莫比乌兹带.doc

1、麦比乌斯圈麦比乌斯圈(M bius strip, M bius band)是一种单侧、不可定向的曲面。因 A.F.麦比乌斯(August Ferdinand Mbius, 1790-1868)发现而得名。将一个长方形纸条ABCD 的一端 AB 固定，另一端 DC 扭转半周后，把 AB 和 CD 粘合在一起 ，得到的曲面就是麦比乌斯圈，也称麦比乌斯带。目 录故 事麦 比 乌 斯 圈 的 发 现奇 妙 的 麦 比 乌 斯 圈莫 比 乌 斯 环故 事数 学 上 流 传 着 这 样 一 个 故 事 ： 有 人 曾 提 出 ， 先 用 一 张 长 方 形 的 纸 条 ， 首 尾 相 粘 ，做 成 一 个

2、 纸 圈 ， 然 后 只 允 许 用 一 种 颜 色 ， 在 纸 圈 上 的 一 面 涂 抹 ， 最 后 把 整 个 纸 圈 全 部 抹成 一 种 颜 色 ， 不 留 下 任 何 空 白 。 这 个 纸 圈 应 该 怎 样 粘 ？ 如 果 是 纸 条 的 首 尾 相 粘 做 成 的 纸圈 有 两 个 面 ， 势 必 要 涂 完 一 个 面 再 重 新 涂 另 一 个 面 ， 不 符 合 涂 抹 的 要 求 ， 能 不 能 做 成只 有 一 个 面 、 一 条 封 闭 曲 线 做 边 界 的 纸 圈 儿 呢 ？ 麦 比 乌 斯 圈 的 发 现对 于 这 样 一 个 看 来 十 分 简 单 的 问

3、 题 ， 数 百 年 间 ， 曾 有 许 多 科 学 家 进 行 了 认 真 研 究， 结 果 都 没 有 成 功 。 后 来 ， 德 国 的 数 学 家 麦 比 乌 斯 对 此 发 生 了 浓 厚 兴 趣 ， 他 长 时 间 专心 思 索 、 试 验 ， 也 毫 无 结 果 。 有 一 天 ， 他 被 这 个 问 题 弄 得 头 昏 脑 涨 了 ， 便 到 野 外 去 散 步 。 新 鲜 的 空 气 ， 清 凉 的 风， 使 他 顿 时 感 到 轻 松 舒 适 ， 但 他 头 脑 里 仍 然 只 有 那 个 尚 未 找 到 的 圈 儿 。 一 片 片 肥 大 的 玉 米 叶 子 ， 在 他

4、眼 里 变 成 了 “绿 色 的 纸 条 儿 ”， 他 不 由 自 主 地 蹲 下去 ， 摆 弄 着 、 观 察 着 。 叶 子 弯 取 着 耸 拉 下 来 ， 有 许 多 扭 成 半 圆 形 的 ， 他 随 便 撕 下 一 片， 顺 着 叶 子 自 然 扭 的 方 向 对 接 成 一 个 圆 圈 儿 ， 他 惊 喜 地 发 现 ， 这 “绿 色 的 圆 圈 儿 ”就 是 他 梦 寐 以 求 的 那 种 圈 圈 。 麦 比 乌 斯 回 到 办 公 室 ， 裁 出 纸 条 ， 把 纸 的 一 端 扭 转 180， 再 将 一 端 的 正 面 和 背面 粘 在 一 起 ， 这 样 就 做 成 了

5、只 有 一 个 面 的 纸 圈 儿 。 圆 圈 做 成 后 ， 麦 比 乌 斯 捉 了 一 只 小 甲 虫 ， 放 在 上 面 让 它 爬 。 结 果 ， 小 甲 虫 不 翻 越任 何 边 界 就 爬 遍 了 圆 圈 儿 的 所 有 部 分 。 麦 比 乌 斯 圈 激 动 地 说 ： “公 正 的 小 甲 虫 ， 你 无可 辩 驳 地 证 明 了 这 个 圈 儿 只 有 一 个 面 。 ” 麦 比 乌 斯 圈 就 这 样 被 发 现 了 。 奇 妙 的 麦 比 乌 斯 圈做 几 个 简 单 的 实 验 ， 就 会 发 现 “麦 比 乌 斯 圈 ”有 许 多 让 我 们 惊 奇 有 趣 的 结

