1、2018 届重庆市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线 的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】D所以 =故选 D.2. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，又故选：B点睛：在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.3. 若复数 满足 ，其中为虚数单位，则 在复平
2、面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】 ， ， 在复平面内所对应的点的坐标为 ，位于第三象限，故选 C.4. 已知 是两个不同平面，直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】， 是两个不同平面，直线 l，则“”“l” ，反之不成立 ， 是两个不同平面，直线 l，则“ ”是“l”的充分不必要条件故选：A5. 过点 ，且在 轴上的截距为 3 的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意设直线方程： ，又直线过点 ，1
3、=k+3k=-2直线方程是故选：D6. 已知直角坐标系中点 ，向量 ， ，则点 的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量 ， ， ，又点 的坐标为故选：C7. 若 满足约束条件 ，则 的最大值（ ）A. 9 B. 1 C. 7 D. 【答案】A【解析】设 z=2x3y 得 y= ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 ABC）：平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= ，过点 B 时，直线 y= 截距最小，此时 z 最大，由 得 ，即 B（3，1） ，此时 z=233（1）=6+3=9，目标函数 z=2x3y 最大值是 9故选 A点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性
4、规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8. 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？” ，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）A. 10 日 B. 20 日 C. 30 日 D. 40 日【答案】C【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列， ， ，
5、，设其公差为 ，则，故选 C.9. 已知函数 （ ， ）的最小正周期是 ，将函数 的图象向左平移个单位长度后所得的函数为 ，则函数的 图象（ ）A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴C. 有一个对称中心 D. 有一条对称轴【答案】B【解析】函数 （0，0）的最小正周期是 ，=2，f（x）=sin（2x ）将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度后，所得的图象对应函数为 y=g（x）=sin（2x+ ）=sin（2x+ ），令 x= ，求得 g（x）= ，故函数的图象不关于点（ ，0）对称，故排除 A；令 x= ，求得 g（x）=1，故函数有一条对称轴 x= ，故 B 满足条件；令 x= ，
6、求得 g（x）= ，故函数的图象不关于点（ ，0）对称，故排除 C令 x= ，求得 g（x）= ，故函数的图象不关于直线 x= 对称，故排除 D，故选：B10. 已知偶函数 ，当 时， .设 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于 为偶函数，故函数 关于 对称，依题意，在区间 函数为增函数，在上为减函数，由于 ，故 .点睛：本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数图像平移变换的判断，考查函数的单调性，考查二次函数比较大小的方法.题目给定函数的奇偶性，但是给定的不是原函数，是给定 的奇偶性，所以第一步要将对称轴向右平移得到 的对称轴，再根据函数的单调性可比较各数的大小
7、.11. 三棱锥 及其正视图和侧视图如下图所示，且顶点 均在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可得： 平面 且底面 为正三角形，如图所示，取 中点 ，连 ，则 ，在 中， ， ， ，在 中， ，所以 ，设球心到平面 的距离为 ，因为 平面 ，且底面 为正三角形，所以 ，因为 的外接圆的半径为 2，所以由勾股定理可得，则该三棱锥外接球的半径 ，所以三棱锥外接球的表面积是 ，故选 A点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断
8、出 平面 、求出 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.12. 在 中，角 所对的边分别为 ， 为 的外心， 为 边上的中点， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】D 是 BC 的中点， ，即 ， =（ ） = + =6，又 =（ ）（ ）= （ ）= （b216），6= （b216） ，解得 b=2，sinC+sinA4sinB=0，c+a4b=0，a=4bc=4，由余弦定理得 cosA= = 故选 C点睛：本题主要考查的是数量积的运算以及四心中的外心，处理外心问题经常会与数量积的几何意义投影结合到一起，外心在边上的射影点恰好是中点，
