1、广东商学院数学建模培训承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话
2、）： 1183 所属学校（请填写完整的全名）： 广东商学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 卢奕建 2. 陈少英 3. 陈 挺 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 广商数模组 日期： 2011 年 8 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2广东商学院数学建模培训编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3汽车保险摘要通过对题目的理解以及深究，同时对数据进行处理和分析，我们采用“指标差异”的赋权方法解决问题一
3、的影响因素权重问题，风险分级的思想得到问题二的浮动方案，通过定性分析的方法对私家车车主提出购买车险的建议。针对问题一：在评价一个保险公司的综合实力时，续保率是很多保险公司共同关注和参考的重要指标。本题从附件所给数据出发，通过“指标差异”的赋权方法，分别分析在不同时间下，车辆的出险次数、承保车辆年龄、车辆使用性质、承保渠道和新车购买价格这 5 个因素对车险续保率的影响。最后得出承保车辆的使用性质和承保渠道是影响续保率的 2 个重要因素，并且，承保渠道这个因素的影响力程度呈上升趋势，值得引起保险公司的重视。针对问题二：为了得出一个合理的浮动方案，我们采用风险分级的思想。利用乘法规则得出保费的最终计
4、算公式：浮动后保费=基础保费*最终风险系数*最终折扣率。对于具体的某投保车辆，根据浮动方案确定出各个分级变量的风险系数，代入上式即得出浮动后的保费。该浮动方案对不同风险大小进行了分级，并引入风险系数这个指标，是十分合理的，且具有灵活性，对不同实际情况可在它的基础上更简便且合理地调整方案直至最佳。针对问题三：通过对三大保险公司的车险业务和优惠政策进行比较，定性的对私家车车主提出较为合理的购险建议。关键字： 指标差异 风险等级 定性分析4一、问题重述近几年，国内汽车销售市场异常火爆，销售量屡创新高。车轮上的世界，保险已经与我们如影随形。汽车保险，简称车险，是指对机动车辆由于自然灾害或意外事故所造成
5、的人身伤亡或财产损失负赔偿责任的一种商业保险。汽车保险是财产保险中的主要险种。自 2006 年 7 月 1 日，交强险实施以来，车险与广大车主间有了更加亲密的关系。交强险，全称机动车交通事故责任强制保险，是我国首个由国家法律规定实行的强制保险制度。交强险的基本定义是：交强险是由保险公司对被保险机动车发生道路交通事故造成受害人（不包括本车人员和被保险人）的人身伤亡、财产损失，在责任限额内予以赔偿的强制性责任保险。除了交强险，各个保险公司有自己的商业车险产品，种类繁多。在我国保险业，汽车保险有着不可撼动的地位。连续多年，汽车保险稳居国内产险业第一大险种。可以说，对于财产保险公司来说，得车险者得天下
6、！1 评价一个保险公司的综合影响力时，其市场份额具有举足轻重的作用。当新的保险公司寻求自己的领地的时候，老的保险公司要做的除了发展新的领地，还要保住自己原有的客户。很多保险公司开始关注续保率这个指标，续保率就是当年到期的客户中续保客户所占的比重。在续保数据中，我们发现承保车辆的使用性质，承保车辆的销售渠道以及新车购买价格的不同都会影响续保率。请结合数据，建立合理的数学模型，说明影响续保率的因素。2 汽车保险公司为了降低车辆出险率，鼓励保户续保，发展潜在保户，通常都会对满足一定要求的保户或者投保人给与一定比例的保费浮动优惠，就是通常所说的保费折扣。请根据附件中的参考数据 2，以及 1 中对于影响
7、续保率因素的分析，给出一套较为合理的保费浮动方案。3中国三大保险公司太平洋保险股份有限公司、平安保险股份有限公司、中国人民财产保险股份有限公司现有的车险业务及其优惠政策，对私家车车主购买车请你比较我险提出合理建议。二、问题的假设1、假设附录数据的抽取是随机的，不存在误差。2、假设数据都是正确的。3、假设投保人投保的车险为同一组合。4、假设保险公司的总利润与其车险业务的多少呈现正相关关系。5三、符号说明四、问题分析对于问题一：在评价一个保险公司的综合实力时，续保率是很多保险公司共同关注和参考的重要指标。本题从附件所给数据出发，考虑到车辆的品牌和车辆的购买价格有着较大的相关性，故将原来的 6 个因