6、果 。 你 弄 好 一 个 圈 ,粘 好 ,绕 一 圈 后 可 以 发 现 ,另 一 个 面 的 入 口 被 堵 住 了 ,原 理 就 是 这 样啊 . 莫 比 乌 斯 带1实 验 1如 果 在 裁 好 的 一 张 纸 条 正 中 间 画 一 条 线 ， 粘 成 “麦 比 乌 斯 圈 ”， 再 沿 线 剪 开 ， 把这 个 圈 一 分 为 二 ， 照 理 应 得 到 两 个 圈 儿 ， 奇 怪 的 是 ， 剪 开 后 竟 是 一 个 大 圈 儿 。 实 验 2如 果 在 纸 条 上 划 两 条 线 ， 把 纸 条 三 等 分 ， 再 粘 成 “麦 比 乌 斯 圈 ”， 用 剪 刀 沿 画 线剪

7、 开 ， 剪 刀 绕 两 个 圈 竟 然 又 回 到 原 出 发 点 ， 猜 一 猜 ， 剪 开 后 的 结 果 是 什 么 ， 是 一 个 大 圈？ 还 是 三 个 圈 儿 ？ 都 不 是 。 它 究 竟 是 什 么 呢 ？ 你 自 己 动 手 做 这 个 实 验 就 知 道 了 。 你 就 会惊 奇 地 发 现 ， 纸 带 不 一 分 为 二 ， 一 大 一 小 的 相 扣 环 。 有 趣 的 是 ： 新 得 到 的 这 个 较 长 的 纸 圈 ， 本 身 却 是 一 个 双 侧 曲 面 ， 它 的 两 条 边 界 自 身虽 不 打 结 ， 但 却 相 互 套 在 一 起 。 我 们 可

8、以 把 上 述 纸 圈 ， 再 一 次 沿 中 线 剪 开 ， 这 回 可 真 的一 分 为 二 了 ！ 得 到 的 是 两 条 互 相 套 着 的 纸 圈 ， 而 原 先 的 两 条 边 界 ， 则 分 别 包 含 于 两 条 纸圈 之 中 ， 只 是 每 条 纸 圈 本 身 并 不 打 结 罢 了 。 关 于 麦 比 乌 斯 圈 的 单 侧 性 ， 可 如 下 直 观 地 了 解 ， 如 果 给 麦 比 乌 斯 圈 着 色 ， 色 笔 始 终沿 曲 面 移 动 ， 且 不 越 过 它 的 边 界 ， 最 后 可 把 麦 比 乌 斯 圈 两 面 均 涂 上 颜 色 ， 即 区 分 不出 何

9、是 正 面 ， 何 是 反 面 。 对 圆 柱 面 则 不 同 ， 在 一 侧 着 色 不 通 过 边 界 不 可 能 对 另 一 侧 也 着色 。 单 侧 性 又 称 不 可 定 向 性 。 以 曲 面 上 除 边 缘 外 的 每 一 点 为 圆 心 各 画 一 个 小 圆 ， 对 每个 小 圆 周 指 定 一 个 方 向 ， 称 为 相 伴 麦 比 乌 斯 圈 单 侧 曲 面 圆 心 点 的 指 向 ， 若 能 使 相 邻 两 点相 伴 的 指 向 相 同 ， 则 称 曲 面 可 定 向 ， 否 则 称 为 不 可 定 向 。 麦 比 乌 斯 圈 是 不 可 定 向 的 。 麦 比 乌 斯

