单取决于对任务的满意度 是否大于期望值 ； （ 3）假设 会员在其预定任务开始时间 30 分钟内挑选任务。 预定任务开始时间 ， 会员越早开始挑选任务 ； （ 4）假设 所有会员理性挑选任务 ， 不存在会员随意抢单的情 况 。 3 2.2 符号的说明 符号 说明 ,di j 会员 j 和任务 i 之间的距离 i 任务 i 完成的可能性指标 1 , 2 , 3 , 4 佛山、广州、东莞和深圳四块区域期望值 阈值 jV 会员 j 愿意接受任务点的集合
9、 je 会员 j 所能接受任务限额 jQ 会员 j 的信誉值 jt 会员 j 开始预定任务的时间 jt 会员 j 完成任务的时间 jAd 会员 j 经过集合 A 中所有点的最短距离 D 任务完成所需总金额限制 3 数据预 处理 3.1 经纬度 -距离转换 1 为了得 到任意两 个任务 、 会员或会员与任务 间的 直线距离 ， 我们对经纬度进行转换 。 地球上任意一点地理坐标 都可以用有序数对表示 为 (, )uv ， u 为经度， v 为纬度。 以地心 O 为坐标原点， 赤道平面为 xOy 平面 ， 0 度经线圈所在的平面为 xOz 平面建立三维直角坐标系 ，则 cos cossin coss
10、inR u vy R u vz R vx ， （ 3 1） 其中， 6370R 为地球半径。 根据解析几何的知识，任意 两点 ( , ), ( , )A A B BA u v B u v间实际距离为 a r c c o s( )| | | |O A O BdR O A O B ， 将式 （ 3 1） 代入 化简得 4 a r c c o s c o s ( ) c o s c o s s in s in A B A B A Bd R u u v v v v . 4 问题一的模型建立与求解 4.1 数据的描述分析 根据 附件 1、 2 中的经纬度信息 ，我们 将 任务、会员 标注在二维地图上 ，
11、并利用 任务标价 绘制热图。 图 4-1 绘制了项目任务的地理位置分布，其中红点表示已完成任务，黑点表示未完成任务；图 4-2 绘制了会员的地理位置分布。根据任务定价绘制热图，颜色从蓝过渡到红，表示定价从低到高。 图 4-1 任务分布与标价关联图 图 4-2 会员 分布与标价关联图 从上述两图中可以看出，价格较高的任务主要集中在城市内部，且大致可以按城市划分成 佛山、广州、东莞和深圳 四块区域 。左图反映了任务价格较高的点 与任务的密集程度有关，且任务越密集，价格越高，但是价格的高低不能完全决定任务的完成情况；右图反映了会员的分布情况， 会员在该区域的分布较为均匀 。 4.2 影响 定价的 指
12、标 因素 参照 出租 车的定价策略 2，我们分析 得到任务附近邻 域内会员密集程度、任务集中程度、任务难易程度 、不同经济地区会员的期望值 是影响任务定价 iP 的主要因素 。 会员密集程度 im ： 设 im 是 以 任务点 i 为中心，半径 d 范围内的会员 数 ， 以 im 作为 任务点 i 会员集中程 度的指 标。 定义函数 1 , , ,0 , ,ij d i j d i E j Fd i j d ， 其中， ,di j 为 任务 i 与会员 j 两点间的直 线距离 ， F 为会员集 合 ， E 为任务集合 。 因此， 该范围内的 会员数可表示为 21ni ijjm . 利用 MAT
