1、递归算法(Recursion),本章内容 递归算法的实现机制 递归化为非递归(难点) 递归算法举例 递归算法复杂性的计算(重点和难点),直接或间接地调用自身的算法称为递归算法 直接或间接调用自身的函数称为递归函数 尾递归是指递归调用的语句在递归函数的最后一句 递归算法的特点： 用于解决一类递归定义的问题 算法易于实现，简单明了,3.1 递归算法的实现机制,递归算法通过子程序/函数来实现 子程序调用的形式 参数传递和返回值的传送 子程序调用的内部操作,1 子程序的调用形式,STACK,子程序/函数调用形式,关键： 用栈保存返回地址 用寄存器保存返回地址(某些嵌入式处理器),2 参数传递和返回值的
2、回传,参数传递 按值的传送(值调用) 按地址的传送(引用调用) 两次值的传送 地址的传送 函数的返回值 通过寄存器传递(AX/EAX) 通过全局变量的传送 例如 C+中的引用类型，一些脚本语言的引用变量类型都是按地址传送的例子,参数的传递,值参数 (value parameter) 用于输入参数的传递。一个值参数相当于一个局部变量，只是它的初始值来自为该形参传递的实参。对值参数的修改不影响为该形参传递的实参。 引用参数 (reference parameter) 用于输入和输出参数传递。引用参数与实参变量表示同一存储位置，对值参数的修改直接影响为该形参传递的实参。,函数参数和函数的值,1 函数
3、间的按值传递,在定义函数时函数名后面括弧中的变量名称为“形式参数”(简称“形参”)，在主函数中调用一个函数时，函数名后面括弧中的参数(或表达式)称为“实际参数”(简称“实参”)。 return后面的括弧中的值 称为函数返回值,例1调用函数时的数值传递,#include “iostream.h” void main()int x=5, y= 10;swap(x, y);coutx“t”yendl; ,例 交换函数void swap(int a, int b )int temp;temp= a;a= b;b= temp;,运行结果： 5 10,main函数在调用swap函数 形式参数为a和b，实际
4、参数为x和y，各自有不同的内存单元a和b交换时，并不能影响x和y的值。这是按值传递的特性,2 函数间的地址传递,#include “iostream.h” void main()int x=5, y= 10;swap( ,例 交换函数void swap(int *a, int *b )int temp;temp= *a;*a= *b;*b= temp;,运行结果： 10 5,main函数在调用swap函数时，参数加了取地址运算符&，表示变量x和y的内存地址。 形式参数为*a和*b，表示a和b是指针变量， *a和*b分别是指针a和b的内容。,3 函数间的引用传递,#include “iostre
5、am.h” void main()int x=5, y= 10;swap(x, y);coutx“t”yendl; ,例 交换函数void swap(int ,运行结果： 10 5,形式参数为&a和&b，即引用形式参数对引用形式参数的操作即对实际参数本身的操作,3子程序调用的内部操作,Caller: (主调函数) 在栈顶为形式参数开辟空间 计算实参值并赋给栈顶的形参 返回地址入栈 指令流转向被调函数的入口 Callee:(被调函数) 初始化： 局部量保存在堆栈中 从堆栈中取出形参运算 返回： 将返回值保存到回传变量中 从栈中取出返回地址 指令流转到返回地址处继续执行程序,递归程序的内部实现,内
6、部实现和函数调用类似，代码只有一份 优点：简单明了 结构清晰，可读性强 容易用数学归纳法来证明算法的正确性 缺点：运行效率较低 入/出栈次数多，影响计算时间 对系统栈的空间占用大，递归层次多时，容易导致栈溢出 同一个函数多次的重复调用，开销大,3.2 递归化为非递归,直接递归化为非递归(迭代) 原则： 在过程的开始部分，初始化用户栈(替代系统栈)，增加一个全局变量retvalue用于保存返回值 建立标号：分别在过程的第一条可执行语句处、每个递归调用处建立标号，依次为：L0,L1,L2,，做为入口地址和返回地址 消去递归调用：局部变量、形参、返回地址入栈,形式参数赋值，goto语句到L0 修改函
7、数的返回部分： 用户栈为空，返回 返回值保存到全局变量中，同时将引用参数赋给栈顶的相应变量 取出返回地址，恢复现场。(即恢复主调函数的局部量、参数等,注意栈的平衡) 转向返回地址处执行,int GCD(unsigned int a, unsigned int b)int res ;if( a b )res = GCD(b,a);else if( b = 0 ) res = a;elseres = GCD(b,a%b);return res; ,a = b*r + q 其中0=qb 则： (a,b) = (b,q) = = = ( D, 0) D 为a,b的最大公因数,int GCD(unsig
