1、360第 13 章 虚位移原理及拉格朗日方程在静力学中，通过几何矢量法建立了质点系的平衡方程，进而解决了物体间的平衡问题，虚位移原理主要是从力、位移和功的概念出发，运用数学分析的方法解决某些静力学问题。法国数学家拉格朗日将达朗贝尔原理和虚位移原理相结合，建立了解决动力学问题的动力学普遍方程。并且进一步导出了拉格朗日方程。13.1 主要内容13.1.1 虚位移的基本概念1、约束和约束方程非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。用解析表达式表示的限制条件称为约束方程。2、约束的分类 在虚位移原理中，将约束分为 4 类：a、几何约束和运动约束，b. 定常约束和非定常约束，c. 完整约束和非完整约束
2、，d. 双面约束和单面约束。约束方程的一般形式应为i1,2, ,n， j1,2,sfxyzxyzj ii10, 3、自由度a、设某质点系由 n 个质点、s 个完整约束组成。则自由度数 k 为k3ns若质点系为平面问题，则k2nsb、设某质点系由 n 个刚体、s 个完整约束组成。则自由度数 k 为k6ns若为平面问题，则为k3ns4、广义坐标用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。此系统任一质点 Mi 的坐标可以表示为广义坐标的函数，即i1,2,nrqi k12,这是用广义坐标 qi 表示的质点系各质点位置的表达式。13.1.2 虚位
3、移 虚功1、虚位移在给定的位置上，质点系为所有约束所容许的无限小位移，称为此质点或质点系的虚位移。虚位移有三个特点：第一，虚位移是约束所容许的位移；第二，虚位移是无限小的位移；第三，虚位移是虚设的位移；虚位移用 ri 表示，以区别于实位移 dri。这里的“ ”是等时变分算子符号，简称变分符号。在虚位移原理中它的运算规则与微分算子“d”的运算规则相同。2、虚功作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功称为虚功，则虚功的表达式为361rFW3、理想约束在质点系的任何虚位移中，如果约束反力所作的虚功之和等于零，这种约束称为理想约束。则理想约束的条件可以表示为 01iNniFr例如：光滑面约束；光滑
4、铰链约束；对纯滚动刚体的固定面约束；无重钢杆(二力杆 )约束； 不可伸长的绳索约束。都是理想约束。13.1.3 虚位移原理及应用1、虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即 0FW虚位移原理的矢量表达式为 1inir在直角坐标系的投影表达式为 01 iziyixni FF以上各式也称为虚功方程。2、虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题。a、已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置。b、已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力。在此情况下，需要解除对应的约束，用相应的约束力代替，使待
5、求的内力或约束力“转化”为主动力。从而使此系统获得相应的自由度，为使系统发生虚位移创造条件。13.1.3 用广义力表示质点系的平衡条件具有完整、双面、定常的理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：对应于每一个广义坐标的广义力均等于零。FQh0 h1,2,k直角坐标系下的广义力表达式为 hizhiyhixnihQqFq1用几何法表示为 jFjQW势力场中的广义力表示为h1,2, ,khhqVF即广义有势力等于势能函数对相应的广义坐标的一阶偏导数再冠以负号。13.1.5 动力学普遍方程及拉格朗日方程在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力362在任