13、LAB 软件，绘制价格与会员数 im 的二维散点图 4 3。 5 图 4-3 任务定价与会员数关系图 会员密集程度反映了会员在某一区域内的集中情况。会员集中程度越高，该任务被完成的可能性越大，此时该任务的定价就越低，则会员数 im 与定价呈负相关 。 任务集中程度 iq ： 设 iq 为以 任务点 i 为中心，半径 d 范围内的任务 数 ， 以 iq 作为 任务点 i 附近任务集中程度的指标。 定义函数 1 , , ,0 , ,ij d i j d i E j Fd i j d ， 因此，任务集中程度 11ni ijjq . 利用 MATLAB 软件，绘制价格与任务集中程度 iq 的二维散点图
14、 4 4。 图 4-4 定价与任务集中程度 关系图 任务密集程度反映了任务在某一区域内的集中情况。任务的集中程度越高，供用户挑选的任务也就越多，在集中度高，距离近的情况下，任务的定价较低。 0 10 20 30 40 50 606570758085会员数 n价格0 5 10 15 20 25 30 35 4065707580857R价格6 任务难易程度 is ： 由于各项任务的性质不同，完成它的 难易程度 也不同 。当某一任务较难完成时 ， 为了提高它的吸引力，就要给出较高的定价 。 我们将任务按照难易程度分为三个档次：很难、较难 、一般 。 4.3 任务定价规律 为了保证任务能够顺利完成 和
15、会员的基本收益，对每项任务设定它的基础价格为 0P ,结合上述的三个指标，我们给出 第 i 个任务 的定价 iP ： 0 0 .5i i i iP P R S Q （ 4 1） 这里， 0P 为基础定价，设为 65，其余指标转换值按如下方式给出： 表 4-1 会员密集程度 im 与 iR 对应 表 im 12 34 56 78 89 1011 1213 1415 1617 1819 iR 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 im 2021 2223 2425 2627 2829 3031 3233 3435 3637 37 iR 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
16、 表 4-2 任务难易 程度 is 与 iS 对应 表 is 很难 较难 一般 iS 10 5 0 表 4-3 任务集中 程度 iq 与 iQ 对应 表 iq 015 1630 30 iQ 5 2.5 0 说明：考虑到任务发布者与会员 双方 的利益，我们限定 任务 最低 定 价为 65 和最高定 价为 85，一旦当 iP 小于 65 时， 规定定价 取 值 65；当 iP 大 于 85 时， 规定定价 取 值 85。将附件 1 中的实际数据代入公式比较， 多数数据满足公式 （ 4-1） ； 部分与公式有较大出入的定价，是由于任务的难易程度影响造成的。 根据这些数据，我们也能计算出各个任务的难易
17、程度。 例：任务号码 A0773，已完成，会员密集程度 6im ，任务集中程度 2iq ，实际定价为 85，已完成，则可带入公式 08 5 0 . 5 6 5 0 . 5 1 8 0i i i iP R S Q S ， 解得 11iS ，则任务难易程度为“很难”。 4.4 未完成 任务 原因分析 （ 1） 原因一： 某些任务邻近 区域内， 任务密集，而 会员人数远少于任务数 ， 人均任务量远远大于其实际完成能力 。 例：任务号码 A0436， 会员密集程度 3im ，任务集中程度 7iq ， 任务难易程度is “ 一 般 ” ，理论定价为 0 0 . 5 6 5 0 . 5 1 9 0 2 .
