1、- 1 - 线性代数基本内容、方法及要求第一部分 行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1） ； （2） ； （3） ； TAA1 Akn（4） ； （5） ； （6） ； 1*nABBB0*（7） ； （8） jianiij与01 jiAanjij与1（其中 为 阶方阵， 为常数）BA,nk5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一
2、个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算 3-5 阶行列式的值。- 2 -4、会计算简单的 阶行列式。n5、知道并会用克莱姆法则。第二部分 矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆） 。4、 阶矩阵 可逆 A为非奇异(非退化) 的矩阵。nA0为满秩矩阵。nR)(只有零解0AX有唯一解b的行（列）向量组线性无关的特征值全不为零。A可以经过初等变换化为单位矩阵。可以表示成一系列初等矩阵的乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（
3、1）定义法；（2）初等变换法） 。- 3 -7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。第三部分 向量组的线性相关性【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量 ，向量组
4、 ： ，向量组 ：bAn,21 B，则m,2（1）向量 可被向量组 线性表示bA),(),(2121 bRRnn （2）向量组 可被向量组 线性表示B),(),( 212121 mnnR （3） 向量组 与向量组 等价的充分必要条件是：A ),(),(),( 21212121 mnmn RR - 4 -（4）基本题型：判断向量 或向量组 是否可由向量组 线性表示？如果能，写出表bBA达式。解法：以向量组 ： 以及向量 或向量组 : 为列向量构成An,21 bBm,21矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。2、向量组的线性相关性判别向量组 的线性相关、线性无关的常用方法：s,2
5、1方法一：（1）向量方程 只有零解 向量组021skk 线性无关；s,21（2）向量方程 有非零解 向量组 021skk s,21线性相关。方法二：求向量组的秩 ),(21sR（1）秩 小于个数 s 向量组 线性相关),(21s s,21（2）秩 等于个数 s 向量组 线性无关。),(21sR s,21（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关 以向量组 为列向量的矩阵的行列式非零；s,21向量组线性相关 以向量组 为列向量的矩阵的行列式为零。s,213、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。- 5 -基本题型：判断向量组
6、的相关性以及求出向量组的极大无关组。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、了解向量空间及其基和维数的概念。第四部分 线性方程组【主要内容】1、齐次线性方程组 只有零解 系数矩阵 的秩 未知量个数 n；0AxA2、齐次线性方程组 有非零解 系数矩阵 的秩 未知量个数 n.3、非齐次线性方程组 无解 增广矩阵 秩 系数矩阵 的秩；bx),(bB
7、A4、非齐次线性方程组 有解 增广矩阵 秩 系数矩阵 的秩A),(A特别地，1）增广矩阵 的秩 系数矩阵 的秩 未知量个数 n),(bB非齐次线性方程组 有唯一解；Ax2）增广矩阵 的秩 系数矩阵 的秩 未知量个数 n 非齐次),(bA线性方程组 有无穷多解。x- 6 -【要求】1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。4、会求解非齐次线性方程组。第五部分 相似矩阵及二次型【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施
8、密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解特征方程 ；0EA（2）特征向量的求法：求方程组 的基础解系。X5、相似矩阵的定义（ ） 、性质( 相似 、 、BAP1A, )(BRA有相同的特征值)。BA,6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵 P 使得 为对角1矩阵。7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）（1）写出二次型的矩阵 .A- 7 -（2）求出 的所有特征值An,21（3）解方程组 （ ）求对应于特征值 的0)(XEii, n,21特征向量 n,21（4）若特征向量组 不正交，则先将其正交化，再单位化，得标
9、准正交n,21的向量组 ，记 ，对二次型做正交变换, ),(21nP,即得二次型的标准形Pyx 22nyyf 8、正定二次型的定义及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值全大于零（3）顺序主子式全大于零【要求】1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。5、知道正定二次型的概念及其判定方法。- 8 -线性代数练习题一、单项选择题1、行列式 中，元素 的代数余子式是 2
