1、2018 届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 =( )A. B. C. D. 【答案】B故选 B.2. 已知向量 ， ，则向量 与 的夹角为 ( )A. 135 B. 60 C. 45 D. 30【答案】C【解析】由题意可得： ，则： ，且 ，设所求解的向量的夹角为 ，由题意可得： ，则：向量 与 的夹角为 45.本题选择 C 选项.3. 已知 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，故选 A.4. 已知 是等
2、差数列 的前 项和，则，则 =( )A. 22 B. 33 C. 44 D. 66【答案】B【解析】 是等差数列 的前 项和， ，解得 ，故选 B.5. 对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，即 时 ， 恒成立， 时，则有 ，解得，故选 C.6. 已知实数 满足条件 ,则的最小值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】由 ；由 ；由 ；由约束条件做出 的可行域如图所示，的值为可行域中的点与原点 的连线的斜率，观察图形可知 的斜率最小，所以 .故选A. 【点睛】在平面区域的相关问题中，若目标函数不是线性目标
3、函数，可利用其几何意义进行求解，例如的几何意义是点 与原点的连线的低利率； 几何意义 是点 与原点的距离等.7. 如果满足 的 恰有一个，那么 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】当 ，即 ，即 时，三角形无解；当 ，即，即 时，三角形有 解；当 ，即 ，即时，三角形有 解；当 ，即 ，即 时，三角形有 解，综上所述，当 或 时，三角形恰有一个解，故选 D.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为一条侧棱与底面垂直（该棱长为 ）,底面是边长为 的正方形，底面积为 ，两个侧面面积为 ，两个
4、侧面面积为 ，所以，表面积为 ，故选 C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知函数 的图象的一条对称轴为直线 ，则要得到函数的图象，只需把函数 的图象( )A. 向右平移 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 倍B. 向右平移 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 倍C. 向左平移 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 倍D.
5、向左平移 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 倍【答案】B【解析】函数 的图象的一条对称轴为直线 ， ， ，又 ， ， ,将函数 的图象向右平移 个单位后所得图象对应的解析式为，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 倍，所得图象对应的解析式为 。故选 B。10. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。 ”其意思是“有一个人走路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了 6 天，共走 378 里。 ”请问第四天走了( )A. 12 里 B. 24 里 C. 36 里 D.
6、48 里【答案】B【解析】设第一天走 里，则每天走的步数组成的数列 是以 为首项，以为公比的等比数列，由题意得： ，解得 （里）， （里）， 故选 B.11. 已知函数 ，且 ，则以下结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D12. 已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ， ， 时， ， 在 上递增，设 ， ， 在 上递增，在 递减，且 时，总有 ，画出，两函数的简图，如图，由图知，要使对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则 ，即实数 的取值范围是 ，故选 B.【方法点睛】本题主
7、要考查函数的图象与性质以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数 ；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上.13. 设 为函数 的导数， ,则 _.【答案】3【解析】由条件知 ， ，故 故结果为 3 。14. 均为锐角， ，则 =_.【答案】【解析】因为 均为锐角， ，所以 ,可得， ，可得，故答案为 .15. 在长方体 中， ，若棱 上存在
8、点 ，使得 ，则棱 的长的取值范围是_.【答案】【解析】如图所示，当 时，以 为直径的圆与 有交点 ，连接 ，则 ， 底面，根据三垂线定理，则 ，满足题意，即棱 的长的取值范围是 ，故答案为 .16. 设数列 的前 项和为 ,已知 , ,则 _【答案】240【解析】由 ，当 为奇数时，有 ；当 为偶数时， ， 数列的偶数项构成以 为首项，以 为公差的等差数列，则，故答案为.【方法点晴】本题主要考查数列的递推公式和利用“分组求和法”求数列前 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为
9、一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数 .（1）求函数 的解析式及其最小正周期；（2）当 x 时，求函数 的值域和增区间【答案】 （1） , （2）【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式和三角函数的化一公式得到 ，由周期的定义知道 ；（2）由第一问知道函数表达式，根据 x ，得到 ，再求函数的值域，和单调区间。（1） , ；（2）x 所以 ， 函数 f（x）的值域为x ， ，所以 ，解得所以函数 的增区间为18. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差
10、 ，且 ， 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由数列为等比数列，可以化基本量，再求得 a1=3，d=2，最终出通项.（2）由第一问知 的通项，根据错位相减的方法得到 Tn=n3n(1). S1+S3=18，a1，a4，a13 成等比数列4a1+3d=18， 解得 a1=3，d=2an=3+2（n1）=2n+1(2)bn=（2n+1）3n1数列 bn前 n 项和 Tn=3+53+732+（2n+1）3n13Tn=32+532+（2n1）3n1+（2n+1）3n，2Tn=3+2（3+32+3n1）（2n+1）3n
11、= +1（2n+1）3nTn=n3n19. 已知 的三个内角 所对应的边分别为 ，若 .（1）求 的值；（2）若 的面积 ，求 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理得到 ，再根据得到 a 和 c 的关系，三边关系都已知了，就可以分别求 ， ；（2）根据面积公式得到， ，再根据第一问的三边关系可以得到三边长。（1）由余弦定理，得 ，又 ， ， ， ， .（2）由 ，得 ， .20. 在如图所示的五面体中，面 为直角梯形， ，平面 平面 ， 是边长为 2 的正三角形.（1）证明： ；（2）证明： 平面 【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由 ,可证 平
12、面 ,由线面平行的性质定理，可证 ,由线面平行的判定定理，可证明结论.；（2）取 的中点 ，连接 ，依题意易知 ，有线面垂直的性质可得，进而得 ，利用直角三角形相似可得 ，所以由线面垂直的判定定理可得结论.平面 平面 平面 .试题解析：（1）由 AB/CD,可证 AB/平面 CDEF,由线面平行的性质定理，可证 AB/EF,由线面平行的判定定理，可证 EF/平面 ABCD.(2)取 的中点 ，连接 ，依题意易知 ，平面 平面 平面 .又 ，所以 平面 ，所以 .可证 ，在 和 中， .因为 ， 平面 ，所以 平面 .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理，属于难题
13、.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.21. 设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 是数列 的前项和.（1）求数列 的通项公式；（2）求满足 的最大正整数 的值.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（1）已知前 n 项和的关系，求通项，将式子转化为 . ，从而得到数列是等比数列 ，根据等比数列的公式求通向即可。
14、 （2）根居第一问得到数列是等比数列，根据 ，再根据等差数列求和公式得到 ，在乘积时再消去公共部分即可。（1）当 时， ， . . ， ， . 数列 是以 为首项，公比为 的等比数列. . （2）由（1）得： ， . . 令 ，解得： . 故满足条件的最大正整数 的值为 .22. 已知 , .（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；（2）设正实数 ， 满足 ，当 时，求证：对任意的两个正实数 ， 总有.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）函数 在 上单调递增，等价于 ， 恒成立，分离参数，求函数最小值即可得结果；（2）不妨设 ，以 为变量， 令，利用导数研究函数的单调性，可得以 在 单调递增；因为，所以 ，从而可得结论.试题解析：(1)由已知 ， 恒成立， 即 恒成立所以 ；故 的取值范围是 ；（2）证明：不妨设 ，以 为变量令 ，则令 ，则因为 ，所以 ；即 在定义域内单调递增。又因为 且 所以 即 ，所以；又因为 ，所以所以 在 单调递增；因为 所以即
