1、2018 届福建省华安县第一中学高三上学期第二次月考（12 月）数学（理）试题高三数学（理科） 试卷（120 分钟）一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|9Ayx， |2xBy，则 AB（ ）A (3,) B 3, C (0,3 D 0,3)2.下列说法正确的是（ ）A. “0f是“函数 fx是奇函数”的充要条件 B. 若 20:,1pxR，则 2:,10pxR C. 若 q是假命题，则 ,pq均为假命题 D.“若 6，则 sin”的否命题是“若 6，则 sin”3函数 2()cofx的周期为（ ）A
2、4 B C D 24已 知 向 量 ,ab的 夹 角 为 06， 且 2ab， 则 向 量 ab在 向 量方 向 上 的 投 影 为 （ ）A 3B 3 C 3 D 35某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A 10B 2C 14D 166已知 5loga， 1.b，0.82c，则 a、 b、 c的大小关系是（ ）A.c B. a C. D. acb7在等比数列 n中， 1328,1nn，且前 n 项和 12nS，则此数列的项数 n 等于( )A4 B5 C
3、6 D78在三棱锥 S中，底面 AB是直角三角形，其斜边 4AB， C平面 AB，且 3SC，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A 25 B 20 C.16 D 139函数 2ln|xy的图象大致为( )10. 定义在 R上的函数 fx满足 1ffx， 04f，则不等式 e3xxf （其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A 0, B ,03, C , D 3,11 已知在等边三角形 ABC 中， 23BNM，则 AN（ ）A. 4 B. 89 C. 5 D. 112已知函数 )(ln2)(Raxxf ，当 12,(0,)x时，不等式1122)0f恒成立，则 ( )A有最大值 ，无最小值
4、B有最小值 1，无最大值C有最大值 e，无最小值 D有最小值 e，最大值2、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13设变量 x、 y满足约束条件： 2,.yx则 2zxy的最大值是 14.已知向量 1,abyab， 若 ， 则 _15.已知函数 sin01fxx，若 ，且 fafb，则 41a的最小值为 . 16已知集合 M=(,)|()yf，若对于任意 1(,)xyM，存在 2(,)xy，使得12x成立，则称集合 M 是“完美对点集” 给出下列四个集合： 1(,)|xy (,)|sin1xyx； 2,|logx； ,|2e其中是“完美对点集”的是 （请写出全部正确命题的
5、序号）三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.BPCA17 （本小题满分 12 分）ABC的内角 ,的对边分别为 ,abc，已知 2sin8sinBAC（）求 cos；（）若 6a， ABC 的面积为 2，求 18.（本小题满分 12 分）已知等差数列 na的前 项和为 nS，公差为 2，且 1a， 2S， 4成等比数列（）求数列 的通项公式；（2）设 2nnb（ N） ，求数列 nb的前 项和 n19 （本小题满分 12 分）如图，在 RtA
6、BC中， 2， 3AC， 2B， P是 ABC内的一点（）若 P是等腰直角三角形 P的直角顶点，求 P的长；（）若 23BC，设 ，求 的面积 ()S的解析式，并求 ()S的最大值20.（本小题满分 12 分）如图，在多面体 1ABC中， 1A平面 BC，1， 1,2 2.（）求证： /平面 1；（）求二面角 1的余弦值21.（本题满分 12 分）已知曲线 0xfae在点 ,处的切线与曲线 214gx也相切（）求实数 的值；（）设函数 54fxFg，若 12x，且 120Fx，证明： 12x.（二）选考题：共 10分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2
7、2选修 44：坐标系与参数方程（10 分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x轴非负半轴重合，直线 l的参数方程为:312(xty为参数), 曲线 C的极坐标方程为: 4cos.（）写出曲线 的直角坐标方程和直线 l的普通方程；（）设直线 l与曲线 相交于 ,PQ两点, 求 的值.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 fxaR；（）若 23的解集为 ,1，求 a的值；（）若 x,若不等式 2fx恒成立，求实数 a的取值范围.2017-2018 学年第一学期第二次月考 理科数学答案一、选择题（共 12 题，每小题 5 分，共 60 分）CDBABD BACCDA二、填空题（共
