1、2018 届陕西省西安市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合 ，故选：A2. 复数 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】复数 ，则 ，则 ，故选 D.3. 设 ，则“”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的（ ）A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 当 时，直线 ： 与直线 ： ，两条直线的斜率都是 ，截距
2、不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件， 当两条直线平行时，得到 ，解得后者不能推出前者， 前者是后者的充分不必要条件，故选 C.4. ，且 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 所以 , ， ，解得，故选 B.5. 执行如图所示的程序框图，如果运行结果为 ，那么判断框中应填入（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知输出结果为 S=5040，通过第一次循环得到 S=12=2，k=3，通过第二次循环得到 S=123=6，k=4，通过第三次循环得到 S=1234=24，k=5，通过第四次循环得到 S=12345=120，k=6，通过第四次循环
3、得到 S=123456=720，k=7，通过第六次循环得到 S=1234567=5040，k=8，此时执行输出 S=5040，结束循环，所以判断框中的条件为 k7？故选：B点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：（1）观察 S 的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；（2）观察每次累加的值的通项公式；（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为 0，累乘器的初值为 1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘） ，给循环变量加步长；（5）输出累加（乘
4、）值6. 已知公差不为 的等差数列 满足 ， ， 成等比数列， 为数列 的前 项和，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 所以 ，选 C.7. 的展开式中 的系数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据 和 的展开式的通项公式可得， 的系数为 ,故选 D.8. 等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 ， 两点， ；则的实轴长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：等轴双曲线焦点在 轴上，设其方程为 ，且 抛物线的准线方程为，代入双曲线方程，解得 ，解得 双曲线实轴 ，故选 C考点：1、等轴双曲线的简单性质；2、抛物
5、线准线方程9. 我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列 ， ， ， ， .第二步：将数列的各项乘以 ，得数列（记为） ， ， ,， .则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】a k= n2 时，a k1ak= =n2（ ）a1a2+a2a3+an1an=n2（1 ）+（ ）+（ ）=n2（1 ）=n（n1）故选：A10. 直线 被圆 所截得的最短弦长等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆 的圆心 ，半径为 ，直线 ， 此直线恒过定点 ，当圆被直线截得的弦最短时，圆心 与定点 的连线垂直于弦，弦心距为 ， 所截得
6、的最短弦长 ，故选 C.【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系以及求最值问题，属于难题. 解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.11. 已知三棱锥 所有顶点都在球 的球面上，且 平面 ，若 ，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： , , 三角形 的外接圆直径 , , 面 ， ，三角形 为等腰三角形， 该三棱锥的外接球的半径 ， 该三棱锥的外接球的表面积为 ，
7、故选 B.考点: 正弦定理和三棱锥外接球表面积的求法 .【方法点睛】本题主要考查正弦定理和三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长） ； 若 面 （ ） ，则 （为 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球； 特殊几何体可以直接找出球心和半径.本题是利用方法求解的.12. 已知函数 ， （ ， ， ）满足 ，且 ，则下列区间中是 的单调减区间的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 可得： ，即 ， ， ， ，函数 图象关于 对称， ， ，又 ， ，令 ，解得： ，令 ， ， 的
8、单调减区间的是故选：A点睛：形如 y Asin 的函数的单调区间的求法若 A0， 0，把 x 看作是一个整体，由 2 k x 2 k kZ 求得函数的增区间，由 2 k x 2 k kZ 求得函数的减区间.,若 A0， 0，则利用诱导公式先将 的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解.第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 粒内夹谷 粒，则这批米内夹谷约为_石；（结果四舍五入，精确到各位） 【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可
9、得这批米内夹谷的概率约为 ，所以这批米内夹谷约为石，故答案为 .14. 设 ， 满足约束条件 则 取得最大值时的最优解为_【答案】【解析】作可行域：Z 表示目标函数线纵截距的相反数，所以要使 z 最大，即纵截距最小，所以当目标函数线过 A(5,2)时，目标函数值最大，为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知一个空间几何体的三视
10、图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积是_【答案】200【解析】由三视图可知，该几何体是以侧视图为底面的棱柱，该棱柱底面积为 ，高为 ，所以该几何体的体积是 ，故答案为 .【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.16. 若对于曲线 上任意点处的切线 ，总存在 上处的切线 ，使得 ，则实数的取值范围是_【答案】【解析】f（x）=
11、 exx 的导数为 f（x）=e x1，设（x 1，y1）为 f（x）上的任一点，则过（x 1，y1）处的切线 l1 的斜率为 k1=ex11，g（x）=2ax+sinx 的导数为 g（x）=2a+cosx，过 g（x）图象上一点（x 2，y2）处的切线 l2 的斜率为 k2=2a+cosx2由 l1l2，可得（e x11）（2a+cosx2）=1，即 2a+cosx2= ，任意的 x1R，总存在 x2R 使等式成立则有 y1=2a+cosx2 的值域为 A=2a1，2a+1y2= 的值域为 B=（0，1） ，有 BA，即（0，1）2a1，2a+1即 ，解得 0a 故答案为：0， 三、解答题
12、（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若向量 ， ，其中 .记函数 ，若函数 的图象上相邻两个对称轴之间的距离是 .（1）求 的表达式；（2）设 三内角 、 、 的对应边分别为、 、 ，若 ， ， ，求 的面积.【答案】 （1） ;（2） .【解析】试题分析：（）由已知利用平面向量数量积的运算化简可得函数解析式 f（x）= ，由题意可知其周期为 ，利用周期公式可求 ，即可得解函数解析式（）由 f（C）=1，得 ，结合范围 0C ，可得 ，解得 C= ，结合已知由余弦定理得 ab 的值，由面积公式即可计算得解试题解析：（1） ，由题意可知其周期为
13、 ， ，即 ， .（2）由 ，得 ， ， ， ，解得 ，又 ， ，由余弦定理得 ， ，即 ，由面积公式得 面积为 .18. 某同学参加语、数、外三门课程的考试，设该同学语、数、外取得优秀成绩的概率分别为 ， ， （） ，设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为 ，都未取得优秀成绩的概率为 ，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.（1）求 ， ；（2）设 为该同学取得优秀成绩的课程门数，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1） ， ;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件 、 、 ，可得 ，试题解析：（1）设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件 、 、 ，
14、， ， 由已知条件可知： ， 又 ，则 ，（2） ， ， ；， 的分布列为所以 .19. 如图，在四棱锥中 ，底面 为边长为 的正方形， ， 分别为 ， 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）若 ， 平面 ，求直线 与平面 所成角的大小.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）设 的中点为 ，连接 ， ，根据三角形中位线定理可得 ，进而得四边形 为平行四边形，从而 ，由线面平行的判定定理可得 平面 ；（2）由（1）知，因为 平面 ，可得 平面 ， ，可证明 平面 ， ， ，两两垂直，以 为坐标原点，向量 ， ， 的方向为 轴， 轴，轴的正方形建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出直线 的方向向量与平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得直线与平面 所成角的正弦值，从而可得结果.试题解析：（1）设 的中点为 ，连接 ， ，则 ，而 四边形 为平行四边形. ，而 平面 ， 平面 平面 ；（2）由（1）知， ，因为 平面