18、 5 7 2i i i iP P R Q S ， 实际定价为 75 ，虽然定价基本合理，但是由于会员人数少，任务多，会员会找性价比更高 的任务来完成，7 而放弃该项任务 。 （ 2）原因二： 任务 本身 定 价 较低，使会员完成该任务的收益达不到期望值 。 某些任务远离会员密集地，若会员要完成需花费较高的 费用，且任务定价较低，使得回报低于成本，故出现无人接单的情况。 例：任务号码 A0350， 会员密集程度 8im ，任务集中程度 6iq ， 任务难易程度is “ 一 般 ” ，理论定价为 0 0 . 5 6 5 0 . 5 1 7 0 2 . 5 7 1i i i iP P R Q S ，
19、 实际定价为65 71 ， 定 价过低，满足不了会员的期望 。 （ 3）原因三： 高收入 地区 会员 对收益 要求较高，导致很多任务 没人接单 。 例如深圳地区居 民普遍收入较高 ， 对收益也有较高的期望值，使得在其他地区能够完成的任务产生的收益值 不足以吸引他们去完成。 例：任务号码 A0468， 会员密集程度 8im ，任务集中程度 2iq ， 任务难易程度is “ 一 般 ” ，理论定价为 0 0 . 5 6 5 0 . 5 1 7 0 5 6 7 . 5i i i iP P R Q S ， 实际定价为80 67.5 ， 此任务所在地位深圳市中心， 居民收入水平较高， 即使 此 任务性价
20、比高，也难以 吸引会员 。 （ 4）原因四： 高信誉会员 的限额较高， 预约过多任务 ，导致很多任务没及时完成。某些任务周围有较多低信誉会员，但此任务被高信誉会员优先预约，而高信誉会员由于多任务在身或此任务距离较远而 没有完成。 （ 5）原因五： 任务难度过高 ，导致任务性价比不高，或者 任务所在地 的周边环境，如 有交通故障难以通行 、危险地带等原因 ， 导致任务无法及时完成。 各任务点未完成原因如下图所示： 图 4-5 未完成任务点原因分析 图 原因三 原因四 原因二 原因二 原因二 原因一 原因一 8 5 问题二的模型建立与求解 5.1 问题二的分析 首先，分析问题一中定价模型存在的不足
21、主要有：未考虑到不同地区会员对收益的期望值，以及信誉度高的会员接单限额和开始预约时间对任务定价的影响。结合这些因素，我们给出新的定价方案。其次，影响任务完成与否的主要因素为会员对收益的期望值，所以我们定义了会员对任务的满意度。结合给出的定价模型 ，建立以任务完成量最大为目标的优化模型。 5.2 定价模型 5.2.1 模型的建立 由于问题一给出的定价规律没 有很好地考虑到不同地区经济发展的不平衡，不同地区会员的收益期望值不同，高信誉会员优先选择任务和限额的特点，导致大量的任务未被完成。所以，针对上述原因，我们建立了新的任务定价模型。 对于经济发达的地区，会员的收益期望值较高，相同的定价在其他地区
22、可以被完成，所以在定价时，对该地区任务的定价给予一定的提高。 考虑到高信誉会员优先选择任务和限额的特点，在计算会员密集程度时，把一个高信誉会员按其所能完成的任务限额，把他当做若干个会员处理。 由于问题一中，相当一部分任务并不是由于价格过低而未被完成的，所以我们不再 限制最低价格和最高价格。 基于上述分析，建立定价模型 如下： 0 0 .5i i i i iP P R S Q T （ 5-1） 其中， im 表示 im 个会员在任务限额限定下能完成的任务总数； 图 5-1 会员限额总数 im 与 iR 对应 表 im 13 46 79 1012 1315 1618 1921 2224 2527
23、2830 iR 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 im 3133 3436 3739 4042 4345 4648 4951 5254 5557 57 iR 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5,0,iTii 任 务 位 于 经 济 发 达 地 区任 务 不 位 于 经 济 发 达 地 区； 0P ， iS ， iQ 与问题一模型中相同。 5.2.2 模型的求解 将附件 1，附件 2 中的数据和 问题 一中得到的各任务的难易程度 ，结合 上述公式，利用 MATLAB 编程，得到各个任务的定价如下（部分结果），详细结果见附件二： 9 表 5-1 任务定价情况表