8、 4 题，每小题 5 分，共 20 分）13. 8 14. 3 15. 9 16. BPCA三，解答题（共 70 分）17 （本小题满分 12 分）（）因为 21cossin()si()sin,BAC，所以 41coB.又因为 22sis，所以 216(cos)，展开，得 7350B，解得 cos1B（舍去）或 cs7.（6 分）（）由 57，得 28in1os，故 14sin27ABCSacc.又 2ABCS，则 ac.由余弦定理及 6ac，得 213os()(1os)247bB，所以 2.（12 分）18. （本小题满分 12 分）解：（）由 1a， 2S， 4成等比数列得 214Sa化简
9、得 16dad， 又 ，解得 ，故数列 n的通项公式 21nn（ ）（6 分）（）由 nnab2可知 nb， 所以 nnT214231 1432n，n nnnnnn TTT 232312121 119 （本小题满分 12 分）（）解法一：因为 P是等腰直角三角形 PBC的直角顶点，且 B，所以 4C， 2PC又 2AB，则 4在 中，由余弦定理得22 3cos9254PACAPC，故 5解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有 (0,)C， (2,)B， (0,)A因为 PBC是等腰直角三角形， 2AB，所以 4P， 4C，所以直线 PC的方程为 yx，直线 的方程为 2yx联立 ,xy可得 (
10、1,)，故 22(10)(3)5P（）在 PBC中， 23， CB，所以 PBC由正弦定理可得： sinii()，故 43sinPB， 43iPC所以 的面积为： 21243()sinsin()si2431(co)3sinsi2co33sin()6S 又 0,)，故 52(,)，从而当 6时， )S取到最大值，且最大值为 3（12 分）20.（本小题满分 12 分）（）取 BC的中点 D，连结 1,AC由条件知 1CDBA， 1，四边形 和 为平行四边形， 1， 1， 1CA，四边形 A为平行四边形， 1,D平面 1BD平面 1，则 1B平面 1.（6 分）（）由（）知 1,C两两垂直，如图建
11、系，设 2，则 (0)A， 1(,02)，1(0,),C，112,(0,2).A设平面 1C的法向量为 (,)mxyz，则由 10mAC，得20xyz，取 1x，则,.yz故 (,1)而平面 1A的法向量为 ,0n，则 1cos,.3nm所以二面角 1C为钝二面角，故二面角 1CA的余弦值为 .（12 分）21.（本小题满分 12 分）（） ()(1)xfae，当 0x时， (),(0)faf，故 ()fx在 0（ ， ） 处的切线方程是 yax.（2 分）联立2,().4yx消去 y得，21()4ax. 0.a或 1.故 1.（4 分）（）由（）知2()eF，由 12()Fx，则 1212,
12、0,xxx.又4 3(1) )xxex.当 ,时， (是减函数；当 (,时， (Fx是增函数.令 0m，1122221()()(1)() ()mmmeeF e.（8 分）再令2)0me，则24() 0()() .(0.又 21，当 时，221()()()0mmFe恒成立.即 (1)m恒成立.（10 分）令 0x，即 1，有 11()()FxFx.即 122()x.1,.又 12()，必有 2.又当 (,)x时， )Fx是减函数， 1x，即12x.（12 分）22（本小题满分 10 分）（） 24cos,4cos, 由 22,cosxyx，得 24yx，所以曲线 C的直角坐标方程为 2xy. 由
13、312xty，消去 t得： -3+10xy.所以直线 l 的普通方程为 -3+10xy.（5 分）（）把 312xty代入 24xy，整理得 2350tt， 因为 270，设其两根分别为 12,t，则 1212,tt 所以 211147PQttt.（10 分）23 （本小题满分 10 分）（） 23fx即 23xa，平方整理得： 223190xax，所以-3，-1 是方程 223190xax的两根， 21439a解得 0. （5 分）（）因为 ()|()2fxaxa 所以要不等式 2|恒成立只需 2a当 0a时， 2a解得 04a当 时， 此时满足条件的 不存在综上可得实数 a的范围是 .（10 分）
