1、 高一数学必考知识点之平面向量相关知识进入新高一，很多同学还不能适应高中数学课程的学习，尤其高一又是非常关键的一年，高一数学学的好坏将直接影响同学们整个高中数学的成绩。那么高一数学的最关键学习点是什么呢? 学习高一数学最关键的是要抓基础，只有基础牢固了，才能将各种解题技巧运用得熟练，在高考中取得好成绩。以下是新高一同学必掌握的知识点-平面向量。第一、向量的基本概念。既有方向(direction) 又有大小(magnitude) 的量叫做向量(物理学中叫做矢量)，向量可以用小写黑体字母 a，b， c，.表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向的量叫做数量(物理学中叫
2、做标量)。第二、向量的表示方法。1、几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作 AB。(AB 是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个)有向线段 AB 的长度叫做向量的模，记作|AB| 。有向线段包含 3 个因素：起点、方向、长度。相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，向量 a、b 平行，记作 a/b，零向量与任意向量平行，即 0/a，在向量中共线向量就是平行向量，(这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量)长度等于 0 的向量叫
3、做零向量，记作 0。( 注意粗体格式，实数 “0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0” 上加箭头，以免混淆)零向量的方向是任意的;且零向量与任何向量都平行且垂直。模等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。2、坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底。任作一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y ，使得a=xi+yj我们把(x ， y)叫做向量 a 的( 直角)坐标，记作a=(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面
4、向量都可以用一对实数唯一表示。注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为(1，2) 那么该向量上的所有点都可以用(a， 2a)表示。即，该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。第三、向量的运算法则。1、加法已知向量 a、b，在平面上任意取一点 A，作 AB=a，BC=b，再作向量 AC，则向量AC 叫做 a 与 b 的和，记做 a+b，即 a+b=AB+BC=AC。AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。( 首尾相连，连接首尾，指向终点) 同样，作 AB=a,且 AD=BC,再作
5、平行 AD 的 BC=b，连接 DC，因为 ADBC，且 AD=BC，所以四边形 ABCD 为平行四边形，AC 叫做 a 与 b 的和，表示为：AC=a+b.这种方法叫做向量加法的平行四边形法则。(共起点，对角连)。已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB，以 OA、OB 为邻边作平行四边形OACB，则以 O 为起点的对角线 OC 就是向量 OA、OB 的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量 a，有：0+a=a+0=a。|a|-|b|a+b|a|+|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。2、减法AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。(共
6、起点，连终点，方向指向被减向量)与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。3、数乘实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，|a|=|a|，当 0 时，a 的方向和 a 的方向相同，当 aba=kba/be1e2=|e1|e2|cos3、向量积(1)向量 a 与向量 b 的夹角：已知两个非零向量，过 O 点做向量 OA=a，向量OB=b，则AOB= 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作a，b。(2)已知两个非零向量 a、b ，那么 ab 叫做 a 与
7、 b 的向量积或外积。若 a、b 不共线，ab 是一个向量，其模是 ab=|a|b|cosa，b;ab 的方向为垂直于 a 和 b，且 a、b 和 ab 按次序构成右手系。若 a、b 共线，则 ab=0。(3)向量积几何意义： ab是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。(4)向量积性质：aa=0ab=ab=0ab=-ba(a)b=(ab)=a(b)(a+b)c=ac+bc4、混合积定义：给定空间三向量 a、b 、c ，向量 a、b 的向量积 ab，再和向量 c 作数量积(ab)c，所得的数叫做三向量 a、b 、c 的混合积，记作 (a,b,c)或(abc) ，即(abc)=(a,b,c)=(
8、ab)c混合积具有下列性质：1、三个不共面向量 a、b 、c 的混合积的绝对值等于以 a、b、c 为棱的平行六面体的体积 V，并且当 a、b、c 构成右手系时混合积是正数;当 a、b、c 构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=V(当 a、 b、c 构成右手系时 =1;当 a、b、c 构成左手系时 =-1)2、上性质的推论：三向量 a、b 、c 共面的充要条件是 (abc)=03、(abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)第五、向量的特殊规律。1. 三角形 ABC 内一点 O，向量 OA向量 OB=向量 OB向量 OC=向量 OC向量OA，则点 O 是三角形的垂心。2. 若 O 是三角形 ABC 的外心, 点 M 满足向量 OA+向量 OB+向量 OC=向量 OM，则M 是三角形 ABC 的垂心。3 若 O 和三角形 ABC 共面，且满足向量 OA+向量 OB+向量 OC=零向量，则 O 是三角形 ABC 的重心。三点共线 三点 A,B,C 共线推出 OA=OB+aOC(+a=1)