24、任务 号码 原 定价 现 定价 A0022 65 65 A0012 65.5 70.5 A0468 80 86 A0018 66 71 A0006 75 77.5 A0450 85 87 A0693 65.5 69.5 A0264 67 72 A0835 85 82 A0830 85 79 A0468 80 90 A0734 75 90 表 5-2 优化前后总定价和完成率情况表 总定价 任务平均定价 原方案 57641.5 68.87 现 方案 58732.6 70.17 5.3 用户满意度 对于会员是否接单，最关键考虑的是任务的性价比，也就是收入支出比。当某一会员对任务的满意度大于某一阈值时
25、，该会员有意愿接受此任务，即任务被完成。 这里，我们定义会员 j 对任务 i 的满意度为 ,iij Pc d i j ， 其中， iP 表示任务 i 的定价， c 表示 单位距离所需的费用 ， ,di j 表示 会员 j 和 任务 i 之间的距离 。 考虑到会员的信誉度会对任务的完成有影响，因此，我们定义罚函数 1 ji jQc maxQ，其中， jQ 表示会员 j 的信誉度， jmaxQ 表示以任务 i 为中心， r 为半径范围内会员信誉的最大 值。建立衡量任务 i 是否完成的可能性指标为 1, jii jQPmax d i j rc d i j max Q . （ 5 2） 当任务点 i
26、的指标值 i 大于或等于某一阈值 时，我们认为存在会员愿意接受该任务；否则，该任务未完成。式 （ 5 2） 作为衡量指标，不但考虑了会员的实际选择依据，而且能解释当性价比接近时，平台 优先安排信誉度较高的会员的原则。 10 5.4 任务优化分配模型 5.4.1 模型的建立 在给出模型之前，我们对定义一些基本符号： 1n 表示任务数， 2n 表示会员数； ,di j 为会员 j 和任务 i 之间的距离 ； i 为任务 i 完成的可能性指标； 为阈值； jV 表示会员 j 愿意接受任务点的集合； je 表示会员 j 所能接受任务限额； 1,0, jij jiVx iV ，当 jiV 时，任务 i
27、由会员 j 完成； jQ 表示会员 j 的信誉值； jt 表示会员 j 开始预定任务的时间 ； C 表示 任务完成 所支付总金额限制； （ 1）目标函数的确定 在总费用 一定 的 限制情况下， 一个合理的定价方案， 最关键的是要保证 平台所给出的任务要尽量多地完成。因此，我们以任务的 完成量最大 为 目标函数 ，即 ： 1211nnijijmax x. （ 2）约束条件 的 确定 约束条件一： 同一个会员的预定任务数量有限额限制，设会员 j 接受任务点的集合可表示为 1j ijA i x，即： j ij jiAxe . 其中， je 为重新 定义的用户限额。考虑到每个会员完成任务的能力有限，我
28、们定义每个会员的限额最大不超过 5，即： ,55, 5jjj jeee e . 约束条件二：会员只接受的任务满足自己期望的任务。考虑到附件 1 中每个区域的用户对任务的期望值不同，我们对上述优化模型中的阈值 按区域重新设定。根据附件一中的经纬度，我们按城市将用户分成佛山、广州、东莞和深圳四块区域，并将期望值设成 1 ， 2 ， 3 和 4 . 考虑不同地区用户的不同期望 阈值， 定义特征函数 1,0, zjz zjTy jT ， 1,2,3,4z ， 其中， 1T ， 2T ， 3T 和 4T 分别为佛山、广州、东莞和深圳四块区域的用户集合。 11 会员 j 愿意接受任务点的集合为 1 , ,
29、 , 1, jij z i zjQPV i d i j r yc d i j max Q ， 即 ： jjAV . 约束条件三：同一个任务最多只能被一位会员完成，即： 21 1nijj x ， ,d i j r .约束条件四： 开始预约任 务时间早 的会员优先挑选任务， 如果任务 i 是会员 1j 和 2j 都满意的，那么开始时间较早的会员优先挑选。即： 1 1 2 2ij j ij jx t x t，12jji V V . 约束条件五：平台支付给用户的总费用 有一定限制，即： 11nii PC . 综上所述，建立任务分配 优化模型如下： 1211nnijijmax x 21 1 2 2 1