8、素缩减为 5 个，以减少繁重的计算量。通过“指标差异”的赋权方法，分析在不同时间下，车辆的出险次数、承保车辆年龄、车辆使用性质、承保渠道和新车购买价格这 5 个因素对车险续保率的影响。对于问题二：考虑到保费的调整是为了为了降低车辆出险率，鼓励保户续保，发展潜在保户，同时又要考虑各项保单的风险度，并且企业的利润也是一个不容忽视的问题。因此，对于在浮动前的保费基础上，我们运用乘法的原理确定浮动后的保费，这里采用等级划分法确定风险系数。对于问题三：针对三大保险公司的车险业务和部分优惠政策的对比和分析，以及问题一和问题二的结果，定性地对私家车车主购买车险提出建议。五、模型的建立与求解5.1 模型一 均
9、方差赋权法5.1.1 模型的提出“指标差异”赋权法主要是根据各项指标所提供信息量的大小和差异程度来变量 变量说明ix表示第 个影响因素，这里默认 从 1 到 6 分别指代出险次数、承保i i车辆年龄、车辆使用性质、承保渠道和新车购买价格与车的品牌i表示各月相应的权重系数is第 个因素的均方差iijy第 种性质车辆第 个保单的出现次数ijia第 种性质的风险系数i6决定相应的权重系数。因为在综合评价影响力的问题中，即使是某个指标被认为非常重要，但是所有被评价对象在该项指标的取之差异很小，则无论具体指标值有多大，其该指标对所有被评价对象的评价结果影响都是很小的。甚至说，如果某个被认为比较重要的指标
10、，但对于所有被评价对象的取值基本相同，则该项指标在综合评价中所起的作用几乎为零。相反的，如果某项指标被认为相对不太重要（不能舍弃） ，但对于所有的被评价对象其取值的差异程度却很大，则该项指标对综合评价结果的影响是很大的。相比之下，后者的作用更大于前者。常用的方法有突出整体差异的“拉开档次”法、突出局部差异的均方差发、极差法和熵值法。基于这一思想，考虑到指标中各因素的差异对车险续保率的影响，我们采用均方差法根据所提供信息的大小确定影响程度。然后在此基础上，对不同时期下各因素的方差进行“归一化”处理，以确定在不同的时间下各因素对续保率影响所占的权重。最后，通过分析不同时间下各因素的权重情况以确定对
11、续保率影响比较大的因素。5.1.2 模型的建立Step 1：确定影响因素对象, 5,432,1),(21 ixxximiiiStep 2：求出各个影响因素对象 的各项指标,12ix的均方差 ,即jixj ,.;5,4321is（1）mj jiji xs12)(其中，均值为 。并且， ixmjijixx1Step 3：将 Step2 确定的均方差归一化，并将其值作为确定权重系数，即（2）5,432,1,51iswiiii5.1.3 模型求解以 2010 年 9 月份为例，根据上述步骤，运用 EXCEL 可求得： %49.372.3.%68.3274.38.2%01.1x %52.187.30,2
12、8684150947327 %46.3759.18.2%3.702.3174.%6.4201.38.253x 5959614.%9.5x将上面式子依次代入（1）式，求得， 076.,4.0,28.,05.,24.0 543 sssss于是， %9.1,.9%,.,6.1%,98. 54321 www于是，根据（2）式便得到： .15694.0.1同理，可以依次求得其他时期的 5 个影响因素的权重向量为， 4.3820.712.2 %916834%437.5.95. 0507276.386.1.41.3.0 %45%847利用 EXCEL 将不同时期的 5 个影响因素所占的权重绘制成条形图如下，
13、0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%出 险 次 数 车 龄 使 用 性 质 购 车 价 格 承 保 渠 道2010年 9月2010年 10月2010年 11月2010年 12月2011年 1月2011年 2月2011年 3月8图 5.1.1 影响因素权重图以上的不同时期的 5 个影响因素所占的权重条形图形象地体现出各因素的影响程度。其中，承保车辆的使用性质和承保渠道这 2 个因素对续保率的影响最大，其他的 3 个因素虽然对续保率也有一定的影响，但是总的来看没有使用性质和承保渠道这 2 个因素的影响大。并且，从时间的角度看，承保渠道这个因