6、一虚位移上所作虚功之和等于零。 iniiiFmar10这就是动力学普遍方程（也称为达朗贝尔拉格朗日方程） 。写成直角坐标系上的投影式为 01 iiiziiiyiiixni zmF在动力学普遍方程中不包含约束力。由此可知，将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立了动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现，再将普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，可导出第二类拉格朗日方程，以实现用最少数目的方程来描述动力系统，即h=1,2,khQhFqTtd这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数，称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。 若引入拉格朗日
7、函数： VTL则 ),12( 0)(dkjqtjj 称为保守系统的拉格朗日方程。它们是一个方程组，方程的数目等于该系统的自由度数（或广义坐标数） 。13.2 基本要求、对约束方程、理想约束和虚位移有清晰的概念。、会利用几何法、虚速度法、变分法计算系统各点的虚位移关系，能正确地运用虚位移原理求解物系的平衡问题。、对广义坐标、自由度、广义力和广义坐标形式的虚位移原理有初步的理解，并会计算广义力。理解动力学普通定理的基本概念。、能正确运用动力学普遍方程求解动力学问题。、能正确运用拉格朗日方程求解动力学问题。13.3 重点讨论用虚位移原理求解质点系的平衡问题，其实质是利用动力学中功的概念，求解静力学问
8、题，对于理想约束系统，其约束力不包括在虚功方程中，虚功方程中只包含质点系所受的主动力（包括解除约束按主动力处理的约束力） 。所以能够容易地求解出平衡时所受主动力之间的关系，这是虚位移原理最大的优点。用虚位移原理解题，在一般问题中，虚功方程可比较容易的写出，而关键的问题是找出质点系中各力作用点相应的虚位移之间的关系。一般情况下，若系统发生虚位移时，有点的合成运动、刚体的平面运动，则运用虚速度法求解(例 13-1、例 13-2)。若系统发生虚位移以后，几何关系比较明确，则利用几何法求各点虚位移之间的关系较好(例 13-3)。若系统各点的位置能较容易写出它们的坐标与广义坐标的关系，则应用变分法求解(
9、例 13-4)。363动力学普通方程是首先利用达朗贝尔原理在质点系上加上惯性力，再利用虚位移原理求解动力学问题的一种方法。拉格朗日方程是在其基础上推导出的结果，利用拉格朗日方程求解动力学问题，其关键问题是正确地选择广义坐标，并写出用广义坐标表示的动能和势能表达式，其它问题就是严格的数学求解问题了。它为解决多自由度动力学问题，提供了简便的方法。13.4 例题分析例 13-1 椭圆规机构如图所示，连杆 AB 长 l，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力 P 和 Q 之间的关系。解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。1、虚速度法：使 A 发生虚位移为 ，B 的虚位移为 ，则由虚
10、位移原理，虚功方ArBr程为 0 0 AFQPW虚位移关系（投影定理） cossinBArr代入虚功方程得 0)tg( A由于 得0Ar QP2、变分法 由于系统为单自由度，取 为广义坐标。 sin coslylxAB变分的 co in由虚位移原理（直角坐标投影形式） 00BxQyPWAF将虚位移关系代入虚功方程得 )sinco( l由于 ，故0 tg364例 13-2 不计各杆件的自重，机构如图所示，求在图示位置平衡时，力 F1 与 F2 的关系。解 由于系统发生虚位移时，A 点是点的合成运动关系，所以应用虚速度求解。设 AB杆的 A 点为动点，OC 杆为动系，A、C 两点的虚位移如图所示，
11、则几何关系为 coslarOAreeC虚功方程为 0 012CFFW将虚位移关系代入得 )cos(12Arla由于 ，故0Ar 0212lF解出 21cosa例 13-3 多跨静定梁如图所示，求支座 B 处反力。1F2F1F2FBF365解：将支座 B 处的约束解除，代入相应的约束力 FB，并发生虚位移。根据虚位移原理（几何法）：0FW021mrPrC得 BBP21由虚位移几何关系(几何法) 81 ,1BCBrr 961264 EGBr代入解得 mPFB961821 2几何法一般应用于虚位移的几何关系容易画出的情况下。例 13-4 机构如图所示，各杆之间均用铰链连接，杆长AE BD2l， DH