10、108342a（A） （B ） （C ） （D） 2012012012、二阶行列式 的值为 2ba(A) (B) (C) (D)3)(3ba2ba3、设行列式 ，则 k 的取值为（ ）012k（A）2 （B） - 2 或 3 （C）0 （D） - 3 或 2- 9 -4、若行列式 =1，则 = 321cba321abc（A）1 （B）2 （C）0 （D） 15、设 a，b，c，d 为常数，则下列等式成立的是 （A） （ B） dbca21 11dbcadb（C） （D） cd2 c6、设 阶行列式 = ， 是 中元素 的代数余子式，则下列各式中nDnijajiAjia正确的是 (A) (B)
11、01niijAa01njijAa(C) (D) Dnjij1 Dnii127、设 均为 阶可逆矩阵，则下列各式成立的是 BA,（A） (B)TT)( 11)(BA(C) (D) B- 10 -8、设 为 3 阶方阵，且行列式 ，则 A1A2(A)- 8 (B)- 2 (C) 2 (D)89、设 为 阶方阵且满足 ，则 B,nOB(A) 或 (B) OA OBA(C) 或 (D) 0 010、设 为 阶可逆方阵，则下列各式必成立的是 BA,n（A） （B） T)( A（C） （D ）11)(AB*111、设矩阵 ， ，则 32120BA(A) (B) (C)（1,0,6 ） (D) 764203
12、160112、设行矩阵 , ， 且321,aA321,bB24310BAT则 TB（A） 1 （B） -1 （C） 2 （D） -2- 11 -13、下列命题正确的是 B .（A）若矩阵 满足 ，则有 或,OABOB（B）若矩阵 满足 ，则矩阵 都可逆。,EA,（C）若 是 阶矩阵 的伴随矩阵，则*Ann*（D）若 ，则O014、设 为三阶矩阵, , , 则 = BA2A41B1)(2A(A) 4 (B) 1 (C) 16 (D) 15、下列说法不正确的是 (A）相似矩阵有相同的特征值。(B） 阶矩阵可对角化的充要条件是它有 个不同的特征值。nn(C） 元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是
13、。0AxnAR)(（D）正交的向量组一定是线性无关的。16、 维向量组 线性无关的充要条件是 n)3(,21ns(A) 存在一组不全为零的数 使sk,21 021sk(B) 中任意两个向量线性无关s,21(C) 中存在一个向量可由其它向量线性表出s,21- 12 -(D) 中任何一个都不能由其它向量线性表出s,2117、向量组 ， ， ， 的秩为 . 315312422106（A） （B） （C） （D ）318、设 均为 阶可逆矩阵，则分块矩阵 的逆矩阵是 .,n0BA（A） （B） 01B1A（C） （D ）1 1019、设 ， ，且 ，则 102aA103bBTBA(A) (B) ,ba
14、 0,3ba(C) (D) 2,3,120、设 A 可逆，则 的解是 BX(A) (B) (C) (D) ABA11A- 13 -21、下列说法正确的是( )。(A) 任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。(B) 设方阵 A 是非奇异性的， A 经过初等行变换得到阶梯阵 B，则方阵 B 为奇异的。(C) 初等矩阵都是可逆的。(D) 矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。22、设 A，B 都是可逆矩阵，则 AB 的逆是 （A） （B） （C） （D） A1B1A23、设 ，则 01)(r(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 024、设 是 阶方阵,若 ,则 的基础解系所含向量的个数为 A
15、n)(nARX(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) n25、二次型 的矩阵是 212xxf(A) (B) (C) (D) 001201二、填空题1. 五阶行列式的展开式共有 项.- 14 -2.行列式 中元素 的余子式 =_317045232a32M3.四阶行列式 的值是 04324.矩阵 中的元素 =_12321c5.若 A，B 为 n 阶矩阵，则 =_)(BA6.设 为 3 阶方阵，且 ，则 , 2,4 )(1*7.设矩阵 ，则 3021AAT8.设 ，则 cba0n9.若 A 是可逆矩阵，则 =_1)(A10.设矩阵 ，则 12031- 15 -11设 A， B是两个可逆矩阵，则分
16、块矩阵 10BA12设矩阵 的秩 ，则 k13)(ARk13若向量组 线性无关，且 ，则数 321,0321k321,k14.向量组 ， ， ， 中不能由其余向量线性表示的是 011231415.向量组 的秩为_)0,(),(),(32116在线性方程组 中，若未知量的个数 n=5， ，则方程组的一般解中OAX3)(Ar自由未知量的个数为_17设 4 元线性方程组 的系数矩阵的秩为 3，且 为其两个解，bAX 5432,1则 的通解为 b18设向量组 线性无关，则向量组 （填线321,a 32121,aa性相关，线性无关） 。19设 元线性方程组 有解，则当 时， 有无穷多解。nbAX)(AR
17、bX20若 3 阶方阵 的特征值分别为 1，-1，2，则 的特征值为 EB- 16 -21已知 阶矩阵 的特征值 都不为零，则 的特征值为 nAn,21 1A22设向量组 ， ， ，T5301T32T62线性相关，则 2423.若向量 与向量 正交，则 43130kk24已知三阶矩阵 的特征值为 ，其对应的特征向量分别是A1,321，则 ,123321P与 AP25.若方阵 与 相似，则 的特征值为_A2054B26若矩阵 与 相似,则 x1234x27若二次型 是正定的,则 应满足的条件31212321321),( xtf t是 三、计算题1、计算行列式 43120- 17 -2、设 ， ，
