1、2018 届黑龙江省哈尔滨实验中学高三学年 12 月月考理科数学试题考试时间 120 分钟 总分 150 分 一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1已知集合 ，集合 ，则 等于（ ）|lg21Ax2|30BxABA. B. C. D. 2,3,31,2给出下列三个命题： 1:,sin2copxRx或 是“ ”的必要不充分条件2“3“yy若 ，则3:lg0abab那么，下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 12p12p23p23p3若 i为虚数单位，设复数 z满足| z |=1，则|z-1+i|的最小值为（ ）A. -1 B. 2- C. +1 D. 2+4已知 为两条不同的直线
2、， 为两个不同的平面，且 ， ，则下列命题中的假命题,ab,ab是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则bC. 若 相交，则 相交 D. 若 相交，则 相交,ab, ,a5设变量 ， 满足 ，若直线 经过该可行域，则 的最大值为（ ）xy521803xy20kxykA B C D1 456 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长 4丈，上棱长 2丈，高 2丈，问：它的体积是多少？”已知 1丈为 10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（ ）A.
3、10000立方尺 B. 11000 立方尺 C. 12000 立方尺 D. 13000 立方尺7. 已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物线上且当A24xyBP与抛物线相切时，点 恰好在以 、 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）PPABA. B. C. D. 5121221518.已知 是等差数列 的前n项和，且 ， 有下列四个命题，假命题的是nS)(*Nan576S（ ） A.公差 B.在所有 中, 最大0d 0n13C.满足 的 的个数有11个 D.nS76a9. 设椭圆 的左右交点分别为F 1，F 2 ， 点P在椭圆上，且满足 ，则126yx 921
4、PF的值为（ ） 21PFA.8 B.10 C.12 D.1510. 已知圆C： 和两点A（ ，0），B（ ，0）（ 0），若圆C上存在点P，使1)()3(22yxttt得APB=90，则当 取得最大值时，点P的坐标是（ ） tA B. C. D. )2,3()2,( )23,( )23,(11. 抛物线 的焦点为 F，抛物线的弦 AB经过焦点 F，以 AB为直径的圆与直线 相切xy12 )0(tx于 ，则线段 AB的长为（ ）)6,(tMA. 24 B. 18 C. 16 D. 12 12. 当 时， 恒成立，则 的取值范围为（ ）0xln1xeaaA. B. C. D. ,1,e,0二、填
5、空题（每题 5 分共 20 分）13. 已知 ，若 ，则 的最小值为_0,mn21n327m14已知焦距为 的双曲线 的左右顶点分别为 是双曲线上异于42(0,)xyab12,AM的任意两点，若 依次成等比数列，则双曲线的标准方程是_.12,A12,MAk15若 ， ，则 _.sinco4tantan216在 中， , .若 为 的外心，则 _ABC725ACOABCAOBC三、解答题(共计 70 分)17 （本题满分10分）(1)设 ，且 ，求证 ： . ),0(baba23aba(2)设 为不全相等的正数，且 ，求证： .cba, 1c cc118.（本题满分 12 分）如图，四棱锥 中，
6、 平面 , 是矩形，ABCDPABCD，1ABP直线 与底面 所成的角等于 30, ， .DCFE10(1)若 平面 ，求 的值；EF(2)当 等于何值时，二面角 的大小为 45？EAPD CBEF19.（本题满分 12 分）在 中， 是边 的中点，记ABsinsin,BCDBCsin.ABDt（1）求 的大小；A（2）当 取最大值时，求 的值.ttaD20. （本题满分 12 分）设 为数列 的前 项和， ，且 ，记nSna11232nna123a为数列 的前 项和， （1）求证：数列 是等比数列，并求 得通项公式；（2）nT1nann求 。n21. （本题满分 12 分）设 是椭圆 的左焦