12、EHl。 D、E 之间连一弹簧，弹簧刚度系数为 k，弹簧的原长为 l。杆和弹簧的自重及各处的摩擦均不计。今在铰链 H 上施加一铅直向下的力 FH，并使该机构处于静止平衡状态，试确定力 FH 与杆件、水平线的夹角 之间的关系。366解：这是一个单自由度系统。取 为广义坐标。因为弹簧 DE 不是理想约束，求解时应解除弹簧约束，用相应的弹性力 F、F 代替，并视之为主动力，如图所示。此题用解析法求解。由虚位移原理在直角坐标系的投影表达式 00HEDyFxW以固定点 A 为原点，建立静坐标系 Axy。主动力作用点的坐标为 sin3cos2llxED变分得 coin0lylx H弹簧 DE 在图示位置的
13、长度为 2lcos，其原长为 l，伸长量 2l cos l(2cos 1)l，于是弹簧作用于 D、E 上的拉力的大小为 Fk21cos由于虚位移是假想中的位移，它的给出不会引起弹簧的真实长度的任何变化。也就是说，在虚位移中，弹性力的大小是不变的，因此，弹性力的虚功应按常力来计算，这与实位移中弹性力的元功的计算方法有本质上的区别。整理后的虚功方程为 0cos3sin1co2lFklH于 ，所以由0解得 tg1cos23klFH例 13-5 如图所示为三铰拱支架，求由于不对称载荷 F1 和 F2 作用在铰链 B 处所引起的水平约束力 FBx。367解：为了求出 B 点的水平约束力 FBx，首先解除
14、铰链 B 水平方向的约束而成为可动的铰链支座，并以约束力 FBx 代替其约束，如图所示，设系统发生一虚位移，其 OA 半拱的虚位移为 A，O 点虚位移为r O，OB 半拱是平面运动，则 B 点虚位移为 xB，因此 OB 半拱在虚位移过程中相当于绕瞬心 C 点的虚位移为 C。由虚位移原理00 12 ABxF FmmW即 212x abhh由于 AO=CO，因此 A C，由于 ，故代入上式可解得0AFBx121由此可知，对于一些定点转动和平面运动的刚体，采用作用于该刚体上的主动力对转轴或瞬时速度中心的力矩与瞬时转动虚位移的乘积来计算虚功是较为简便的。例 13-6 二均质轮的 m、R 相同，用轻质绳
15、缠绕连接如图所示。求在重力作用下轮 中心的加速度。368解：这是一个动力学问题，可应用动力学普遍方程求解，研究整个系统，引入惯性力及惯性力偶，方向如图，大小为其中 maFg12IRMg 2mRg Rg521设系统发生虚位移，由动力学普遍方程 01212)()()(sFg几何关系21R21Ra323 )()(g由于 ， ，所以012021g 021解得 ga54例 13-7 楔形体重为 P，倾角 ，在光滑水平面上。圆柱体重 Q，半径为 r ，只滚不滑。初始系统静止，圆柱体在斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度。解：研究整体系统。它具有两个自由度。取广义坐标为 x, s
16、 ；各坐标原点均在初始位置。取水平面为系统的零势点，则系统的势能为)cossin(31rhQPV系统的动能为 cos 4321 )(21)2(2 2xgQsxg rsgT 拉格朗日函数为 )cossin31 cos 4321 22 r(hPxgsxgQPVTL 代入保守系统拉氏方程 ),2( 0)(dkjqLtjj 并适当化简，得到系统的运动微分方程。369sin2co3 0)(gxsQP解得楔形体的加速度为 2i例 13-8 已知 弹簧刚度为 k，滑块质量为 m1，B 球质量为 m1，不计摆杆质量和摩擦；求 此系统微幅振动的运动微分方程。解 系统有两个自由度，选静平衡位置为广义坐标x、 的起
17、始位置，广义力和动能为 221sin,BQxQvmTglFk图中 AB 摆作平面运动，故 cos22BAABvv式中 ，故动能可进一步写为lxvA, cos2)(12lxlxmT代入拉格朗日方程 QxQFTtFTxt d,d运动微分方程为 sinsincosco)( 2221 glmxllmxl kx此系统是保守系统，所以也可取 x = 0、 = 0 处为该系统的零势能位置，系统在图示一般位置上的势能为 )cos1(2glkV代入保守系统的拉格朗日方程即可得到同样的运动微分方程。若系统只在平衡位置附近作微幅振动，则cos1， sin ， 令高阶小量 2 = 0， 故 0所以运动微分方程可简化为
