1、黑龙江省大庆市 2018 届高三年级第一次教学质量检测理科数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 得 ，结合 可得 ，故选 A.2. 若复数 ,则在复平面内所对应的点位于的（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析： ,故在复平面内对应的点位于第四象限.考点：复数与复平面的关系.3. 若 满足 ，则 的最大值为（）A. 2 B. 5 C. 6 D. 7【答案】
2、B【解析】画出 ， 满足约束条件 ，的平面区域，如图示：由 ，解得 ，由 可知直线过 时，最大，得 ，故选 B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 12【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体
3、为如图所示的四棱锥 ，其中底面 是边长为 2 的正方形， 面，故其体积 ，故选 B.5. 执行如图所示的程序语句，则输出的的值为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下： ， ， ； ， ，否，； ， ，否， ； ， ，否，； ， ，否， ； ， ，否， ；， ，否， ； ， ，否， ； ， ，否，；的值是随的变化而改变的，且周期为 8，又 ，此时终止循环，输出的值与 时相同，为 ，故选 C.6. 已知命题 直线 与 平行；命题 直线 与圆 相交所得的弦长为 ，则命题 是 （）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既充分也不必
4、要条件【答案】A【解析】命题 两条直线 与 互相平行， ，解得 或 ，当 时，两直线重合，故舍去，故 ；命题 由于直线被圆截得的弦长为 可得：圆心到直线的距离，即 ，解得 ，综上可得命题 是 充分不必要条件，故选 A.7. 数列 为正项递增等比数列，满足 ， ，则 等于（ ）A. -45 B. 45 C. -90 D. 90【答案】D【解析】设正项递增等比数列 的公比为 ， ， ， ， ，解得 ，故， ，故选 D.8. 若 是夹角为 的两个单位向量，则向量 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，得 ，又， ，得 ，又，两向量的夹角的余弦值为 ，即向量 的夹角为 ，故选
5、 B.9. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意 ，抛物线 的准线方程为 ，双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上， ， ， ， ，双曲线的方程为 ，故选 A.10. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， .若 ， 则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 时， ， 在 上单调递减， 又 是定义在 上的奇函数， 在 上单调递减，由于 ， ， ， ， 的大小关系为 ，故选 C.11. 函数 的图象过点 ，相邻两个对称中心的距离是 ，则下列说法不正确的是（ ）A. 的最小正周期
6、为 B. 的一条对称轴为C. 的图像向左平移 个单位所得图像关于 轴对称 D. 在 上是减函数【答案】D【解析】函数 的图象相邻两个对称中心的距离是 ， ，故 ，又函数 的图象过点 ， ， ，则 ，最小正周期为 ，故 A 正确；，即 的一条对称轴为 ，故 B 正确；向左平移 个单位得为偶函数，即关于 轴对称，故 C 正确；当 时， ，由三角函数的性质可得在该区间内有增有减，故 D 错误，故选 D.12. 已知函数 ，若关于 的方程 有两个解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】关于 的方程 有两个解，等价于 和 有两个交点，如图所示：作出函数的图象 ， ， ， ，
7、 ，由图可得 时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与 有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程得： ，由 解得 ，切点坐标为 和 且 ，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足 ，综上可得 ，故选 A.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. _【答案】6【解析】 ，故答案为 6.14. 一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球 的体积为 ，圆柱内除了球之外的几何体体积记为 ，则 的值为 _ 【答案】2【解析】如图所示：设球的半径为 ，则球的体积为： ，圆柱的体积为： ，则 ，则，
8、故答案为 2.15. 若 为奇函数，则 的最小值为_ ;【答案】【解析】 ， ， ， ，故 ， ，当且仅当时等号成立，即 的最小值为 ，故答案为 .、16. 已知抛物线 ，过其焦点 作一条斜率大于 0 的直线，与抛物线交于 两点，且 ，则直线的斜率为_【答案】【解析】如图所示：分别过点 向准线作垂线，垂足为 ，过点 向 作垂线，垂足为 ，设 ，则，又抛物线的定义可得 ， ，故可得 ， ， ，即，故直线的倾斜角为 ，直线的斜率为 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设函数 的图象由 的图象向左平移 个单位得到.（1）求
9、 的最小正周期及单调递增区间：（2）在 中， ，6 分别是角 的对边，且 , , ,求的值.【答案】(1) ，单调增区间是 .(2) .【解析】试题分析：（1）根据平移法则可得 ，故最小正周期 ，由解出不等式可得单调增区间；（2）由三角形面积公式得出，由余弦定理可得的值.试题解析：（1） 的图像向左平移 个单位得到 的图像，即 ，函数最小正周期 . 令 ，则 ，解得 ，所以 的单调增区间是 . （2）由题意得： ，则有 .因为 ，所以 ， ,由 及 得， . 根据余弦定理，所以 .18. 已知数列 的前 项和为 ，点 在曲线 ，上数列 满足， ， 的前 5 项和为 45（1）求 ， 的通项公式
10、；（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求使不等式 恒成立的最大正整数 的值【答案】(1) ， .(2)8.【解析】试题分析：（1）由 得 ， ，由 得 为等差数列，求出首项和公差即可得 ；（2）由（1）得 通项公式，利用裂项相消法得其前 项和为 ， 是递增数列， 恒成立只要 恒成立，解出不等式即可.试题解析：（1）由已知得： ，当 时， ， 当 时， ，当 时，符合上式，所以 .因为数列 满足 ，所以 为等差数列. 设其公差为 . 则 ，解得 ，所以 . （2）由（1）得， ， ，因为 ，所以 是递增数列. 所以 ，故 恒成立只要 恒成立. 所以 ，最大正整数 的值为 . 点睛：本题主要考查了
11、这一常用等式的应用，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列，为等比数列等.19. 已知四棱锥 的底面 为正方形， 上面 且 为 的中点(1)求证： 面 ；(2)求直线 与平面 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）连接 交 于 ，连接 ，由三角形中位线可得 ，由线面平行判定定理可得结论成立；（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，求出面的法向量 ，根据 可得结果.试题解析：（1）
12、解：连接 交 于 ，连接 ，因为 为正方形且 为对角线，所以 为 的中点， 又 为 的中点，故 为 的中位线，所以 ， 而 面 ， 面 ，故 面 .(2)以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 .则 , , , , , 所以 , , ,设平面 的法向量 ，则 即 ,令 ，则法向量 , 设直线 与平面 所成角为，则 , 故直线 与平面 所成角的余弦值 .点睛：本题主要考查了直线与平面平行的判定，空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法，属于基础题；常见的线面平行的方式有：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、构造面面平行等；直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面的方向量所成
13、的角之间满足 .20. 已知椭圆 ，其焦距为 2，离心率为（1）求椭圆 的方程；（2）设椭圆的右焦点为 ， 为 轴上一点，满足 ，过点 作斜率不为 0 的直线交椭圆于 两点，求 面积的最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）由焦距为 2 得 ，由离心率 得 ，结合 可得椭圆方程；（2）由题意可得 ，直线的方程为 ， ，将直线方程与椭圆方程联立由韦达定理可得， ，结合 得 的范围，利用点到直线的距离为 ， ，令 ， ，结合二次函数的性质可得 最大值.试题解析：(1)因为椭圆焦距为 2，即 ，所以 , ，所以 ，从而 ，所以椭圆的方程为 .(2)椭圆右焦点 ，由 可知 ，直线过点 ，设直线的方程为 ， ，将直线方程与椭圆方程联立得 ，设 ，则 ，