9、利用这个性质很多问题都可以迎刃而解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ， ，若 ，则 _.【答案】6【解析】 ， ，14. 已知函数 则函数 的单调递减区间为_.【答案】【解析】函数的定义域为：,令 ，即 ,解得：函数 的单调递减区间为点睛：求函数的单调区间的方法(1)确定函数 y f(x)的定义域；(2)求导数 y f( x)；(3)解不等式 f( x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式 f( x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间15. 对任意 ，函数 的值恒大于零，则 的取值范围是_.【答案】
10、或【解析】令 ，化简得 ，当 时， 不成立；当 时，对任意 恒成立，故 ，解得 ；当 时，对任意 恒成立，故 ，解得 .综上所述， 或 .点睛：本题主要考查利用分离常数法研究恒成立问题，考查一元二次不等式的解法.由于题目给定 的范围，要求的是 的范围，考虑将 分离出来，在分离过程中，遇到要除以 这样一个无法判断符号的式子，这时候就要对 的值按正数、零、负数三类进行分类讨论.16. 数列 满足： ，且 ，则数列 的前 项和 _.【答案】【解析】 ，即 是以 3 为首项，3 为公差的等差数列数列 的前 项和三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
11、17. 若数列 的前 项和 满足 .（1）求证：数列 是等比数列；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）由已知数列递推式求得首项，且当 时，有 ，与原递推式作差可得 ，即 ，可得数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列；（2）求出设 ，由裂项相消法求数列 的前 项和 .试题解析：(1) 当 时， ，解得 当 时，由题意， ，即所以 ，即 所以，数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列 (2)由（1） ， ，所以 所以 .点睛：本题主要考查了等比数列的概念及性质，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即
12、等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.18. 旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为 15000 元.旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过 35 人时，飞机票每张收费 800 元；若旅游团的人数多于 35 人，则给予优惠，每多 1 人，机票费每张减少 10 元，但旅游团的人数最多有 60 人.设旅行团的人数为 人，飞机票价格为 元，旅行社的利润为 元.（1）写出飞机票价格 元与旅行团人数 之间的函数关系式；（2）当旅游团的人数 为多少时，旅行社可获得最大
13、利润？求出最大利润.【答案】(1) ；(2) 或 58 时，可获最大利润为 18060元.（II）设利润为 Q，则 ，由此能求出旅行社获得最大利润时的旅行团人数和最大利润试题解析：（1）依题意得，（2）设利润为 ，则 当 且 时，当 且 时， 或 58 时，可获最大利润为 18060 元.19. 已知直线 是函数 的图象的一条对称轴.（1）求函数 的的单调增区间；（2）设 中角， 所对的边分别为 ，若 ，且 ，求 的最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）直接利用函数图象的对称轴 求出 m 的值，从而求出函数的关系式，再利用整体思想求出函数的单调区间（2）利用正弦定理和函数
14、的关系式的恒等变换求出函数的最值试题解析：（1） 是函数 的一条对称轴或 增区间为（2） 又 ，由正弦定理得： ， 时， 取最大值点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.20. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 平面 ，点 分别为 和 的中点.（1）求证：直线 平面 ；（2）求点 到平面 的距离 .【答案】(1)证明见解析
15、；(2) .【解析】试题分析：（1）设 的中点为 ，连接 ,证明四边形 为平行四边形，得到 ，即可证明 平面 ；（2）点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，设为 ，通过，求解即可 .试题解析：（1）设 的中点为 ，连接 , 由题意， 且 , 且 故 且 ，所以，四边形 为平行四边形所以， ,又所以， 平面 （2）由（1） ，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，设为 .由条件易求 ， 故 ，所以由 得解得 .21. 已知函数 的图象与 轴相切.（1）求 的值；（2）求证： ；（3）若 ，求证： .【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（）求导，利用导数的几何意义进行求出 ，再将所证不等式合理转化，作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可；（）作差构造函数，利用导数和换元思想进行证明试题解析：（） ，设 的图象与 轴相切于点 ，则 即 解得 ,所以 ,等价于