18、 )(21glxkxlm13.5 习题解答13-1 在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为 M。手轮轴的两端各有螺距均为 h 的螺纹，但一为左旋螺纹，一为右旋螺纹。螺纹上各套有一个螺母 A 和 B。这两个螺母分别与长为 b 的杆相铰接，四杆形成菱形框，如题 13-1 图所示。此菱形框的点 D 固定不动，而点NFbDbbB MAFNrC rA bC370C 连接在压缩机的水平压板上。求当菱形框的顶角等于 2时，压缩机对被压物体的压力。（1） （2）题 13-1 图解：设机构发生虚位移，D 点固定不动，由虚位移原理(a)00CNFrFMW由于 AC 杆作平面运动，由速度投影定理， cos)29cos(
19、Ar而 h(b)tgrC将(b)式代入(a)式，由于 ，解得0ctanhMFN13-2 在题 13-2 图示机构中，已知 FB200N， 60， 30 ，刚度系数k10N/cm 的弹簧在图示位置的总压缩量 4cm，试求使该机构在图示位置保持平衡的力FA 的大小。（1）ABFF AlDBbbkO rCrArBFC371（2）题 13-2 图解：解除弹簧约束，以弹性力 F 代替，设机构发生虚位移，由虚位移原理(a)0sin0 BACrFrW3tgDBrkAC代入(a)式，由于 ，解得0Ar110.2 NkFB21313-3 在曲柄式压榨机的中间铰链 B 上作用水平力 F，如 ABBC， ；2ABC
20、求在图示平衡位置时，压榨机对于物体的压力。题 13-3 图CrN372解 设物体对压板的压力为 FN，由虚功方程 0sin 0NCBrFrWB、C 两点的虚位移如图，则几何关系为 2siCr由于 ，解得0r tanNF物体受的压力与 FN 大小相等，方向相反。13-4 在题 13-4 图所示曲柄滑道机构中，rh0.4m ，l1.0m，作用在曲柄 OB 上的驱动力矩 M5.0Nm。为了保证该机构在 30位置时处于平衡状态，C 点的水平作用力F 应该多大？（1） （2）题 13-4 图解：设机构发生虚位移，如图示，由虚位移原理 0)(0MFmWAFsinlAeBBrrh0363由于 hrAB，且
21、Ae23sin0代入方程得 0)si(MFl由于 ，解得0A N2.154l13-5 在题 13-5 图所示系统中，弹簧 AB、BC 的刚度系数均为 k，除连接 C 点的二杆长度为 l 外，其余各杆长度均为 2l。各杆的自重可以忽略。未加力 F 时，弹簧不受力， 0。试求加力 F 后的平衡位置所对应的 值。AlOFrA0rClMh rrreB rBCA373（1） （2）题 13-5 图解：设机构发生虚位移，解除弹簧，以弹性力 F 代替，采用变分法，取 为广义坐标cos5sin533ilxlxllCCBBAA由虚位移原理的解析表达式 0)(zFyiixi 1111 CBBAC xF即 )(AC
22、x0cos5cos51 lll由于 ，所以0 04F解得 51由于 )sin2i(01llkF所以 0i85sinl解得 0siarciklF13-6 题 13-6 图所示两等长杆 AB 与 BC 用铰链连接，又在杆的 D、E 两点加一弹簧，弹簧刚度系数为 k，当距离 ACd 时，弹簧的拉力为零。如在 C 点作用一水平力 F，杆系处于平衡。求距离 AC 之值。已知 ABl，BDb，杆重不计。FxCxA xByOCBAF1 F1 F1 F1x374（1） （2）题 13-6 图解：解除弹簧约束，用弹性力 F1 代替，采用变分法，取 为广义坐标，则 sin2,sin)(,sin)( co,coco
23、 lxblxlbx lCED由虚位移原理的解析表达式 0(zFyiixi得 0)sin2(sin)(sin)(11 lbllbFxCED又 dkFco2由于 ，所以0 00sini)(11FlblbdlACk2解得 2blk13-7 题 13-7 图所示两重物 FP1、F P2 系在细绳的两端，分别放在倾角为 、 的斜面上，细绳绕过两定滑轮，与一动滑轮相连。动滑轮的轴上挂一重物 FP3。试求平衡时FP1、 FP2 的大小。摩擦以及滑轮与绳索的质量忽略不计。 3PF2P1PyxDPEF1 F1BAOblC375（1）（2）题 13-7 图解：设机构发生虚位移如图示，由虚位移原理(a)0sinsi