10、 圈 还 有 着 更 为 奇 异 的 特 性 。 一 些 在 平 面 上 无 法 解 决 的 问 题 ， 却 不 可 思 议地 在 麦 比 乌 斯 圈 上 获 得 了 解 决 。 比 如 在 普 通 空 间 无 法 实 现 的 “手 套 易 位 问 题 ”： 人左 右 两 手 的 手 套 虽 然 极 为 相 像 ， 但 却 有 着 本 质 的 不 同 。 我 们 不 可 能 把 左 手 的 手 套 贴 切地 戴 到 右 手 上 去 ； 也 不 能 把 右 手 的 手 套 贴 切 地 戴 到 左 手 上 来 。 无 论 你 怎 么 扭 来 转 去 ， 左手 套 永 远 是 左 手 套 ， 右 手

11、 套 也 永 远 是 右 手 套 。 不 过 ， 倘 若 你 把 它 搬 到 麦 比 乌 斯 圈 上 来 ，那 么 解 决 起 来 就 易 如 反 掌 了 。 “手 套 易 位 问 题 ”告 诉 我 们 ： 堵 塞 在 一 个 扭 曲 了 的 面 上 ， 左 、 右 手 系 的 物 体 可 以通 过 扭 曲 实 现 转 换 。 让 我 们 展 开 想 象 的 翅 膀 ， 设 想 我 们 的 空 间 在 宇 宙 的 某 个 边 缘 ， 呈现 出 麦 比 乌 斯 圈 式 的 弯 曲 。 那 么 ， 有 朝 一 日 ， 我 们 的 星 际 宇 航 员 会 带 着 左 胸 腔 的 心 脏 出发 ， 却

12、 带 着 右 胸 腔 的 心 脏 返 回 地 球 呢 ！ 瞧 ， 麦 比 乌 斯 圈 是 多 么 的 神 奇 ！ 但 是 ， 麦 比 乌 斯圈 具 有 一 条 非 常 明 显 的 边 界 。 这 似 乎 是 一 种 美 中 不 足 。 公 元 1882 年 ， 另 一 位 德 国 数学 家 费 力 克 斯 克 莱 茵 （ Felix Klein， 1849 1925） ， 终 于 找 到 了 一 种 自 我 封 闭 而 没有 明 显 边 界 的 模 型 ， 后 来 以 他 的 名 字 命 名 为 “克 莱 因 瓶 ”。 这 种 怪 瓶 实 际 上 可 以 看 作是 由 一 对 麦 比 乌 斯

13、圈 ， 沿 边 界 粘 合 而 成 。 “麦 比 乌 斯 带 ”有 点 神 秘 ， 一 时 又 派 不 上 用 场 ， 但 是 人 们 还 是 根 据 它 的 特 性 编 出了 一 些 故 事 ， 据 说 有 一 个 小 偷 偷 了 一 位 很 老 实 农 民 的 东 西 ， 并 被 当 场 捕 获 ， 将 小 偷送 到 县 衙 ， 县 官 发 现 小 偷 正 是 自 己 的 儿 子 。 于 是 在 一 张 纸 条 的 正 面 写 上 ： 小 偷 应 当 放 掉， 而 在 纸 的 反 面 写 了 ： 农 民 应 当 关 押 。 县 官 将 纸 条 交 给 执 事 官 由 他 去 办 理 。 聪

14、 明 的 执 事官 将 纸 条 扭 了 个 弯 ， 用 手 指 将 两 端 捏 在 一 起 。 然 后 向 大 家 宣 布 ： 根 据 县 太 爷 的 命 令 放 掉农 民 ， 关 押 小 偷 。 县 官 听 了 大 怒 ， 责 问 执 事 官 。 执 事 官 将 纸 条 捏 在 手 上 给 县 官 看 ， 从 “应 当 ”二 字 读 起 ， 确 实 没 错 。 仔 细 观 看 字 迹 ， 也 没 有 涂 改 ， 县 官 不 知 其 中 奥 秘 ， 只 好 自认 倒 霉 。 县 官 知 道 执 事 官 在 纸 条 上 做 了 手 脚 ， 怀 恨 在 心 ， 伺 机 报 复 。 一 日 ， 又

