1、2018 届辽宁省沈阳市交联体高三上学期期中考试 数学（理）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2log(1)Axy， 20Bx，则 AB（ ）A 0x B x C 1 D 02x2已知平面向量 ,ab的夹角为 09， (3,)a， b，则 2ab（ ） A2 B 7 C 2 D 23.已知 1sin3，则 cos()4（ ）A B C 13 D 3 4.已知等差数列 na满足 24， 50a，则它的前 12 项和 12S（ ）A135 B150 C.95 D855.2 位男生和 3 位女生共 5
2、位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A36 B24 C. 72 D1446.已知：命题 :p“ 1a是 0x， 2a的充分必要条件” ；命题 :q“ 0xR， 20x”，则下列命题正确的是（ ）A命题“ q”是真命题 B命题“ ()p”是真命题 C. 命题“ ()p”是真命题 D命题“ q”是真命题7.在平面直角坐标系中， (3,1)A， 点是以原点 O为圆心的单位圆上的动点，则 OAB的最大值是（ ）A5 B4 C.3 D 38.已知变量 ,xy满足205y则 1yux的取值范围是（ ）A 516,2 B 1,2 C. 5,2 D 514,29.从如
3、图所示的正方形 OABC区域内任取一个点 (,)Mxy，则点 取自阴影部分的概率为（ ）A 12 B 13 C. 4 D 1610.函数 ()tanfx，则函数 4()logyfx的零点的个数是（ ）A1 B2 C. 3 D411.已知直三棱柱 1AC中， 012ABC， 1BC，则异面直线 1AB与线 1C所成角的余弦值为（ ）A 14 B 5 C. 5 D 3412.定义在 R上的偶函数 ()fx满足 (2)(fxf，且在 ,2上是减函数， ,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A (sin)(cos)ff B (cos)(s)ff C. D 二、填空题（每题 5 分，满分
4、 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知关于 x的二项式 3()nax展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则 a的值为 14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 15.已知函数 2()sincos1fxx，将 ()fx的图象上各点的横坐标缩短为原来的 12倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 4个单位，得到函数 yg的图象，则函数 ()ygx的解析式为 16.设 P是曲线 1C上的任一点， Q是曲线 2C上的任一点，称 PQ的最小值为曲线 1C与曲线 2的距离，求曲线 1:xye与直线 2:1yx的距离为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和为 nS，且满足 2nna（ *N）.（1）证明：数列 1为等比数列，并求数列 的通项公式；（2）若 (2)nnb，求数列 nb的前 项和为 nT18. 台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的 100 户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成 0,2，(20,4， (0,6， (0,8， (0,1五组，并作出如下频率分布直方图（图 1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的 100 户居民捐款情况如右下表格，在图2 表格空白
6、处填写正确数字，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取 1户居民，抽取 3 次，记被抽取的 3 户居民中自身经济损失超过 4000 元的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布列，期望 ()E和方差 ()D.附：临界值表 2()PKk0.10 0.05 0.0252.706 3.841 5.024随机变量22()()abcdabc19.如图，直角梯形 ABCD与等腰直角三角形 ABE的平面互相垂直， /ABCD， B，2AB， E
7、.（1）求证： ABDE；（2）求直线 C与平面 成角的正弦值；（3）线段 上是否存在点 F，使 /C平面 FBD？若存在，求出 EFA；若不存在，说明理由.20. 某品牌汽车 4S店，对该品牌旗下的 A型、 型、 型汽车进行维修保养，每辆车一年内需要维修的人工费用为 200 元，汽车 店记录了该品牌三种类型汽车各 100 辆到店维修的情况，整理得下表：车型 型 型 C型频数 20 40 40假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的 100 辆该品牌三种类型汽车中随机制取 10 辆进行问卷回访.（1）从参加问卷回访的 10 辆汽车中随机制取两辆，求这两辆汽车来自不同类型的概率；（2）某公司一次性
8、购买该品牌 ,ABC型汽车各一辆，求这三辆车的一年维修人工费用的总和为 400 元的概率.（各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率）（3）经调查，该品牌 型汽车的价格与每月的销售量之间有如下关系：价格（万元） 25 23.5 22 20.5销售量（辆） 30 33 36 39由表中数据知 A型汽车的购买量 y与价格 x符合线性回归方程： yabx，若 A型汽车价格降到 19 万元，请你利用该回归方程预测月销售量大约是多少？ 参考数据：4137ixy42108.5ix参考公式： aybx 12niiyx21. 已知函数 ()xfea（ 为常数）的图象与 y轴交于点 A，曲线 ()yfx在点 A处