24、n0 321 SFSSFWPPPF由几何关系 213代入(a)式，得 0sinsin21321 SFSSFPPP整理得 sin1i2 22313 PP由于 ，所以01S 0si0sin2313 PPFF解得 sinsi23231PP13-8 机构如题 13-8 图所示，曲柄 OA 上作用一矩为 M 的力偶，在滑块 D 上作用水平力 F。求当机构平衡肘，力 F 与力偶矩 M 的关系。F376题 13-8 图解 设 OA 杆的虚位移为 ，则 A、B、C 各点虚位移如图所示，由虚功方程0FW0DrFM几何关系 arAcos2sincDB代入虚功方程， ，解得0taFM13-9 图示机构中，OB=BC
25、=AB=2BD=2BE=a ，水平力已知，弹簧刚度系数为 k，当=0时它为原长。试求系统平衡位置 。题 13-9 图 解：解除弹簧约束，用弹性力 F1 代替，采用变分法，取 为广义坐标，设 GD 长为 l，则 cos)21(,cos)2(,cos2 in,insi,in axaxax lGEA弹性力为 in1kkFED由虚位移原理的解析表达式 0)(zyxiii得 0)cos21(sinco)21(sinco21 akakaFxGEAx1Fx377由于 ，所以0 0sin2kaF解得 i13-10 两摇杆机构分别如图 a 和 b 所示，图 a 中OAR， AOO1=/2， OO1A=30；图
26、b 中 OBR ， BOO1=2 ， OO1B=300。若各在杆 OA 上施加力偶矩 M1，试求系统保持平衡时，需在 O1B 上施加的力偶矩 M2。答：(a) M 24M 1， (b) M2M 1。题 13-10图解：(a)设机构发生虚位移如图示，由虚位移原理 0012MWF由虚速度法及几何关系1Rra1AOre earr3sin其中 ，得 ，由于 ，代入虚功方程，解得 AO013sin2412(b)设机构发生虚位移如图示，由虚位移原理 0012MWF由虚速度法及几何关系1Rre 21BOra earr06cos其中 ，得 ，由于 ，代入虚功方程，解得BO013sin1213-11 两均质杆
27、A1B1 与 A2B2 长为 l1、l 2，重为 FP1、F P2。它们的一端 A1 及 A2 分别靠在光滑的铅直墙面上，另一端 B1 及 B2 搁在光滑水平面的同一处，如题 13-11 图所示。求平衡时两杆与水平面所成的夹角 1 和 2 之间的关系。yA1O x12 W2W1C1 C2l2l1 A2B1 B2PFPF378（1） （2）题 13-11 图解：取固定坐标系 Oxy，采用变分法，取 1、 2 为广义坐标(1)11cos,sin2lylycc (2)222根据图示约束条件常量121cossll变分的 0inin21 (3)12sl由虚位移原理：WF =0 02cPcPyF将(1)、
28、(2)式代入上式，整理得 oscos211 llP将(3)式代入上式，化简后得 0ctgin221P由于 ，所以02ostsi212PPF解得 2tgP13-12 在图示静定连续梁中，F 15kN，F 24kN，F 33kN，力偶矩 M2kNm。求固定端 A 的约束力和约束力偶。 123379(1)（2）（3）（4）题 13-12 图解：研究连续梁，解除 A 端约束，以约束力 FAx、F Ay、M A、代替。设发生虚位移 xA，而 0y由虚位移原理 0AxFW由于 xA0，所以FAx0设发生虚位移 ,Axy而由虚位移原理 00321 MyyDyF几何关系 321 AAAA代入虚功方程 0312
29、AAy yFFMAA1m 1mC B DMF1 F2 F3y1 yCy2yDxFMF1 F2 F3xDxCxAMAXABYAyxFYAXAF1 F2 F3B DMCAMAy1yAy2yDxy380由于 ，解得0AykN435321 MFFAy设发生虚位移 ，而 ，由虚位移原理0Ayx0021 yFWD几何关系 CCy331Dy2代入上式 0321MFA由于 ，解得0kNm7M13-13 试求题 13-13 图所示静定连续梁支座 C 与 D 处的约束力。已知F18kN ，F 2 4kN，q2kN/m ，M 9kNm 。（1）（2）AMFq1 Fq22mBFNDr1rErPrBr2rDFE12Pr