15、拿 了 一 张 纸 条， 要 执 事 官 一 笔 将 正 反 两 面 涂 黑 ， 否 则 就 要 将 其 拘 役 。 执 事 官 不 慌 不 忙 地 把 纸 条 扭 了 一下 ， 粘 住 两 端 ， 提 笔 在 纸 环 上 一 划 ， 又 拆 开 两 端 ， 只 见 纸 条 正 反 面 均 涂 上 黑 色 。 县 官 的毒 计 又 落 空 了 。 现 实 可 能 根 本 不 会 发 生 这 样 的 故 事 ， 但 是 这 个 故 事 却 很 好 地 反 映 出 “莫 比 乌 斯 带”的 特 点 。 （ 接 下 来 所 讲 是 关 于 实 验 1， 并 将 其 与 宇 宙 联 系 起 来 ） 莫

16、 比 乌 斯 环奇 妙 之 处 有 三一 、 莫 比 乌 斯 环 只 存 在 一 个 面 。 二 、 如 果 沿 着 莫 比 乌 斯 环 的 中 间 剪 开 ， 将 会 形 成 一 个 比 原 来 的 莫 比 乌 斯 环 空 间 大 一倍 的 、 具 有 正 反 两 个 面 的 环 （ 在 本 文 中 将 之 编 号 为 ： 环 0） ， 而 不 是 形 成 两 个 莫 比 乌斯 环 或 两 个 其 它 形 式 的 环 。 三 、 如 果 再 沿 着 环 0 的 中 间 剪 开 ， 将 会 形 成 两 个 与 环 0 空 间 一 样 的 、 具 有 正 反 两个 面 的 环 ， 且 这 两 个

17、 环 是 相 互 套 在 一 起 的 （ 在 本 文 中 将 之 编 号 为 ： 环 1 和 环 2） ， 从此 以 后 再 沿 着 环 1 和 环 2 以 及 因 沿 着 环 1 和 环 2 中 间 剪 开 所 生 成 的 所 有 环 的 中 间 剪 开， 都 将 会 形 成 两 个 与 环 0 空 间 一 样 的 、 具 有 正 反 两 个 面 的 环 ， 永 无 止 境 且 所 生成 的 所 有 的 环 都 将 套 在 一 起 ， 永 远 无 法 分 开 、 永 远 也 不 可 能 与 其 它 的 环 不 发 生 联 系 而 独立 存 在 。 六 个 特 征莫 比 乌 斯 环 、 环 0

18、 和 生 成 的 所 有 的 环 的 六 个 特 征 ： 一 、 莫 比 乌 斯 环 是 通 过 将 正 反 面 其 中 的 一 端 反 转 180 度 与 另 一 端 对 接 形 成 的 ， 也因 此 它 将 正 反 面 统 一 为 一 个 面 ， 但 也 因 此 而 存 在 了 一 个 “拧 劲 ”， 我 们 在 此 不 妨 称 之为 “莫 比 乌 斯 环 拧 劲 ”1。 二 、 从 莫 比 乌 斯 环 生 成 为 环 0 需 要 一 个 “演 变 的 裂 变 ”过 程 ， 此 “演 变 的 裂 变”过 程 将 “莫 比 乌 斯 环 拧 劲 ”分 解 成 了 因 “相 通 ”或 “相 连

19、”从 而 分 别 呈 现 出 “螺 旋弧 ”向 下 和 “螺 旋 弧 ”向 上 两 个 方 向 “拧 ”的 四 个 “拧 劲 ”。 这 四 个 “拧 劲 ”中 的 第一 个 和 第 三 个 的 “拧 劲 ”将 正 面 转 化 为 反 面 ， 而 第 二 个 和 第 四 个 的 “拧 劲 ”再 将 反 面转 化 为 正 面 ， 或 者 说 是 ， 这 四 个 的 “拧 劲 ”中 的 第 一 个 和 第 三 个 的 “拧 劲 ”将 反 面 转化 为 正 面 ， 而 第 二 个 和 第 四 个 的 “拧 劲 ”再 将 正 面 转 化 为 反 面 ， 使 所 生 成 的 环 0 从而 存 在 了 “正

