1、2018 届甘肃省张掖市全市高三备考质量检测第一次考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：1. 若集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为集合 ，故选 C.2. 若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ,故选 A.3. 下表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温 的数据一览表已知该城市的各月最低温与最高温具有线性相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是 （ ）A. 最低温与最高温为正相关B. 每月最高温与最低温的平均值前 8 个月逐月增加C. 月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 1 月D. 1 月至 4 月的月温
2、差（最高温减最低温）相对于 7 月至 10 月，波动性更大【答案】B【解析】将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大， 正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前 个月不是逐月增加， 错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在 月， 正确；由表格可知 月至 月的月温差（最高温减最低温）相对于 月至 月，波动性更大， 正确，故选 B.4. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，又 ，故 ，且 ，从而，故选 D.5. 已知双曲线 的实轴长为 ，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
3、因为双曲线 的实轴长为 ，所以 ，解得 舍去），该双曲线的渐近线的斜率为 ，故选 C.6. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】执行图中程序框图， 结束循环，输出 ,故选 B.7. 若实数 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出约束条件 表示的可行域 ，如图，由图知直线 过点 时有最大值，且，故选 D.8. 设 是椭圆 的两个焦点，点 是椭圆 与圆 的一个交点，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知 ， ，解得 ， ，故选 C.9. 设 ，函数 的图象向右平移 个单位后与
4、原图象重合，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】将 的图象向右平移 个单位后对应的函数为函数 的图象向右平移 个单位后与原图象重合，所以有 ，即 ，又 ，故 ，故选 A.10. 函数 的部分图象大致是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 为奇函数， 图象关于原点对称，排除 ；当 时，设，则 ，即 在区间 上递增，且 ，又在区间 上 ，排除 B；当 时， ，排除 C，故选 D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题
5、型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为四棱锥，如图所示，底面对角线的交点到各得到距离相等，所以外接球的球心是底面对角线的交点 ，外接球的表面积为 ，故选 A.12. 已知函数 ，若 成立，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ，则 ，令 ， ，又 是增函数， 在 上递减，在 上递增， ，即的最小值为 ，故选
6、 C.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求函数的最值即可.二、填空题13. 已知向量 ，且 ，则 _【答案】14. 若 ，则 _【答案】-4【解析】因为 ，故答案为 .15. 如图， 是正方体 的棱 上的一点，且 平面 ，则异面直线 与 所成成角的余弦值为_【答案】【解析】不妨设正方体 的棱长为 ，如图，当 为 中点时， 平面，则 为直线 与 所成的角
7、，在 中，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.16. 在 中， ，边 的中点为 ，则 _【答案】【解析】如图所示，作 于点 ，则：，则： .三、解答题 17. 已知等比数列 的前 项和 为等差数列， .（1）求数列 ， 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】(1) ， .（2） .【解析】试题分析：（1）由 可得 ，两式相减
8、可得 是以为首项 ，为公比 的等比数列，从而可得数列 的通项公式，利用 求出 的首项与公差，即可得 的通项公式；（2）由（1）知 ，利用错位相减法可求得数列 的前 项和 .试题解析：(1)当 时， ，当 时， ，即 ，所以 是以为首项 ，为公比 的等比数列，即 ，又 ，所以 .（2）因为 ，所以 ，则 ， 两式相减 ，所以 .18. “扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与这投币 20 元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回） ，若有一个红球，奖金 10 元，两个红球奖
9、金 20 元，三个全为红球奖金 100 元.（1）求献爱心参与者中奖的概率；（2）若该次募捐有 900 为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望.【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1） ；（2）由题可知，设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为 ，则 ，求出每种情况的概率，写出分布列，求出期望，最后再乘以 900.试题解析：（1）献爱心参与者中奖记为事件 ，则 .（2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为 ，则 ，则 , , ,因此分布列为：若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为元，所以，此次募捐所得善款的数学期望为 元.19. 如图，四边形 是矩形 平面
10、.（1）证明：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析(2) .【解析】试题分析：（1）根据 可得 ,由 平面 ，可得 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再由面面垂直的判定定理可得平面 平面 ；（2）以过 作 的垂线为 轴，以 为 ，以 为轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面 的法向量 与平面 的法向量利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（1）证明：设 交 于 ，因为四边形 是矩形， ，所以 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，又 平面 ，所以 ，而 ，所以 平面 .由面面垂直的判定定理可得平面 平面(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得 ,设平面 的法向量
11、 ，则 ，取 ，即 ，设平面 的法向量 ，则 ，取 ，即 ，设平面 和平面 所成的二面角为，则 .【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 设直线的方程为 ，该直线交抛物线 于 两个不同的点.（1）若点 为线段 的中点，求直线的方程；（2）证明：以线段 为直径的圆 恒过点 .【答
12、案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）联立方程组 ，消去 得 ，根据点 为线段 的中点以及韦达定理可得 ，从而可得直线的方程；（2）要证明以线段 为直径的圆恒过点 ，只需证明 ，根据韦达定理将上式用 表示，化简消去 即可的结果.试题解析：（1）联立方程组 ，消去 得 设 ，则因为 为线段 的中点，所以 ，解得 ，所以直线的方程为 .（2）证明：因为 ，所以 ，即所以 ，因此 ，即以线段 为直径的圆横过点 .21. 已知函数 .（1）若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 的最大值；（2）若对任意 都有 ，求的取值范围.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（1）求出导函数，由曲线 在 处的切线与 轴垂直， 可得 ，从而可得 ，利用导数研究函数 的单调性， 即可求得 的最大值；（2）对任意 都