30、21111201 , ,. . ,1 , 20., , , 1 , 2 , ,5jij jiAi i i i inijjij j ij j j jjjniixex d i j rs t x t x tP P R Si V VAVPCinTnjQ 5.4.2 基于最大流的 启发式 算法 1 考虑到上述优化模型 的约束条件比较复杂，一般的线性规划方法无法求解 。 为了求解最大任务完成数量 ， 我们考虑 到 在每一个任务发布 后 ，所有对 该 任务感兴趣的会员 都可以 对该 任务发起请求 。 在 这样的优化前提之下，我们可以将问题转化为一 个 网 络流的最大流问题去求解。 我们设计了一种 基于最大流
31、的 启发式 算法对模型进行求解，具体步骤如下： Step1： 计算 1 2 3( , , ) 的大致范围，设定初始温度 0T 、点每次移动一步的长度、迭代深度； Step2： 向 1 2 3( , , ) 随机投点，投点时删除会使总价格高出额定值的点； 12 Step3： 对集合中每个点向 8 个方向移动，并调用算法二计算其在新的位置的最大任务接单数，算法二步骤如下： -Step3.1： 建图 ， 为任务和 会员 添加 相对应 的 点，并添加源点 和 汇点 ； -Step3.2： 每个会员和汇点之间连一条边，边的流量是这个用户的任务分配限额 ， 每个 任务 与 源点 之间连一条边，边的流量是
32、1； -Step3.3： 每个 会员 i 和 任务 j 之间两两 配对 ， 计算 会 员 i 对 任务 j 的 满意度。 如果会员 i 对 任务 j 感到满意， 那么 就在会员 i 和 任务 j 之间 连一条边 ； -Step3.4： 调用 Dinic 算法，计算 源点到汇点之间的最大流 ； 如果新的结果更好，则将新的节点添加进正在计算的点集合中， 如果没有比原来的结果更好，则以概率 P 接受该结果； Step4： 当迭代 深度 超过一定的深度时，退 出 算法 ， 输出最优解 。 (算法介绍见附录一 ) 5.4.3 求解结果 对上述算法，利用 MATLAB 编程 （具体代码见附录二） ，得到
33、现 任务定价及完成情况表 （部分），具体详见附件一 。 表 5-3 原方案与现方案任务定价及完成情况表 任务 号码 原 定价 原完成情况 现 定价 现完成情况 A0022 65 1 65 1 A0012 65.5 0 70.5 1 A0468 80 0 86 1 A0018 66 0 71 1 A0006 75 0 77.5 1 A0450 85 0 87 1 A0693 65.5 0 69.5 1 A0264 67 0 72 1 A0835 85 1 82 1 A0830 85 1 79 1 A0468 80 0 90 0 A0734 75 0 90 0 表 5-4 原方案与现方案 总定价和
34、完成率情况表 总定价 任务平均定价 完成率 原方案 57641.5 68.87 62.1% 现方案 58732.6 70.17 86.6% 5.4.4 结果分析 考虑到 深圳等地区的任务定价有一定的提高 ， 使得现方案的 总费用比原方案大约增加了 1.9%，但现方案的任务完成率比原方案的任务完成率提高了 24.5%， 说明现方案比原方案大大提高了系统 整体 效益 。 13 在 56000,76000范围内随机 改变初始设定的 价格 总和上限 D ， 求得在不同价格上限下任务完成数量的最大值，如下图所示： 图 5-1 任务最大完成量与价格总和上限关系 图 由上图可知，任务最大完成量与价格总和上限
35、总体成正相关，价格上限较低，在5600060000 范围内，任务最大完成数量 变化不大，在 330 件上下波动；价格在6000071500 范围内，任务最大完成数量随价格总和上限的提高而增加；价格上限较低，在 7150075000 范围内，任务最大完成数 量变化不大，在 950 件上下波动 。 6 问题三的模型建立与求解 6.1 问题三的分析 APP 拍照任务定价问题是一个任务发布者 （ APP 平台） 和任务完成者 （会员） 间双向决策问题 。任务发布者希望在任务成本较小的情况下，任务的完成率尽可能的大，完成任务的时间尽可能的短；而作为任务完成者追求任务完成后的收益尽可能的大。分析问题一与问