9、的切线斜率为1（1）求 a的值及函数 ()fx的极值；（2）证明：当 0时， 2xe；（3）证明：对任意给定的正数 c，总存在 0，使得当 0(,)x时，恒有 2xce22. 设 ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，且满足 2cosbBaA.（1）求角 的大小；（2）若 a，求 周长的最大值.试卷答案一、选择题1-5: ADDBC 6-10:DCBBC 11、12：DA二、填空题13. 2 14. 34 15.3()2sin(4)gxx 16.2三、解答题17. （1）解：(1)因为 Snn2a n，所以 Sn1 2a n1 (n1)(n2，nN *)两式相减，得 an2a n1 1 所以
10、 an12(a n1 1)(n2，nN *)，所以数列a n1为等比数列 因为 Snn2a n，令 n1 得 a11.a 112，所以 an12 n，所以 an2 n1 (2)因为 bn(2n1)a n2n1，所以 bn(2n1)2 n.所以 Tn3252 272 3(2n1)2 n1 (2n1)2 n， 2Tn32 252 3(2n1)2 n(2n1)2 n1 ， ，得T n322(2 22 32 n)(2n1)2 n162(2n1)2 n1 22 n2 (2n1)2 n1 2(2n1)2 n1 .所以 Tn2(2n1)2 n1 .18. 解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人
11、中，经济损失不超过 4000 元的有 70 人，经济损失超过 4000 元的有 30 人，则表格数据如下经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 60 20 80捐款不超过 500 元 10 10 20合计 70 30 100经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计经济损失不超过4000 元经济损失超过4000 元 合计（图 2）（图 2）762.430728)16(022 因为 4
12、.， (.8).05pk所以有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过 4000 元居民的频率为 0.3，将频率视为概率.由题意知 的取值可能有 0,123，3(,)10B， 03374()1pC， 12()，21389()00， 7()pC，从而 的分布列为 3()0.91Enp， 7).63D19. 解：（）取 AB中点 O，连结 E， D因为 EAB，所以 BO 因为四边形 C为直角梯形， C2， ，所以四边形 为正方形，所以 O 所以 平面 ED 所以 AB （）因为平面 AB平面 ，且
13、 E，所以 O平面 C，所以 由 ED,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz因为三角形 EAB为等腰直角三角形，所以 OBA，设 1B，所以(0,)(1,0)(,)(1,0)(,)(0,1)E 所以 ),(EC，平面 ABE的一个法捐款超过500 元 30捐款不超过 500 元 6合计0123487（图 2）向量为 (0,1)OD设直线 EC与平面 AB所成的角为 ，所以 |3sin|cos,ECOD， 即直线与平面 所成角的正弦值为 3 （）存在点 F，且 13EA时，有 C/ 平面 FBD证明如下：由 ),0(， )32,01(，所以 )32,04(设平面 BD的法向量为 v),(
14、cba，则有 ,.FBv所以 .abz取 1a，得 )2,(v因为 EC0)2,1(,，且 EC平面 D，所以 EC/ 平面 FBD 即点 满足13FA时，有 / 平面 FBD20. 解：（1）100 辆该品牌三种类型汽车中随机抽取 10 辆进行问卷回访，A、B 、C 型汽车各2，4，4 辆从参加问卷到访的 10 辆汽车中随机抽取两辆，有 =45 种方法，这两辆汽车来自同一类型的概率为 = ；汽车来自不同类型的概率为 45321p(2)表示 这三辆车的一年维修人工费用总和则 P（=400）=0.20.40.6+0.20.60.4+0.80.40.4=0.224，（ 3） = （25+23.5+
15、22+20.5）=22.75， = （30+33+36+39）=34.5，解得 2b， 80a 回 归 直 线 方 程 为 ： 802xy所 以 当 x=19 时 4所 以 预 测 月 销 售 量 大 约 是 42 辆 。21. 解：(1)由 f(x)e xax，得 f (x)e xa.又 f (0)1 a1，得 a2.所以 f(x)e x2x ，f ( x)e x2.令 f (x)0，得 xln 2.当 xln 2 时，f (x)0，f(x)单调递增所以当 xln 2 时，f( x)取得极小值，且极小值为 f(ln 2)e ln 22ln 22ln 4，f(x)无极大值(2)证明：令 g(x
16、)e xx 2，则 g(x)e x2x.由(1)得，g(x )f(x) f(ln 2)2ln 40，故 g(x)在 R 上单调递增，又 g(0)10，所以当 x0 时，g( x)g(0)0，即 x20 时，x 20 时，x 21，要使不等式 x2kx2 成立1c而要使 exkx2 成立，则只要 xln(kx2)，只要 x2ln xln k 成立令 h(x)x2ln xln k ，则 h(x)1 .2x x 2x所以当 x2 时，h( x)0，h(x)在(2，)内单调递增取 x016k16，所以 h(x)在( x0，)内单调递增又 h(x0)16k2ln(16k) ln k8(kln 2)3(k ln k)5k，易知 kln k，kln 2，5k 0，所以 h(x0)0.即存在 x0 ，当 x(x 0，)时，恒有 x20 时，x 2x0 时，有 x2 x3ex.3c 1c 13因此，对任意给定的正数 c，总存在 x0，当 x(x 0，)时，恒有 x2cex.22. 解:(1） ，所以（2c-b）cosA=acosB由正弦定理，得（2sinC-sinB）cosA= sinAcosB整理得 2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB2sinCcosA=sin（A+B）=sinC在ABC 中，sinC0 ， （2） , , 又 , , ,故 周长的最大值 3,