14、素对续保率的影响程度呈上升趋势。这意味着，该项指标具有更大的发展潜力，因此，保险公司应该更加重视这个因素。为了从总体上来评价上面 5 个指标对车险续保率的影响，可一将某个指标（如车辆使用性质）各个月份的影响权重相加求平均，再将之归一化求出其相应的权重，具体操作如下：表 5.1.1 各影响因素均值表出现次数影响因素 10 年 9月10 年 10月10 年 11月10 年 12月11 年 1月11 年 2月11 年 3月各月相对权重0.0498 0.0421 0.0444 0.0435 0.0672 0.1013 0.0444平均值 0.0561影响因素车龄10 年 9月10 年 10月10 年
15、11月10 年 12月11 年 1月11 年 2月11 年 3月各月相对权重0.1064 0.0244 0.0224 0.0214 0.0382 0.0391 0.0808平均值 0.0453影响因素使用性质10 年 9月10 年 10月10 年 11月10 年 12月11 年 1月11 年 2月11 年 3月各月相对权重0.5923 0.4671 0.4483 0.4192 0.3750 0.4590 0.3409平均值 0.4431影响因素新车购买价格10 年 9月10 年 10月10 年 11月10 年 12月11 年 1月11 年 2月11 年 3月各月相对权重0.0956 0.082
16、0 0.0654 0.0585 0.0140 0.0156 0.07平均值 0.0573影响因素承保渠道10 年 9月10 年 10月10 年 11月10 年 12月11 年 1月11 年 2月11 年 3月9各月相对权重0.1559 0.3844 0.4195 0.4573 0.5057 0.3850 0.4645平均值 0.396因此可以得到最终个指标的权重为： 396.0,574.,1.0,45.,62.0,54321从而直观地可以看出，使用性质的权重是最大，承保渠道其次，出现次数和购买价格及车辆年龄再次之。5.1.4 思路拓展由题知，目标客户是出险次数 01 且赔付金额占保费总收入 6
17、0%一下的客户。目标客户的续保率比所有客户续保率对于保险公司来说显得更重要。于是，我们可以再次用相同的方法，利用模型一模型二，得出目标客户续保率的各个影响因素的权重 。m若 ，则说明此续保率的质量较好，对保险企业更有利；m反之，若 ，则说明此续保率的质量不是很好，企业将赔付的保费有可能增多。根据这一思路， ，利用模型（一）的步骤，可以求解出在不同时期中 5 个影响因素对目标客户承保车辆续保率的影响所占的权重情况，利用 EXCEL 绘制条形图如下：0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%出 险 次 数 车 龄 使 用 性 质 购 车 价 格 承 保 渠
18、道2010年 9月2010年 10月2010年 11月2010年 12月2011年 1月2011年 2月2011年 3月图 5.1.2 目标客户的影响因素权重图通过图像可以形象地看出，在不同时期中针对目标客户而言，影响续保率的 5 个因素的权重情况大致与所有到期承保车辆的情况相同：承保车辆的使用性质和承保渠道是影响续保率的两个最重要的因素。其他的 3 个因素虽然也有影响，但是总的来说影响程度没有前者的影响大。10为了更清楚地对比 5 个因素对所有承保车辆和目标客户承保车辆的续保率影响的区别，我们对各因素在所有时期的权重取均值，并绘制条形图如下，0.00%5.00%10.00%15.00%20.
19、00%25.00%30.00%35.00%40.00%45.00%50.00%出 险 次 数 车 龄 使 用 性 质 购 车 价 格 承 保 渠 道所 有 承 保 车 辆目 标 承 保 车 辆图 5.1.3 影响因素权重图通过上图可以更加形象地看出 5 个因素对所有承保车辆和目标客户承保车辆的影响权重的区别。对于目标客户的承保车辆来说，影响续保率的主要因素固然是承保车辆的使用性质和承保渠道，但是，承保车辆的出险次数也是一个不容忽视的因素，而承保车辆的车龄相对来说则是一个比较小的影响因素。因此，我们对该保险公司提出建议：为了提高目标客户承保车辆的续保率，应该重视承保车辆的使用性质和承保渠道这两个
20、重要因素，但是同时，也不可以轻易忽视承保车辆的出险次数这个因素。5.2 模型二：保费浮动调整模型5.2.1 模型的提出在模型一中，我们已经知道车辆的使用性质和承保的渠道是影响续保率的重要因素，其中车辆的使用性质稳居重要地位，相比之下，虽然承保渠道的影响权重虽然不容忽视，但由于其客户量并不是很大，因此，在影响续保率方面稍逊与车辆的使用性质。所以，我们将影响续保率的指标分成三个等级：1、车辆的使用性质2、承保渠道3、车龄、新车的购买价格、承保车辆出现次数然后估计各个分级变量的风险系数。5.2.2 使用性质风险等级的确定风险系数，顾名思义，就是用来度量事件发生分线的参数指标。对于风险大小，可以用每类