36、题二中任务的定价规律和任务完成情况，发现会存在下面的一些问题： （ 1） 有些任务由于定价的不合理，或者是由于任务难度等其他原因不能达到所有会员的满意程度，导致该任务未被完成，影响到任务的完成率 。 （ 2） 由于会员选择任务时不合理性，例如一个信誉高的会员选择多个项目，没有考虑到项目的分散程度，在完成任务过程中增加了成本而减少了收益。而对 APP 平台来讲，会导致任务完成的时间延长，甚至无法完成影响到任务的完成率。 为了解决这些问题，我们借助一般商品的打包销售原理，对问题一与问题二中任务的定价规律和模型进行优化，建立打包定价模型。 6.2 打包模型的建立 6.2.1 打包原则 （ 1） 距离
37、相近的任务（集中度较高的任务）应考虑打包发布； （ 2）未完成的任务应尽量与自己距离相近的已完成的任务打包发布； （ 3）距 离相近的价格差比较大的任务应尽量考虑打包发布 . 打包原则 （ 1） 可以有效提高任务的吸引力，节省会员完成任务的成本，缩短任务5 . 6 5 . 8 6 6 . 2 6 . 4 6 . 6 6 . 8 7 7 . 2 7 . 4 7 . 6x 1 042003004005006007008009001000价格总和上限任务完成数量14 完成的时间。某任务未完成的主要原因是由于该任务的吸引力达不到用户对该任务的满意度，若将直接将若干距离较近且未完成的任务打包，显然不能提
38、高任务的吸引力，有效提高完成率。打包原则 （ 2） 、（ 3）能够提升那些吸引力较低或者吸引力达不到用户对该任务的满意度的任务的吸引力，提升 任务的完成率。 6.2.2 二次打包模型 根据上述三条打包原则，建立二次打包模型如下： 第一次打包：根据原则（ 1），集中度较高 的已完成任务进行打包。设 T 是所有任务集合， 1T 是已被完成任务的集合， ,di j 表示两点之间的直线距离，当 1T 中两点间的距离 ,d i j r 时，两任务打包发布。 第二次打包：根据原则（ 1），（ 2），（ 3），针对未完成的任务进行分配。对于未完成的任务，我们考虑将它们分配到第一次打包完成后的任 务包内，设第
39、一次打包时将任务集 1T 划分成 12, , , lS S S ，定义任务点 i 到集合 jS 的距离为 , m i n , ,jjd i S d i k k S. 定义任务点 i 与集合 jS 中任务的价格差为 , j kkSjijPi S P S . 为简化模型，我们采用平均价格定义任务集合 jjS i S 的满意度 1jjkkSSjPS . 综合上述三条原则，当任务点 i 满足如下约束时，我们认为可以将未完成的任务 i 打包分配到集合 jS ， 010, m i n , , , /1jjjjkkSSjjd i S d i k d k S i T TPSSN . 这里，我们取 5N . 若
40、上述两限制都满足时，将任务点 i 合并到价格差最大的集合，即： m a x , j kkSjijPi S P S . 15 6.3 基于二次打包的定价与任务分配优化模型 对任务进行打包后 ， 原先的任务点被合并成任务集合 （也可以为单点集），我们对任务集合重新定义部分变量，其余均与模型二中相同。 l 表示所有任务点划分成任务集合的个数； 任务集合 iS 的定 价为 iijjSSiPP S ； 用户 j 到任务集合 iS 的距离为 , ikSi id j kdSj S ； 用户 j 对任务集合 iS 的满意度为 ,ii SSj iPc d S j ， 其中，iSj为用户 j 对任务集合 i 的满
41、意度 。 建立衡量任务 i 是否完成的可能性指标为 1,ii S jSiijP Qmax d S j rc d S j max Q . 增加约束条件： 会员 j 接受了 iS 中的一项任务，则集合 iS 应包含在会员 j 完成的任务集中，即： ijSA . 综上所述， 建立 优化 模型 如下： 1211nnijijmax x 21 1 2 2 1 22011120.551 , ,1 , 2 , , , 1 , 2 , ,ji i i i iijiVnijjij j ij j j jjjijniiP P R S Q Txx d i j rx t x t i V VstAVSAPCi n j n
