1、2018 届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则 =( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 ， ， 则。故答案为 C.2. 已知向量 ， ，则向量 与 的夹角为（ ）A. 135 B. 60 C. 45 D. 30【答案】C【解析】由题意可得： ，则： ，且 ，设所求解的向量的夹角为 ，由题意可得： ，则：向量 与 的夹角为 45.本题选择 C 选项.3. 设 x，yR，a1，b1，若 axb y2,2ab8，则 的最大值
2、为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. log23【答案】B【解析】由 得 , ，又，即 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以，故 ，故选 B.【易错点晴】本题主要考查对数的运算、利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或 时等号能否同时成立）.4. 已知 是等差数列 的前 项和，则，则 = （ ）A. 66 B. 55 C. 44 D. 33【答
3、案】D【解析】由等差数列的性质有 ,所以 ,则 .故选 D.5. 对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( )A. B. (-,2 C. D. 【答案】D【解析】首先讨论当二次项系数为 0 时，即 a=2 时，原不等式为-40,恒成立；当 时，该函数是二次函数，则要求开口向下，判别式小于零， ，且 两种情况并到一起，得到 a 的范围为 。点睛：此题考查了不等式恒成立求参的问题，对于二次函数中的二次项系数含参的可以先考虑二次项系数等于 0 ，然后再讨论不等于 0，按函数最值来做。还有常见方法是变量分离，转化为函数最值问题，还可以直接含参讨论求函数最值。6. 已知函数 的图象的一条对
4、称轴为直线 ，则要得到函数的图象，只需把函数 的图象（ ）A. 向右平移 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 倍B. 向右平移 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 倍C. 向左平移 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 倍D. 向左平移 个单位长度，纵坐标伸长为原来的 倍【答案】B【解析】函数 的图象的一条对称轴为直线 ， ， ，又 ， ， ,将函数 的图象向右平移 个单位后所得图象对应的解析式为，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 倍，所得图象对应的解析式为 。故选 B。7. 设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1 ，y)，c(2 ， 4)，且 ac，bc，则|ab| ( )A. B. C. 2
5、D. 10【答案】B【解析】a(x,1) ，b(1，y )，c(2 ，4)，由 ac，得 ac2x40 ， x2.由 bc，得 1(4)2y 0， y2.因此 a b(2,1)(1，2) (3，1)，则| ab| .8. 某几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为 的正方形的四棱锥，其中两个侧面面积为 ，两个侧面面积为 ，底面积为 ，所以表面积为 ，故选 D.9. 下列命题错误的是（ ）A. 对于命题 0，则 均有B. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ， 则 ”C. 若 为假命题，则
6、 均为假命题D. “x2”是“ 0”的充分不必要条件.【答案】C【解析】特称命题的否定是换量词否结论，不变条件的；故 A 选项为正确的。逆否命题是条件和结论互换，并且既否条件又否结论。故 B 选项正确。C若 为假命题，则两者有一个为假即可。D 0 或 ，根据小范围推大范围，x2”是“ 0”的充分不必要条件，是正确的。故答案为 C。10. 已知实数 满足条件 , ,则 的最小值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】由 ；由 ；由 ；由约束条件做出 的可行域如图所示，的值为可行域中的点与原点 的连线的斜率，观察图形可知 的斜率最小，所以 .故选A. 【点睛】在平面区域的相
7、关问题中，若目标函数不是线性目标函数，可利用其几何意义进行求解，例如的几何意义是点 与原点的连线的低利率； 几何意义 是点 与原点的距离等.11. 已知函数 ，且 ，则以下结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以函数 的单调递减函数，又因为，即 ，所以由函数的单调性可得：，应选答案 D。12. 已知 为自然对数的底数，若对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】原式变形为 ， 在区间 是单调递增， 是单调递减，所以的值域是 的子集，对任意的 ，总存在唯一的 ，使得成立，所以 ，且 ，解得： ，当
8、 时，存在两个不同的实根，因此舍去，所以 的取值范围是 ，故选 C.【点睛】本题考查了函数的单调性，不等式的恒成立和存在问题，属于中档题型， ，使 ，即函数 的值域是 值域的子集，若使 ，即说明 的最小值大于函数 的最小值，就转化求两个函数最值的问题 .二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上.13. 设 为函数 的导数， ,则 _.【答案】3【解析】由条件知 ， ，故 故结果为 3 。14. 已知 ， ，则 _.【答案】【解析】由两角和差公式得到 因为 ， ， ， ，代入上式得到： .故得结果为 .点睛：这个题目考查的是三角函数的诱导公式的应用；给了几