8、ned int a, unsigned int b)CStack stack;int retvalue,retaddr;int res ; L0:if( a b )res = GCD(b,a); L1: ;else if( b = 0 )res = a;elseres = GCD(b,a%b); L2: ;return res; ,建立用户栈 设置临时变量-(返回值和返回地址) 建立标号(入口地址和返回地址列表),int GCD(unsigned int a, unsigned int b)CStack stack;int retvalue,retaddr;int res ;stack.pus
9、h(a);stack.push(b); L0:b=stack.pop();a=stack.pop();/从堆栈取参数if( a b ) res = GCD(b,a); L1: ;else if( b = 0 ) res = a;else res = GCD(b,a%b); L2: ;return res; ,从堆栈中取参数,GCD例,参数的传递可以不用stack 恢复现场后a, b不再使用，所以不用保护a, b 标号L0, L1, L2中, 栈里保存的不可能是L0,L1也可以去掉，于是栈里的返回地址总是L2, 返回地址也可以不用保存 参数res也不需要保存在栈里 用户栈就可以取消,3.3 递归
10、算法设计,可用递归解决的问题P 问题P具有规模 不同规模的问题P，具有相同性质；并且大规模的问题由小规模的问题构成 小规模的问题是可解的关键： 找到递归的递推关系 找到结束递归的条件,递归求解的伪代码,procedure P(参数表) beginif 满足递归出口then 简单操作;elsebegin简单操作; CALL P; 简单操作; end; end endp,简单的0/1背包问题,设一个背包容纳的物品最大质量为m,现有n件物品，质量为m1,m2, ,mn,均为正整数。要求从中挑选若干件，使背包质量之和正好为m. （在此问题中，第i件物品要么取，要么不取，不能取一部分，故问题可能有解，可
11、能无解）设用knap(m,n)来表示此问题。有解为true,否则为false,先考虑将物品mn放入背包的情况： knap(m,n) = 若mn = m , 则knap(m,n) true 若mn m,则knap(m,n) knap(m,n-1) 否则mn m， 则 knap(m,n) knap(m,n-1) knap(m-mn,n-1),bool knap(m,n) if( n = 1 ) /出口条件if( m1 = m ) return true;else return false;if( mn = m ) return true;if( mn m ) return knap(m,n-1);
12、if( knap( m-mn,n-1 ) return true;return knap(m,n-1); ,Hanoi塔问题,汉诺塔（Tower of Hanoi）游戏据说来源于布拉玛神庙。游戏的装置如图所示（图上以3个金片例），底座上有三根金的针，第一根针上放着从大到小64个金片。游戏的目标是把所有金片从第一根针移到第三根针上，第二根针作为中间过渡。每次只能移动一个金片，并且大的金片不能压在小的金片上面。该游戏的结束就标志着“世界末日”的到来。,分析：,游戏中金片移动是一个很繁琐的过程。通过计算，对于64个金片至少需要移动 264 1 = 1.61019 次 。,不妨用A表示被移动金片所在的
13、针（源），C表示目的针，B表示过渡针。对于把n（n1）个金片从第一根针A上移到第三根针C的问题可以分解成如下步骤：,（1）将n-1个金片从A经过C移动到B。,（2）将第n个金片移动到C。,（3）再将n-1个金片从B经过A移动到C。,这样就把移动n个金片的问题转化为移动n-1个金片的问题，即移动n个金片的问题可用移动n-1个金片的问题递归描述，以此类推，可转化为移动一个金片的问题。显然，一个金片就可以直接移动。,void hanoi(int n, int a, int b, int c) if (n 1) hanoi(n-1, a, c, b);move(n,a,b);hanoi(n-1, b,
14、 a, c);else move(n,a,b); /结束条件,棋子移动,问题描述：有2n个棋子排成一行，白子用0代表，黑子用1代表。n=5的状态为：0000011111_ _ (右边至少两个空位) 移动规则： (1)每次必须移动相邻的两个棋子，这两个棋子不能互换位置 (2)移动的颜色不限，移动的方向不限 要求： 最后成为 _ _ 0101010101 的状态(中间无空格)。,空格在任何地方都是可等价变换的 问题规模为n和为n-1有相似的地方吗？000000111111_ _ (问题的规模n) 0000011111_ _01 (问题的规模 n-1,?) 结论： (1)规模为n的问题可以通过两步的