42、. 16 6.4 模型的求解 采用类似于问题二中启发式算法 ， 得到 部分任务定价 及完成情况如下表 （ 详细结果见 附件 一 ） ： 表 6-1 部分 任务定价及完成情况表 任务 号码 原方案定价 原完成情况 优化后 定价 现完成情况 A0026 66 1 66 1 A0012 65.5 0 69 1 A0468 80 0 83 1 A0118 69 0 71 1 A0216 65.5 1 65.5 1 A0452 68 1 67 1 A0603 65.5 0 69.5 1 A0361 67 0 72 1 A0745 83 1 82 1 A0711 86 1 84 1 A0465 80 0
43、88 0 A0344 75 0 86 0 表 6-2 打 包 前后总定价和完成率情况表 总定价 任务平均定价 完成率 原方案 57641.5 68.87 62.1% 问题二 方案 58732.6 70.17 86.6% 打包方案 57698.3 68.93 93.8% 相比于问题二的方案 ，打包方案在总定价降低了 1.79%，而它的 任务完成率 达到了93.8%，比问题二 方案的任务完成率提高了 7.2%， 比原方案提高了 31.7%。说明打包方案具有更高的 系统 整体 效益 。 7 问题四的模型建立与求解 7.1 问题分析 对于给定的任务地理位置和会员的分布情 况，由于此时任务的难易程度未知
44、，在问题三的定价模型中，舍弃了任务 难易度因素，只利用 会员密集程度 、给定区域内 任务集中程度 、不同地区会员的期望值不同等因素不同建立了任务定价模型和任务分配模型。 7.2 模型的建立 不考虑 任务难易度因素的 定价模型如下： 0 0 .5i i i iP P R Q T 17 任务分配优化 模型如下： 1211nnijijmax x 21 1 2 2 1 221201151 , ,1 , 2 , , , 1 , 2 , ,0.5jijiVnijjij j ij j j jjjijniii i i ixx d i j rx t x t i V VstAVSAPP P R QjTCi n n
45、 7.2 模型的求解 采用类似于问题二中启发式算法 ， 得到 部分 新项目 任务定价 及完成情况如下表 （ 详细结果见 附件 二 ） ： 表 7-1 新项目 任务定价及完成情况表 任务 号码 定价 完成情况 任务 号码 定价 完成情况 C0002 66.5 1 C0486 70.5 0 C0014 71.5 0 C0510 72 1 C0019 72.5 1 C0615 77.5 1 C0044 72 1 C0639 66.5 1 C0051 74.5 1 C1230 75.5 0 C0065 72.5 0 C1548 68 0 C0265 77 1 C1689 71.5 0 C0276 70
46、.5 1 C2049 79.5 1 表 7-2 新项目总定价和完成情况统计表 总定价 任务平均定价 完成任务数 完成率 新项目 149280.5 72.25 1468 71.1% 由于没有考虑任务的难易程度 ，所以在部分任务定价时会产生一定的偏差 ，进而影响到任务的完成率 ，所以该项目的任务完成率偏低 ，只有 71.1%。为了克服这方面的缺陷 ， 在实际应用过程中 ， 我们 可以通过多方面的渠道 ，提前获得任务的难易程度 ，建立更 加 合理 准确的打分模型 。 18 8 模型的评价 8.1 模型的优点 （ 1） 定性定量分析了各个参数对 任务定价的影响，并设置了扰动参数，合理地解释附件一中所给
47、的数据； （ 2） 考虑了 会员集中度、任务集中度、任务难易程度等因素 和 不同城市 会员满意度的影响 ， 分别 建立了 任务 定价模型 和任务分配优化 模型 ； （ 3） 建立了二次打包模型，给出的打包原则较好地解决了问题一、问题二中任务未完成的情况。 （ 4） 本文采用的启发式算法 计算精度高 、运算时间短 。 8.2 模型的 缺点 问题四中 没有考虑任务的难易程度 ， 在部分任务定价时会产生一定的偏差 ，进而影响到任务的完成率 。 参考文献 1 司守奎 , 孙兆亮 , 孙玺菁 . 数学建模算法与应用 M. 国防工业出版社 , 2015. 2 张佳彤 . 打车软件参与下出租车动态定价策略研究 J. 唐山学院学报 , 2016, 29(6):78-84. 19 附录
