1、甘肃省天水市第一中学 2018 届高三上学期第二学段（期中）考试数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ， 故选 2. 若函数 ，又 ，且 的最小值为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】 函数函数 的最大值为 2 ， ，且 的最小值为函数 的周期为由周期公式可得故选 A3. 钱大姐常说“便宜没好货” ，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A. 充分条件 B. 必要条件C.
2、 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】B4. 函数 的单调增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ， ， ，函数定义域为 ，所以先排除 A，B；在 上函数 m 先增后减，故 D 不对；由图像可知，该复合函数单调区间为 ，故选 5. 对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 即 时，原不等式变为 ，显然，不等式恒成立，此时，符合题意。当 即时，因为对于任意实数 ，不等式 恒成立，所以 ，解得 。综上可得 。故选 D。 【点睛】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来。二次项系数含字母，应对二次项系数是否为
3、0，分情况讨论。当二次项系数不为 0 时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在 轴的下方，故抛物线开口向下且和 轴没交点，即判别式小于 0.综合两种情况可得所求范围。6. 若 满足 ， ，则 的前 10 项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 因为 ，则 ，所以 ，故选 B.7. 若 满足 且 有最大值，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由 ，得 ，所以直线的截距最大，对应的也取得最大值，即平面与在直线 的下方，若 ，平移直线 ，由图象可知，直线在 轴上的截距没有最大值，若 ，当直线 经过点 或 时，直
4、线 的截距最大，当 ，直线在可行域没有满足题意的点，故选 C.8. 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 为鳖臑， 平面，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】三棱锥 将四个面都为直角三角形， 所以只能 为直角，将三棱锥补成长方体，可得为球 的直径， 球 的半径为 球 的表面积为 ，故选 C.9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】三棱锥如图所示， ， ， ，且 ，底面积 ， 故选 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何
5、体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解10. 下列命题中错误的是（ ）A. ，不等式 均成立B. 若 ，则C. 命题“若 ,则 ”的逆否命题是真命题D. 若命题 ，命题 ，则 是真命题【答案】D【解析】 项： ， ，不等式 均成立， 对；项：若 ，则 ，则 ，接触： ， 对；项： ， 或 ，原命题是真命题， 对，则原命题的逆否命题也是真命题项： 恒成立 恒成立，命题 是真命题又 ， ， ，命题 是真命题 是假命题 错故选 D点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命
6、题，全称命题，对勾函数的图象和性质等知识点，根据二次函数的图象和性质，可判断；根据对勾函数的图象和性质，可判断；判断出原命题的真假，可判断；根据复合命题真假判断的真值表，可判断11. 已知 是 上的奇函数， ，则数列 的通项公式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 是 上的奇函数，所以函数 的图像关于原点对称。函数 的图像可由 的图像先向上移一个单位 ，再向右移 个单位，所以函数 的图像关于 对称，所以 。因为 ，可得 。两式相加可得 。故选 C。【点睛】由函数 是 上的奇函数，结合函数图像的平移，得到函数 的图像关于 对称，可得 ，可用倒序相加法求和 。12. 已知函数 ，
7、若对任意 ，存在 使 ，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， 因此 有解，所以 ，选 B.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 如图，点 分别是正方体 的棱 和 的中点，则 和 所成角的大小是_【答案】【解析