21、使用性质的车辆出险次数的均值来衡量。进而进一步的计算风险系数的大小。设第 种性质车辆第 个保单的出现次数为 则ij ijy11nyij15.2.3 构造映射，将这种规律反映在风险系数上设第 种性质车辆出险次数均值占总出险次数比例为：i mjiiyS1这个式子放应的是设第 种性质车险的风险占总风险的比例。另外，我们定i义风险中性的风险系数为 1，则设第 种性质车辆的风险系数与风险中性风险系i数的偏差便体现在风险比 与平均风险 的差异上，因此，第 种性质的风险系issi数为 , 满足：ia)(Sii5.2.4 出险次数风险系数的确定由于承保车辆风险的大小和出险次数有正相关关系，假设新用户初始等级为
22、4，也就是说默认新用户登记保单是的风险系数为 1.根据承保车辆上一保单年度出险次数调整承保车辆风险等级，按下表的等级调整本期风险系数表 5.2.1 等级调整本期风险系数表等级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12风险系数0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8规则如下：1）上一保单年度出险 0 次，则下降一等，下降直至 1 等级2）上一保单年度出险 1 次，则等级不变3）上一保单年度出险 23 次，则上升一个等级4）上一保单年度出险 45 次，则上升两个等级5）上一保单年度出险 67 次，则上升三个等级6）上一保单年度出险 89
23、 次，则上升四个等级7）上一保单年度出险 10 以上次，则上升五个等级直至 12 等级这个等级转移规则实现了对出险次数为 01 次的车辆的降低或维持风险系数，对出现次数较高的车辆则提高了风险系数，起到了鼓励投保人降低出险次数的效果。且这里的风险系数可根据保险公司和车辆的实际情况进行调整，有很强的灵活性。此规则适用于交强险和商业险种。设 Aiy分别为总体出险次数和赔款额的均值的点估计，因由假设可知样本量足够大，满足大数定律则可推出矩法估计：用样本均值估计总体均值，即 iiA且满足相和性和无偏性。而总体的风险系数为样本风险系数的一个函数，因此总体风险系数可用样本风险系数进行点估计。12对于车辆类型
24、的风险系数可同理求解。模型求解:用 Excel 统计出每种使用性质的车辆出险次数和赔款额，并用上述公式求解得： 商车险：表 5.2.2 商车险风险系数表商车险使用性质 风险系数城市公交 1.05 出租、租赁车 1.01 党政机关、事业团体 0.96 非营业特种车 1.05 家庭自用车 1.05 企业非营业用车 0.97 营业货车 1.00 营业特种车 0.90 交强险：表 5.2.3 交强险风险系数表交强险使用性质 风险系数城市公交 0.92 出租、租赁用车 1.17 党政机关、事业团体用车 1.00 非营业挂车 0.92 非营业货车 1.01 公路客运车 0.92 家庭自用车 1.03 摩托
25、车 0.92 企业用车 1.02 特种车 0.97 营业挂车 1.05 营业货车 1.08 5.2.5 保额折扣率和续保折扣率为鼓励投保人购买大保额保单及吸引客户续保，可对不同保额保单和是否续保实行如下折扣：（数据来源：http:/）表 5.2.4 保额保单折扣表10万元保费50万元 0.9850万元保费100万元 0.95保费100万元 0.9213表 5.2.5 续保折扣5.2.5 保费浮动方案对于某一投保车辆，保险公司将按车辆的使用性质、车辆类型、上一年度出险次数以及赔款额来利用上述分级来确定出该车的各项风险系数，并按如下公式来计算出最终保费：保费最终乘法计算公式：交强险：浮动后保费=基
26、础保费*最终风险系数*最终折扣率；其中，最终风险系数=使用性质系数*出险次数系数；商业险：浮动后保费=基础保费*最终风险系数*最终折扣率；其中，最终风险系数=使用性质系数*车辆类型系数*出险次数系数；最终折扣率=保额折扣*续保折扣；5.3 问题三5.3.1 数据的整理由问题二的数据，我们可以统计到家庭自用车（即私家车）的险种、出险情况、保费调整之间的关系，具体如下表，表 5.3.1商车险 交强险出险 未出险 出险 未出险保费上调 0.0336 0.0299 0.0037 0.0065保费下调 0.0624 0.0509 0.0367 0.1927保费不变 0.2577 0.4312从上表可以看