9、个角的三角函数值，要求未知角，常用方法是用已知角表示未知角；其中要注意应用诱导公式时注意角的范围，根据三角函数值缩小角的范围。15. 四面体 的四个顶点都在球 的表面上， ， ， ， 平面 ，则球 的表面积为_.【答案】【解析】如图：BC=CD=1，BCD=60底面 BCD 为等边三角形取 CD 中点为 E，连接 BE，BCD 的外心 G 在 BE 上，设为 G，取 BC 中点 F，连接 GF，在 RtBCE 中，由 CE=，CBE=30，得 BF= =，又在 RtBFG 中，得 BG= ，过 G 作 AB 的平行线与 AB 的中垂线 HO 交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心
10、，即 R=OB，AB平面 BCD，OGBG ，在 RtBGO 中，求得 OB= 球 O 的表面积为 故结果为 。16. 设数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则_.【答案】510【解析】由 an+2+（1）n1an=1，当 n 为奇数时，有 an+2+an=1，连续两项的奇数项的和是 1，当 n 为偶数时，a n+2an=1，数列 an的偶数项构成以 2 为首项，以 1 为公差的等差数列，=15*1+30*2+ 故结果为 510.三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数 .（1）求函数 的解析式及其最小正周期；（2）当 x 时，求函数
11、 的值域和增区间【答案】 （1） , （2）【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式和三角函数的化一公式得到 ，由周期的定义知道 ；（2）由第一问知道函数表达式，根据 x ，得到 ，再求函数的值域，和单调区间。（1） , ；（2）x 所以 ， 函数 f（x）的值域为x ， ，所以 ，解得所以函数 的增区间为18. 在如图所示的五面体中，面 为直角梯形， ，平面 平面 ，ADE 是边长为 2 的正三角形（1）证明： 平面 ；（2）求点 B 到平面 ACF 的距离【答案】 （1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）做辅助线，构造线面垂直，取 的中点 ，连接 ，先证 平面 得到，再通过相似证得
12、，故得到线面垂直，再推线线垂直。 （2）承接第一问的结论，因为平面 ，故直接由 B 点做 AF 的垂线即可，垂线就是 BE，再根据梯形的边长求出即可。（1）取 的中点 ，连接 ，依题意易知 ，平面 平面 平面 .又 ，所以 平面 ，所以 .在 和 中， .因为 ， 平面 ，所以 平面 .（2）由第一问知道 平面 ，故点 B 到平面 ACF 的距离，直接连 BE 交 AF 于点 M，则 BM 就是要求的距离，在梯形 ABFE 中，求得 BE= 。点睛：这个题目主要考查了线面垂直的判定定理，可以证线垂直于面中的两条相交线，也可以建系证明直线的方向向量和面的法向量平行，这是常用方法；第二问考查了点到
13、面的距离，一种方法是直接做出点到面的投影，求出垂线段长度，还可以建系通过公式求点面距离。19. 已知 的三个内角 所对应的边分别为 ，若 .（1）求 的值；（2）若 的面积 ，求 .【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由余弦定理得到 ，再根据得到 a 和 c 的关系，三边关系都已知了，就可以分别求 ， ；（2）根据面积公式得到， ，再根据第一问的三边关系可以得到三边长。（1）由余弦定理，得 ，又 ， ， ， ， .（2）由 ，得 ， .20. 已知在多面体 SPABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且 ASCP 且 AS面ABCD，E 为 BC 的中
14、点（1）求证：AE面 SPD；（2）求三棱锥 S-BPD 的体积。 【答案】. （1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）要证线面平行，在题目中构造平行四边形 AECQ，证得线线平行，再得线面平行。（2）根据三棱锥的体积公式，换顶点为 ，再根据公式求出体积。证明：（1）取 SD 的中点 F，连接 PF，过 F 作 FQ面 ABCD，交 AD 于 Q，连接 QC，AS面 ABCD，ASFQ，QF 为 SD 的中点，Q 为 AD 的中点，FQ=AS，PC=AS，FQ=PC，且 FQPC，CPFQ 为平行四边形，PF CQ，又AQEC， AQ=EC，四边形 AECQ 为平行四边形，AECQ，又
15、 PFCQ，AEPF，PF面 SPD，AE面 SPD，AE面 SPD（2）设 AC,BD 交于点 O， 。21. 设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 是数列 的前项和.（1）求数列 的通项公式；（2）求满足 的最大正整数 的值.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（1）已知前 n 项和的关系，求通项，将式子转化为 . ，从而得到数列是等比数列 ，根据等比数列的公式求通向即可。 （2）根居第一问得到数列是等比数列，根据 ，再根据等差数列求和公式得到 ，在乘积时再消去公共部分即可。（1）当 时， ， . . ， ， . 数列 是以 为首项，公比为 的等比数列. . （2）由（1）得： ， . . 令 ，解得： . 故满足条件的最大正整数 的值为 .22. 已知函数（1）当 时，求 的单调区间；（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围【答案】 （1） 的增区间为 ，无减区间；（2）【解析】试题分析：（1）给定函数表达式研究函数的单调区间，直接求导 g（x）=f（x）=2（exx1），研究导函数的正负即可；（2）恒成立求参的问题，变量分离 ，让左端小于等于右端的最小值即可，而右端的最值是通过求导研究函数单调性得到的。（1）当 a=1 时，设 g（x）=f（x）=2（exx1），g（x）=2（ex1）0，（x1）