8、】因为 MN ， ,所以 就是 和 所成角，而 是等边三角形，所以.故填 .14. 对于函数 ，部分 与 的对应关系如表：数列 满足： ，且对于任意 ，点 都在函数 的图象上，则的值为_【答案】7561【解析】因为对于任意 ，点 都在函数 的图象上，所以 ，因为 ，再由对于函数 ，部分 与 的对应关系表，可得，所以数列 为周期数列，4 是它的一个周期，所以 =。【点睛】由条件点 都在函数 的图象上，得 。再根据表格中的对应关系，列举数列的前几项，可得数列 为周期数列 ，可求和。15. 已知 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是_ (答案写成集合或区间格式）【答案】【解析】因为 ， ， ，则 ，
9、（当且仅当 时取等号） ， ，不等式 恒成立，即： 只需 ，则，则 的取值范围是 .【点睛】关于利用基本不等式求最值问题，需要掌握一些基本知识和基本方法，利用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等” ，当两个正数的积为定值时，这两个数的和取得最小值；当两个正数的和为定值时，这两个数的积取得最大值；利用基本不等式求最值的技巧方法有三种：第一是“的妙用” ，第二是“做乘法” ，第三是“等转不等”.16. 已知函数 （是常数且大于 0)，对于下列命题：函数 的最小值是 ；函数 在 上是单调函数；若 在 上恒成立，则的取值范围是 ； 对任意 且 ，恒有其中正确命题的序号是_【答案】【解析】试题分析
10、： ， 在 R 上为增函数，且恒过点（ 0，-1 ） ；作出 的图像（如图） ，由图像得： 的最小值是 1，在 上单调递减，在 单调递增；且在 上为凸函数，所以恒有 ；若 f(x)0 在 上恒成立，则 ，即 ；故选.考点：分段函数、函数的图像.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 .（1）若 ，求 的值；（2）若 ，求 的面积 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（）直接在 中运用正弦定理即可得出结论；（）由已知及余弦定理可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解.试题解析：（）在 中，
11、由正弦定理得 ，解得 ，所以 .（）由余弦定理 ，得 ，所以 ，因为 ，所以，所以 的面积为 .18. 已知数列 的首项 ，且满足 .（1）设 ，证明数列 是等差数列；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：(1)根据题意，得 ，利用等差数列的定义，即可证明结论；(2)由(1)，求得 ，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和.试题解析：(1) .数列 是以 为首项， 3 为公差的等差数列.(2)由(1)可知 ， . -得： .19. 如图，已知面 垂直于圆柱底面， 为底面直径， 是底面圆周上异于 的一点， .求证:（1）平面 平面 ； （2）求几何体 的最
12、大体积 .【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）证明两个平面垂直，应用两面垂直的判定定理，在其中一个面内找一条直线与另一个面垂直。由 为底面直径， 是底面圆周上异于 的一点，可得 。由面 垂直于圆柱底面，可得 平面 ，因为 平面 ，所以 。因为 , 平面 ,平面 ，再由直线与平面垂直的判定定理可得 平面 .又因为 平面 ，由面面垂直的判定定理可得平面 平面 . （2）要求几何体 的最大体积 ，应先把几何体的体积表示出来，转化为求函数的最值问题。该几何体是三棱锥，其体积为底面积与高的乘积三分之一，因为平面 ，所以 是三棱锥 的高。因为 为底面直径，且 ，故可设 ，在中, 。所
13、以三棱锥的体积为，因为 为常数 4，所以可由基本不等式求其最大值.试题解析:（1）证明： 是底面圆周上异于 的任意一点，且 是圆柱底面圆的直径， ， 平面 ， 平面 ， , 平面 , 平面 平面 .又 平面 ，平面 平面 .（2）设 ，在 中, ， 平面 ， 是三棱锥 的高因此，三棱锥的体积为.当且仅当 ，即 时，三棱锥 的体积取最大值。当 ，即 时，三棱锥 的体积的最大值为 .【点睛】1、证两面垂直，应用面面垂直的判定定理证明；2、求棱锥体积的最大值，应先根据条件把体积表示出来，转化为求函数的最值问题。20. 已知函数 .（1）当 时，求函数 的定义域；（2）若关于 的不等式 的解集是 ，求
14、 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)由题设知： ，求解不等式，即可得到函数的定义域；(2)由不等式 ，即 ，在根据绝对值不等式的性质，得出最值，即可求解实数 的取值范围.试题解析：(1)由题设知： ，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：或 或解得函数 的定义域为 .(2)不等式 即 ， 时，恒有 ，不等式 解集是 ， ， 的取值范围是 .21. 已知函数 ，求：（1）函数 的图象在点 处的切线方程；（2） 的单调递减区间.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）求导得 ，故 ，又 ，根据点斜式方程可得切线方程；（2）令 ，解不等式可得函数的单调递减区间。