18、求 。012A213BAB3、已知 且 ，求矩阵 X。IX3124、设 ，其中TAB 11B,求矩阵5、求 的秩。823110425A6、求方阵 的特征值与特征向量。027、求向量组 ， ， ， ，的一个极大无关组。01210323148、已知向量组 ， ， ， ，T,1T,02T1,03T0,14，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。T0,4235- 18 -9、判断线性方程组 ，当 k 为何值是有解？2311kx10、设线性方程组 的一般解为 ， 为自由变量，bAX42311x43,x求 的通解。11、设 为 34 矩阵， ，若非齐次线性方程组 的三个解分别为：A2)(ARAxb ， ，
19、 ，1202413154求： （1）齐次线性方程组 的通解；0Ax（2）非齐次线性方程组 的通解.b12、求一个正交变换 ，把下面的二次型化为标准形Pyx32321321 4),( xxf 四、证明题1设 ， ，证明： 是对称矩阵。IA2ITA2. 证明：若向量 是方阵 的同时属于特征值 的特征向量，则有x21与 213设 是 阶方阵 的不同特征值， 分别是 的对应于 的特征向量，12,nAX12,A12,- 19 -证明： 不是 的特征向量.X12A4证明：若矩阵 相似于 ，则BAEB线性代数模拟试题答案一、单项选择题1、A 2、B 3、B 4、D 5、B 6、C 7、A 8、A 9、C 1
20、0、B 11、A 12、C 13、B 14、C 15、B 16、D 17、C 18、C 19、C 20、D 21、C 22、D 23、B 24、C 25、B二、填空题1、 5! 2、 3、24 4、1 5、106、8 7、 8、2BA 59、nncba0)(1A10、 11、 12、 13201 1B313、 14、 15、3 16、2321k13- 20 -17、 （注：此题答案不唯一） 18、线性无关 19、小于 n 4321k20、 21、 22、2 23、5 ,0121,n24、 25、 26、 27、 013,171t三、计算题1、解： 51042450123422、解： = 01A
21、B23073、解： 存在，用 右乘方程 两边，得 1A1IXA1AX又 10312 1310254- 21 -所以， 132541A4、解： = 及1TX11B存在，且1)(EB12)(1EB将已知等式 整理得：TXA1)(EBXAT所以 1215、解：对矩阵 施行初等行变换得， A 823110425A00136所以 2)(Ar6、解：矩阵 的特征多项式为： 2)1(31422501EA- 22 -令 ，解得 的特征值为： 0EAA.1,3321当 时，求解齐次线性方程组 的基础解系，由31 0)(xE420EA 01得对应的方程组为 ,从而解得基础解系 0132x 1p于是属于特征值 的全
22、部特征向量为 ，其中 k 为任意非零常数。11当 时，求解齐次线性方程组 的基础解系， 由320)(xEA240EA 012得对应的方程组为 , 从而解得基础解系 0321x 10,23p于是属于特征值 的全部特征向量为 ， 其中数 是不同时为零3232lpklk,的任意常数。7、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得，2103),(4321 021所以，所求向量组的极大无关组为： 。 21,- 23 -8、解：记矩阵 ，对其进行初等变换得54321aaA01420 10231由最后一个矩阵可知 3)(AR从而所求向量组的秩为 3 ，又因为非零行非零首元所在的列依次为 1，2
23、，5 列所以 为其中一个极大无关组（ 或 也对） 521,a531,a541,9、解：已知方程组的增广矩阵为： 20kA对 施行初等行变换得： A2031k 4201k所以当 ，即 时，方程组有解。 02k2k10、解： 已知方程组对应的齐次线性方程组 的一般解为 （0AX4231x为自由变量）43,x- 24 -令 得： ；令 得： ；0,143x121,043x02则 为齐次方程组 的基础解系；21,0AX再令 ，得非齐次方程组 的特解：043xb01X所以 的通解为： 。 bAX021kX11、 解：（1）由已知条件可知，齐次方程组 含基础解系个数为 2 个向量，AX因为 ， ， ，为非
24、齐次方程组1202413154的解，bAX所以 为齐次方程组 的解)(),(13120AX又因为 线性无关)(),(1312所以 的通解为：0AX)()(132121kk（2）由（1）及非齐次方程组解的结构，不难得知：非齐次方程组 的通解为：bAX313212)()(kk- 25 -（注：此题答案不唯一）12、 解：已知二次型的矩阵为： 320A的特征多项式为：A|E320)1(5)2(令 得 特征值：0|EA5,132当 时 ，解方程组 ,得基础解系 ，单位化得10)(xEA10210当 时， 解方程组 , 得基础解系20)2(xEA012当 时， 解方程组 ,得基础解系 ，单位化得530)
25、5(xEA132103- 26 -令矩阵 210P则 为正交矩阵，于是所求正交变换为： ，就是此变换把二次型化为标准形Pyx23215yyf四、证明题1. 证明：因为 ， 所以 ，从而 存在IA20A1又因为 ，所以 I )(用 左乘等式 两边得，1A0)(AA故 是对称矩阵。 2. 证明： 若 则由 21xx21可知： 0)(21又因为 所以 ，这与 为特征向量矛盾21xx所以 213证明：假若 是矩阵 的属于特征值 特征向量，即X12A- 27 -212121)()( XXA因为 分别是 的对应于 的特征向量，X12, 12,所以 线性无关，并且12,，1XA2所以 ，即21210)()(21X于是 ，这与 不同矛盾。2112,4证明：因为矩阵 相似于 ，BA所以 P1从而 PE11AP)(1E1