15、移动变成规模为n-1的问题! (2)初值（递归的结束条件n=?可以解）,1.初值的判断： n=2, 0011_ _ 0_ _ 101 010_ _ 1 , 无解 n=3, 无解 n=4:,0 0 0 0 1 1 1 1 _ _ 0 0 0 _ _ 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 _ _ 1 0 _ _ 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 _ _ 0 1 _ _ 0 1 0 1 0 1 0 1,2.递推关系式:0 0 0 . . . 0 0 0 1 1 1 . . . 1 1 1 _ _ (n) 0 0 0 . . . 0 0 _ _ 1 1 . . . 1 1
16、1 0 1 0 0 0 . . . 0 0 1 1 1 1 . . . 1 _ _ 0 1 (n-1) 对n-1个棋子进行递归的移动直到n=4为止,3.算法实现： (对棋子的位置进行编号，从1,2,2n,2n+1,2n+2)void chess(int n)/n为移动的棋子数，n4if( n = 4 ) /递归出口else if( n4 ) /进入递归move_to(n,n+1, 2n+1,2n+2);move_to(2n-1,2n,n,n+1);chess(n-1); ,4.思考： 如果棋子的移动规则改为每次移动相邻的3个(4,5,)棋子，其他条件不变，则如何解决此问题？ 递归关系式的推导
17、初值的判断(n=?有解) 算法的实现,n个元素的全排列,N=1, 输出 1 N=2, 输出 1,22,1 N=3, 输出 1,2,31,3,22,1,32,3,13,1,23,2,1,解决： 递推关系式 初始值(递归的出口) 算法实现,a = 1,2.3,4,n; /对ak an 进行全排列 void Range(a,k,n)if( k = n ) Print(a); /输出排列elsefor(i=k;in;i+) ak ai; /交换值Range(a,k+1,n); /递归排列剩下的元素ai ak; /交换值 初始调用： Range(a,0,n);,4.递归关系式的计算,递归算法时间复杂度的
18、分析(重点)递归算法时间复杂度的计算(难点),4.1递归算法时间复杂度分析,根据递归算法思想，可以得到递归算法的时间复杂度的递推关系式 求解递推关系式即可 例：GCD,T(a,b) = T(b,a%b) + C0, 其中C0为常数 最坏情况：T(a) = T(a/2) + C0 = O(logn),例：一个楼有n个台阶，有一个人上楼有时一次跨一个台阶，有时跨2个台阶。问此人共有几种不同的上楼方法，并分析算法的时间复杂度。 解：设H(n)为上楼的方法总数，则： 当n=1, H(1) = 1 当n=2, H(2) = 2 当n2时, H(n) = H(n-1) + H(n-2) 下面分析时间复杂度
19、：设为T(n),T(n) 2T(n-1) 22T(n-2) 2n-1T(1) = O(2n),4.2时间复杂度的计算-迭代法,T(n) = 2T(n/2) +cn = 2(2T(n/4) +c*n/2) +cn= 22T(n/4) + cn + cn= 23T(n/23) + cn + cn +cn= = 2kT(n/2k) + cn + cn + + cn= 2k*0 + kcn= cnlog2n = O(nlogn),K个,设 n/2k = 1, 则 k = log2n,求O(T(n)=?,recursion tree （递推树、迭代树）,汉诺塔（Tower of Hanoi）问题： 假设
20、move所需的时间为1，则其时间复杂度：,T(n) = 2T(n-1) + 1 = 2 2T(n-2)+1 + 1 = 22T(n-2) + 2 + 1 = 23T(n-3) + 22 + 2 + 1= = 2n-1T(1) + 2n-2 + + 23 + 22 + 2 + 1= 2n-1 + 2n-2 + + 23 + 22 + 2 + 1= 2n -1,若有64个圆盘，则需要移动 264-1 = 1.61019次,T(n) = 2T(n-1) + n = 2 2T(n-2)+n-1 + n = 22T(n-2) + 2(n-1) + n = 23T(n-3) + 22(n-2) + 2(n
21、-1) + n= = 2n-1T(1) + 2n-2*2 + + 23(n-3) + 22(n-2) + 2(n-1) + n= 2n-1+ 2n-2*2 + + 23(n-3) + 22(n-2) + 2(n-1) + n,求O(T(n)=?,T(n) = 2n-1+ 2n-2 + + 23 + 22 + 2 + 20 +2n-2 + + 23 + 22 + 2 + 20 +22 + 2 + 20 +2 + 20 +20= (2n-1) + (2n-1-1) + + (22-1) + (2-1)= 2n+1 -2 n= O(2n),思考题目,1.写出的递归求解算法，并改为非递归算法 2.用c/c+程序实现最大公约数的递归和非递归算法,