30、PMQFq1 Fq2BFNCr2r1rQ rCrB12381（3）题 13-13 图解：为便于计算，把分布载荷分别合成为合力 F q1 和 Fq2，其中Fq1q 24kN，F q2q8 16kN ，分别作用于 E、F 点，解除 D 点约束，用约束力 FND代替，设机构发生虚位移，如图示，由虚位移原理 00 1212 PNqqQrrrMW由几何关系 846541 DPQrr代入方程，由于 0，解得 5.1DNF解除 C 点约束，代之以 FNC。设机构发生虚位移，如图示，由虚位移原理 01212 PqCqQF rFrr其中 286684541PCQrr 05.13212 FFFMqCNq整理得 1
31、4065.0)635.(CNCN13-14 梁 AD 由在 B、C 处由铰链连接起来的三段粱组成，如题 13-14 图所示。在粱上作用的均布载荷其集度为q2kNm，F5kN，力偶的力偶矩M6kN m，a=2m 。试求固定端 A、D的铅垂约束力和约束力偶。解：(1)解除 A 点约束，用约束力FAx、 FAy、M A 代替，设机构发生虚位移，如图所示，设 ， 由虚位0yAx移原理 0211 aqMWAF由几何关系题 13-14 图3822132a代入方程，由于 10，解得MA12 kNm(2)解除 A 点约束，用约束力FAx、 FAy、M A 代替，设机构发生虚位移，如图所示，设 ， 由虚位0Ax
32、移原理 02AyAF FaqMW由几何关系 yA3代入方程，由于 0，解得FAy7kN(3)解除 D 点约束，用约束力FDx、F Dy、M D 代替，设机构发生虚位移，如图所示，设 ， 由虚位移0yDx原理 0212FaMWDF由几何关系 3a代入方程，由于 10，解得MD14 kN m(4)解除 D 点约束，用约束力FDx、 FDy、M D 代替，设机构发生虚位移，如图所示，设 ， 由虚位移原理x001DyFFW由几何关系 13a代入方程，由于 1 0，解得FDy6 kN13-15 组合梁 (1)的支承及荷载为 F=5kN，q=2.5kN/m，M=5kN.m，如题 13-15(1)图所示。组
33、合梁(2) 的支承及荷载情况如题 13-15(2)图所示。求以上两个题中各支座处的约束力。yDMDy383(1) (2)题 13-15 图解 1) (1)解除 A 点约束，用约束力 FAy 代替，设机构发生虚位移，如图所示，由虚位移原理 0FW 021MrFrAy几何关系 4,432ArqA211代入虚功方程，由于 ，解出0FAy2.5 kN2）(1)解除 B 点约束，用约束力 FB 代替，设机构发生虚位移，如图所示，由虚位移原理0FW 021MrFrB几何关系rB2312代入虚功方程，由于 ，所以解出FNB15 kN3）(1)解除 E 点约束，用约束力 FE 代替，设机构发生虚位移，如图所示
34、qy2rC1rAC21E1E21CMEr384由虚位移原理0FW02ErFMr几何关系4Er1代入虚功方程，由于 ，所以解出FE2.5 kN读者不难用类似的方法求出 FAx = 02）(2)解除 C 点约束，用约束力 FNC 代替，设机构发生虚位移，如图所示，由虚位移原理 021060NCF FW由于 10，解得FNC8 kNm(2)解除 A 点约束，用约束力 FAx、F Ay、M A 代替，设机构发生虚位移，如图所示，设， 由虚位移原理yx 05.123106021 AFMW由几何关系 3代入方程，由于 10，解得MA15 kNm(3)解除 A 点约束，用约束力 FAx、F Ay、M A 代
35、替，设机构发生虚位移，如图所示，设， 由虚位移原理x3850231060 AyAF FW由几何关系 Ay代入方程，由于 0，解得FAy8 kN(4)解除 A 点约束，用约束力 FAx、F Ay、M A 代替，设机构发生虚位移，如图所示，设， 由虚位移原理y00xW代入方程，由于 xA0，解得FAx013-16 杆 AB 与 CD 由铰链 C 联结，并由铰链支座 A、D 固定，如题 13-16 图所示。在 AB 杆上作用一铅直力 F，在 CD 杆上作用一力偶 M，不计杆重，求支座 D 的约束力。题 13-16 图解：解除 D 点 x 方向的约束，用约束力 FDx 代替。设机构发生虚位移，由虚位移