20、 反 ”两 个 面 。 三 、 从 莫 比 乌 斯 环 生 成 为 环 0 的 过 程 ， 还 使 环 0 具 有 了 因 相 互 转 换 而 最 终 呈 现 为同 一 个 方 向 上 的 、 性 质 不 同 的 四 个 “拧 劲 ”。 “演 变 的 裂 变 ”过 程 将 莫 比 乌 斯 环 的“莫 比 乌 斯 拧 劲 ”分 解 成 环 0 中 的 四 个 “拧 劲 ”， “莫 比 乌 斯 拧 劲 ”的 “能 ”也 被 生成 了 环 0 中 的 这 四 个 “拧 劲 ”的 “能 ”， 但 环 0 中 的 这 四 个 “拧 劲 ”的 “能 ”是 “莫比 乌 斯 拧 劲 ”的 “能 ”2 倍 ，

21、新 生 成 的 1 倍 于 “莫 比 乌 斯 拧 劲 ”的 “能 ”的 方 向 与 原来 的 “莫 比 乌 斯 拧 劲 ”的 “能 ”的 方 向 相 反 。 四 、 从 莫 比 乌 斯 环 生 成 为 环 0 的 过 程 ， 还 使 环 0 的 空 间 比 莫 比 乌 斯 环 的 空 间 增 大了 一 倍 。 五 、 从 环 0 生 成 环 n 和 环 n+1 的 过 程 ， 环 0 中 的 四 个 “拧 劲 ”的 “能 ”不 会 增 加， 但 从 环 0 的 “裂 变 ”中 ， 每 “裂 变 ”一 次 会 增 加 一 个 环 0 的 空 间 。 六 、 从 环 0 生 成 环 1 和 环 2

22、 以 及 再 “裂 变 ”直 至 环 n 和 环 n+1 后 ， 所 生 成 的 所 有的 环 n 和 环 n+1 都 将 套 在 一 起 ， 永 远 无 法 分 开 、 永 远 也 不 可 能 与 其 它 的 环 不 发 生 联 系而 独 立 存 在 。 奇 妙 的 启 示从 莫 比 乌 斯 环 的 三 个 奇 妙 之 处 和 莫 比 乌 斯 环 、 环 0 以 及 生 成 的 所 有 的 环 的 六 个 特征 ， 我 们 得 到 奇 妙 的 启 示 ： 一 、 无 论 将 莫 比 乌 斯 环 放 在 宇 宙 时 空 的 任 何 地 方 ， 我 们 同 样 也 会 发 现 莫 比 乌 斯 环

23、 之外 的 空 间 也 只 能 是 存 在 一 个 面 ， 因 此 ， 宇 宙 时 空 的 任 何 空 间 之 处 也 只 存 在 一 个 面 。 如 果宇 宙 时 空 的 任 何 空 间 之 处 只 存 在 一 个 面 ， 那 么 我 们 就 可 以 认 为 宇 宙 时 空 中 的 任 何 一 点 与其 它 的 点 都 是 相 通 的 ， 即 整 个 宇 宙 时 空 是 相 通 的 ， 任 何 一 点 都 是 宇 宙 的 中 心 ， 也 是 宇 宙的 边 缘 ， 宇 宙 时 空 中 的 任 何 物 质 也 都 是 一 样 ， 也 都 处 于 宇 宙 的 中 心 ， 也 都 处 于 宇 宙 的