7、点，直线 为 ，直线 与 轴F2:1(0)xyCablcax2lx交于点 ， 、 为椭圆 的左右顶点已知 ，且 PMN|8MN|2|PMF（）若过点 的直线与椭圆 相交于不同的两点 ，求证： ；AB， ABN（）求 的面积的最大值 ABF22. （本题满分 12 分）已知函数 xaxfln)1(2（1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值；并判断此时 的单)(xfy)1(,f 012yxa)(xf调性；（2）若 有两个极值点 ，且 ，当 恒成立时，求 m的取值范围。)(f21,21)(21mf数学：1 D 2 C 3 A 4D 5 A 6A 7. C 8.C 9. D 10D 11.A
8、12 A1396 14 15 1628821xy4317(1) 方法一(分析法) ：要证 a3+b3a2b+ab2 成立，即需证 (a+b)(a2-ab+b2) ab(a+b) 成立.又因 a+b0 ，故只需证 a2-ab+b2ab 成立，即需证 a2-ab+b20 成立，即需证 (a-b)20 成立.而依题设 ，则 (a-b)20显然成立.由此命题得证.方法二(综合法)： .注意到 ， a+b0 ，由上式即得(a+b)(a2-ab+b2) ab(a+b) . 所以 a3+b3a2b+ab2 . （2）解：a ， b ， c 为不全相等的正数 ，且 abc=1 ， .又 ， ，且 a ， b
9、， c 不全相等， 上述三个不等式中的“=”不能同时成立 . ，即 .故 . 18 解：（1）平面 PBC 平面 PAC=AC，EF 平面 PBC，若 EF平面 PAC，则 EFPC，又 F 是 PB 的中点， E 为 BC 的中点， 21(2)以 A 为坐标原点，分别以 AD、AB、AP 所在直线为 轴、 轴、 轴xyz建立空间直角坐标系，则 P（0，0，1） ，B（0，1，0） ， F（0， ， ） ，D（ ，0，0）, 设 ，则 E（ ，1，0）3a求得平面 PDE 的法向量 （ ，平面 ADE 的法向量 ，1n)3,a1,02n ，21n,2解得 或 （舍去）,所以当 时，二面角 的大
10、小 45。3a3a23aADEP19 （1）因为 ，所以 ，即sisinABCsinsinBCAB，整理得 ，又 ，所以 ，即sinBco01cos2.3（2） ，令 ，2iDtAB,Aba因为 ,所以 ，在 中， ，1C2214bcABC22bcb所以 ，当且仅当 时取等号，此时， 为正 ，22223bcatBa bcABC所以当 取最大值时， ttn.AD20 （1）由 2anan1=32n1（n2 ） ，得 ，1324na124nna由 2anan1=32n1（n2） ，且 3a1=2a2， 可得 2a2a1=6，即 2a1=6，得 a1=3数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，24
11、则 1214nnn 121nnna（2） +（2+2 2+23+2n）= =22n21n11.2nnS 21nn，根据等比数列求和公式： 1132nnnna3nnT故答案为： 。32nnT21解：（）因为 ，所以 又因为 ，所以 ，即|8MN4a|2|PMF2()acc，2310e所以 或 （舍去） ，所以 ， ，e2c21bc所以椭圆方程为 216xy当直线 的斜率为 时，显然 ，满足题意AB0AFMBN当直线 的斜率不为 时，设 ，此时设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，12()()xy， ， ， AB8xmy整理得 则 ，即 2(34)840my， 24814(3)0m24由韦达定理知 ，
12、1234my所以 ，从而 121212126()06()AFBymyykx AFMBN（） 2221 2274747| 163()634ABFPAFSSP m ，当且仅当 ，即 （此时满足 的条件）时取得等号，72316 22634m28m0故 的面积的最大值是 ABF22.（1）解： ，所以在023)1(2)(;2,)1(,2)( 2 xxfafxf为增函数。 ,0（2） 210),1(,102)( 1222 xxaxaxxaf ，令mxx mf 11 111122ln ln)(ln0)1(ln)(,210(,l)( )(ll 2111 112122 xxgxxg xaf所以， 为减函数，所以 1 3l)m
