1、2018 届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合集合故选 D.2. 已知复数 ，则 （ ）A. 4 B. 0 C. 2 D. 【答案】C【解析】复数故选 C.3. 设数列 是等差数列，且 是数列 的前 项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等差数列 的公差为 . ，即 . ， ， ，故选 B.4. 若 为对立事件，其概率分别为 ，则 的最
2、小值为（ ）A. 10 B. 9 C. 8 D. 6【答案】B【解析】 为对立事件，其概率分别为 ，即 ，当且仅当 时取等号.故选 B.点睛：利用基本不等式解题的注意点：（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立；（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等 ；（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号5. 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线为 分别是双曲线的左、右焦点，若，则 （ ）A. 9
3、B. 2 C. 10 D. 2 或 10【答案】D【解析】双曲线的方程为 ，即 .又双曲线的一条渐近线为 ，即 ， ，即 或 .故选 D.6. 已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）A. -10 B. -4 C. 4 D. 6【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示：由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最小，此时最小.联立 ，解得 ，代入到目标函数得 .故选 A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求” ：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解
4、对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7. 在 中，已知 分别是 边上的三等分点，则 的值是（ ）A. B. C. 6 D. 7【答案】B【解析】 ， 是等边三角形，即 . 分别是 边上的三等分点 ， ， ，故选 B.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为 1，半圆柱的底面半径为 1，高为 2.该几何体的体积为故选 C.9. 三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完
5、善的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3072 边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的 ,则 的值可以是 （ ） （参考数据： ）A. 2.6 B. 3 C. 3.1 D. 3.14【答案】C【解析】模拟执行程序，可得： ， ，不满足条件 ， ， ，不满足条件 ， ， ，满足条件 ，退出循环，输出 的值为 .故 .故选 C10. 如图，抛物线 与圆 交于 两点，点 为劣弧 上不同于 的一个动点，与 轴平行的直线 交抛物线 于点 ，则 的周长的取值范围是（ ）A. B. C.
6、D. 【答案】A【解析】设 ， .由题意得圆 的圆心为 ，半径为 .抛物线抛物线的准线方程为 ，焦点为由抛物线的定义可得 ，则 的周长为 .联立抛物线与圆的方程，得 或 （舍去） ，故 . ，即 的周长的取值范围是 .故选 A.11. 曲线 上一点 处的切线交 轴于点 （ 为原点）是以 为顶点的等腰三角形，则切线的倾斜角为（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 120【答案】C【解析】对曲线 求导得 ，设切点 ，则 点处的切线的斜率为 .切线的方程为令 ，得 . 是以 为顶点的等腰三角形 ，即切线的斜率为切线的倾斜角为故选 C.12. 在平行四边形 中， ，且 ，若将其沿 折起使平面
7、平面 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】在平行四边形 中， ，若将其沿 折起使平面 平面 ，可得如图所示的三棱锥 ：其中，三棱锥 镶嵌在长方体中，即三棱锥 的外接球与长方体的外接球相同.外接球的半径为三棱锥 的外接球的表面积为故选 D.点睛：本题主要考查三棱锥外接球的表面积的求法.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常用方法有：若三棱棱两两垂直，则用 （ 为三条棱的长） ；若 平面 （ ） ，则 （为 外接圆的半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（本大题
8、共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 _【答案】 或-1【解析】公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ，即 . 或故答案为 或 .14. 从集合 中任选一个元素 ，则满足 的概率为_【答案】【解析】本题事件所包含的区域如图所示：全部事件区域是整个圆内部分，事件 表示的在圆内并且位于直线 右侧的部分所求概率为圆在第一象限位于直线 右侧的弓形部分面积除以整个圆的面积而得，即为.故答案为 .点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部
9、结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率15. 函数 在定义域 内可导，若 ，且 ，若 ，则 的大小关系是_【答案】【解析】函数 的图象关于直线 对称当 时， ，即 在 上为增函数；当 时， ，即 在 上为减函数. ，即 .故答案为 .16. 设函数 ，则满足 的 的取值范围是_【答案】【解析】 当 时，则 . ，即 ，此时无解当 ，则 .此时 恒成立当 时，则 .此时 恒成立综上所示，满足
10、的 的取值范围是 .故答案为 .三、解答题 （本大题共 7 小题，共 70 分.其中 17-21 题必作；22、23 题选作.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数 .（1）求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值；（2）若 ，求 的值.【答案】 （1） ，最大值为 2，最小值为-1.（2） .【解析】试题分析：（1）首先整理 ,由 可得函数的最小正周期，由可得 的范围,进而可得函数的最值；（2）由 可得 的值,由 的范围可得 的值,再由两角差的余弦公式可求得 的值.试题解析：（1）由 ，得，所以函数 的最小正周期为因为 ，所以 ，所以函数 在区间 上的最大值为
11、2，则最小值为-1（2）解：由（1）可知 ，又因为 ，所以 ，由 ，得 ，从而 ，所以 考点：二倍角公式；两角和与差的正弦,余弦公式；三角函数的性质.18. 在四棱锥 中， 平面 ， 是正三角形， 与 的交点为 ，又，点 是 的中点（1）求证：平面 平面 ；（2）求点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析；（2） .试题解析：（1）在正 中， ，在 中，因为 ，易证 ，所以 为 的中点，因为点 是 的中点，所以 ，因为 平面 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；（2）设 到 的距离为 ，在 中， ，所以 ，在 ， ，所以 ，在 中， ，所以 ，由 即 ，解得 .19. 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 4.5 元；乙公司规定每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件7 元.