27、出，私家车购买车险的险种为：商车险和交强险，其比例是1:2，购买交强险的出险比例较小，保费下调比例较大，购买商车险的情况则反之。其内在原因可能是问题一的各影响因素不同，特别是出险次数的不同。根据网上的有限资料显示，分别从报价、利润、优惠政策等方面对太平洋保险股份有限公司、平安保险股份有限公司、中国人民财产保险股份有限公司之间的差别进行对比分析，具体如下表：续保1年 0.98续保2年 0.97续保3年 0.9514表 5.3.2 三大保险公司对比表人保车险 平安车险 太平洋车险网上计价器保费报价 4003.75 3665.49 3665.49电销续保报价 4200 4100 390009 年前三
28、季度总利润 198.7 亿元 88.16 亿元 40.617 亿元09 年前三季度保费增长率-4.56% 38.5% 5%信誉度 第一 第二 第三新车电销投保优惠 15%的优惠 15%的优惠，比人保低 100 元左右不提供险种保障程度 种类较多 种类较少 种类次之理赔服务网点 最多 次之 次之理赔效率 最低 居中 最高同样，从上表可以看出，人保作为国家保险企业，其信誉度是比较高的，而且险种种类是比较完善的，服务范围比较广，有一定的新保户优惠活动，但其车险业务额近几年是下降的；平安保险的报价总体上是最优惠的，且其车险业务近年来都有所提高，从侧面上就说明客户的扩大以及信誉的提升，另外，对于新投保客
29、户，其优惠政策是较好的选择，理赔效率不会太慢，速度适中；太平洋车险的续保报价是最低的，理赔效率是较高的，有一定的优势，但新保户投保没有相关的优惠，其优惠只针对于 1-8 年车龄的车辆。5.3.2 提出合理建议针对以上的结果，对于私家车车主购买车险提出以下几条建议：第一，对于购买车险新客户来说，选择信誉度高而且具有优惠政策额保险公司是比较好的，其次是考虑险种的问题，交强险的出险率是较低的，但保费下调比例也是比较大的，综合人保车险、平安车险、太平洋车险的总体情况，购买平安车险是其不错的选择。第二，对于私家车车主续保车险来说，应该考虑较多的是保费的浮动问题，可依据问题二的浮动公式，根据其实际情况选择
30、适合的一家保险公司，可根据出险次数、服务指数、理赔效率等因素来选择车险公司。六、模型的评价6.1 模型的优点1）模型一运用指标差异赋权法具有较强的客观性、无主观因素的影响，评价过程的透明性和客观性较好；2）模型二综合考虑了折扣率和风险系数，在浮动前保费的基础上进行调整，具有一定的合理性，同时具有很强的灵活性；6.2 模型的缺点1）模型一的方法较为简单，在处理复杂数据时没有熵值法可靠；152）模型二只是基于浮动前保费的调整，没能估计保费，同时难以评估保险的盈利，因而得出的未必是最优的6、模型的推广模型一所运用的“指标差异”的赋权方法可以推广运用到综合评价类的模型中，尤其该方法能够与层次分析以及模
31、糊分析综合评价等方法进一步的结合模型二根据系数调整的方法对保费进行调整，该模型还可推广到银行、企业等其他金融行业中参考文献【1】韩中庚.数学建模方法及其应用（第二版）高等教育出版社【2】叶其孝 姜启源 数学建模（第三版） 机械工业出版社16附录附一同一组合投保类型汽车保险计算器，车险计算公式：1.车辆损失险保费=基本保险费+本险种保险金额费率2.第三者责任险保费=固定档次赔偿限额对应的固定保险费3.全车盗抢险保费=车辆实际价值费率4.新增加设备损失险保费=本险种保险金额费率5.玻璃单独破碎险保费=新车购置价费率6.自燃损失险保费=本险种保险金额费率7.车上责任险保费=本险种赔偿限额费率8.车载
32、货物掉落责任险保费=本险种赔偿限额费率9.不计免赔特约险保费=(车辆损失险保险费+ 第三者责任险保险费 )费率附二：09 年三大保险公司营业额情况：公司名称 投资资产规模每股净资产总投资收益率 净利润 每股收益保费增长率中国人寿 10687.亿 5.24 4.71% 198.7 亿 0.70 元 -4.56%中国平安 8732.亿 12.32 4.90% 88.06 亿 1.14 元 38.50%中国太保 3254 亿 6.5 4.85% 40.61 亿 0.53 元 5%附三：北京保险行业 2008 年车险理赔时效测评结果公司名称 有效报案数 已决案件数 结案率 结案周期人保北分 1110693 891512 80.27% 33.7 天太保北分 394554 335462 85.02% 39 天平安北分 321869 277320 86.16% 28.5 天