36、原理 00BDxF yMW由于 C为 CD 杆瞬心 bdC而 AB 杆绕 A 点转动，所以，几何关系为 yB23代入虚功方程 0bFMdFDx由于 ，解得0 ByDxFFC386dFbMDx23解除 D 点 y 方向的约束，用约束力 FDy 代替，设机构发生虚位移，由虚位移原理00BDyFW由于 DC 杆平移，所以 DCBC y23代入虚功方程023DDyF由于 ，得0yFDy5.113-17 题 13-17 图所示结构中，已知 F1kN ，l 1m， 30。求支座 A 的约束力。（1） （2）（3）题 13-17 图解：（1）解除 A 点 x 方向约束，用约束力 FAx 代替，设机构发生虚位
37、移，如图示，由虚位移原理 045sinco45ssin0 PPxF rrW由于 ABC 为平移，所以 ，E 点为 DC 杆瞬心CA AC xlll2122ADyFCABD2l l lEyDrP xCxA2lFFAxC rPyAFrCFAyABDyDrP387代入虚功方程 0cossinAAx xF由于 ，解得0Ax kN36.ix（2）解除 A 点 y 方向约束，用约束力 FAy 代替，设机构发生虚位移，如图示，由于ABC 瞬心在 B 点，DC 的瞬心也在 B 点，由虚位移原理 0sincos0 PPAyF xyW几何关系 lllPA 23代入虚功方程，由于 ，解得ykN598.1sin2co
38、Fx13-18 图示桁架中，ADDB6m ，CD3m，节点 D 的载荷为 F。求杆 3 的内力。（1） （2）题 13-18 图解：解除杆 3 的约束，用约束力 S3 代替，设系统发生虚位移，如图所示，由虚位移原理 00DBFrW因为 CB 杆作平面运动，O 为瞬心， OCr由几何关系 52365362ACDr ADrrBD代入虚功方程得 03CrFS由于 ，解得0CrFA2DB4OrD rBS3 S3FrC5C388FS313-19 如题 13-19 图 a 所示连续梁，其截荷及尺寸均为已知。试求 A、 B、 C 三处的支座反力。题 13-19 图解：图 13-19a 所示连续梁由于存在多个
39、约束而成为没有自由度的结构。为用虚位移原理求约束力。可解除求其约束力的约束而代之以约束力，从而使结构获得相应的自由度。1、求支座 D 处的约束力解除支座 D 约束，代之以约束力 FD（题 13-19 图 b） ，系统具有一个自由度。给系统以虚位移，由虚位移原理0FW022 lFMlqD由于0，则得 lD2、求支座 B 处的约束力解除支座 B 约束，代之以约束力 FB（题 13-19 图 c） ，系统具有一个自由度。给出虚位移，由虚位移原理0FW02 Mlqll由于0，解得 lB3、求支座 A 处的约束力解除支座 A 约束，代之以约束力 FAx 及 FAy（图 13-19d） ，系统具有二个自由
40、度。可给出系统的一组虚位移为x 及 。设先给系统一组虚位移x 0 ， =0，则由虚位移原理0FW0xA解得 x再给系统一组虚位移x ， 0，则由虚位移原理得F 022 MlqlyA解得389qlMFyA213-20 试求题 13-20 图示粱 桁架组合结构中 1、2 两杆的内力。已知 F1= 4 kN，F 2=5 kN。题 13-20 图解：解除杆 1 的约束，用约束力 FN1 代替，设系统发生虚位移，其中，如图所示，由虚位移原理521r 032sin201FrWF将几何关系代入，并且 ，解得kN（拉）31N解除杆 2 的约束，用约束力 FN2 代替，设系统发生虚位移，由于 FE 杆与 ED 杆均做平面运动，设：D点的虚位移为 ，D 点的虚位移为 ，所以，由er1er虚速度法，E 点的虚位移为其中，21rerear， ，几何关系如图所示，由41e52虚位移原理 032sinsico0 1122 FrFFWeNeNF将以上所述几何关系代入，并且 ，解得0kN（压） 。15213-21 重 FP1 的平板 A 放在 n 个重量均为 FP2 的圆滚子上，如题 13-21 图所示。设滚子可视为均质圆柱，滚子与平板及滚子与地面均无相对滑动，求平板受到水平力 F 作用时的加速度。（1）A a FxMIiFIiFI