24、 边缘 。 二 、 宇 宙 时 空 中 的 任 何 一 个 点 都 可 以 通 过 “裂 变 ”的 方 式 无 中 生 有 2 地 生 成 一 个对 立 的 阴 阳 两 性 。 无 论 生 成 的 这 一 个 对 立 的 阴 阳 两 性 是 否 需 要 载 体 呈 现 出 来 ， 通 过“裂 变 ”的 方 式 ， 无 中 生 有 地 、 生 成 的 一 个 对 立 的 阴 阳 两 性 ， 都 需 要 一 个 比 原 来 的 空 间大 一 倍 的 空 间 ， 来 体 现 这 生 成 的 、 一 个 对 立 的 阴 阳 两 性 。 三 、 只 要 存 在 “裂 变 ”就 会 使 原 来 的 莫 比

25、 乌 斯 环 不 再 以 “本 来 面 目 ”存 在 ， 或 者说 ， 原 来 的 莫 比 乌 斯 环 已 经 不 存 在 了 。 从 无 中 生 有 的 、 生 成 的 、 具 有 一 个 对 立 的 、 阴 阳两 性 的 环 0“复 原 ”成 原 来 的 莫 比 乌 斯 环 ， 则 需 要 化 解 一 个 对 立 的 阴 阳 两 性 的 面 。 四 、 从 莫 比 乌 斯 环 生 成 为 环 0 的 过 程 ， 还 使 环 0 具 有 了 因 相 互 转 换 而 最 终 呈 现 为同 一 个 方 向 上 的 、 性 质 不 同 的 四 个 “拧 劲 ”。 我 们 得 知 ， 任 何 一 个

26、 肯 定 应 该 是 一 个 具有 同 一 个 方 向 上 的 、 有 缺 口 的 或 说 成 是 非 绝 对 的 否 定 之 否 定 之 否 定 之 否 定 的 矢 量 （ 有 一定 方 向 的 否 定 ） 过 程 。 五 、 从 环 0 生 成 环 1 和 环 2 以 及 再 “裂 变 ”直 至 环 n 和 环 n+1 后 ， 所 生 成 的 所 有的 环 n 和 环 n+1 都 将 套 在 一 起 ， 永 远 无 法 分 开 、 永 远 也 不 可 能 与 其 它 的 环 不 发 生 联 系而 独 立 存 在 。 这 说 明 宇 宙 万 物 之 间 存 在 普 遍 联 系 的 法 则 ，

27、 而 且 任 何 一 点 或 一 个 事 物 都 与其 他 所 有 的 宇 宙 万 物 相 通 相 连 ， 是 不 可 分 割 的 、 不 可 遗 漏 的 。 六 、 宇 宙 万 物 从 最 终 起 源 上 来 讲 是 没 有 任 何 差 异 的 ， 均 起 源 于 只 有 一 个 面 的 空 间 或者 说 没 有 任 何 面 的 状 态 。 因 此 也 可 以 说 宇 宙 万 物 都 是 从 无 中 生 有 中 而 来 ， 只 不 过 是 在 演变 的 过 程 中 呈 现 出 差 异 而 已 。 七 、 在 莫 比 乌 斯 环 生 成 为 环 0 的 “裂 变 ”过 程 中 ， 无 中 生

28、有 的 增 加 生 成 原 有 “拧 劲 ”中 的 1 倍 的 新 的 能 量 ， 也 就 是 说 在 新 产 生 的 一 对 阴 阳 两 性 关 系 体 的 过 程 中 的“裂 变 ”不 遵 循 “能 量 守 恒 原 则 ”； 而 之 后 的 所 有 的 宇 宙 万 物 的 再 “裂 变 ”只 能 使 宇宙 的 时 空 增 大 ， 不 再 生 成 新 的 能 量 ， 而 且 在 “裂 变 ”中 必 然 遵 循 “能 量 守 恒 原 则 ”。 八 、 宇 宙 时 空 中 的 任 何 一 个 点 都 可 以 通 过 无 中 生 有 的 方 式 第 一 次 生 成 阴 阳 两 性 ， 然后 再 分 别 以 刚 生 成 的 阴 阳 两 性 为 基 础 生 成 第 一 次 的 阴 阳 两 性 的 两 个 物 质 ， 第 二 次 、 第 三次 直 至 永 无 穷 尽 。