1、2018 届湖南省长沙市长郡中学高三第三次月考数学（文科） （解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合 ，则 中元素的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】D考点：集合的表示2. 对两个变量 进行线性回归分析，计算得到相关系数 ，则下列说法中正确的是（ ）A. 与 正相关B. 与 具有较强的线性相关关系C. 与 几乎不具有线性相关关系D. 与 的线性相关关系还需进一步确定【答案】B【解析】 与 负相关， 非常接近 1，所以相关性很强，故选 B.3.
2、 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ，故选 C考点：1、重要不等式；2、二次不等式的解法【方法点晴】本题主要考查的重要不等式、二次不等式的解法，属于容易题但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性） 平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型4. 下图程序框图表示的算法的功能是（ ）A. 计算小于 100 的奇数的连乘积B. 计算从 1 开始的连续奇数的连乘积C. 从
3、 1 开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于 100 时，计算奇数的个数D. 计算 时的最小的 值【答案】D【解析】由题意，此程序框图表示 的循环结构，当不满足 是， ，直至满足 ，即计算 的最小的 的值，故选 D。5. 设 是公比为 的等比数列，若 和 是方程 的两根，则 （ ）A. 18 B. 10 C. 25 D. 9【答案】A【解析】由题意可得：a 2010= ，a2011=q=3本题选择 A 选项.6. 已知 为角 的终边上的一点，且 ，则的值为（ ）A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A【解析】由三角函数定义得 ，选 A.7. 欧拉公式 （为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，
4、它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】由题意， ，即 ，所以是第二象限，故选 B。8. 已知某几何体的外接球的半径为 ，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）A. 16 B. C. D. 8【答案】C【解析】由该三视图可知：该几何体是一个正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于该正方体的外接球，设正方体的棱长为，则有 ，故该正四面体的体积为 ，选 C.
5、9. 设函数 ， ，若数列 是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意， ，即 ，所以 ，故选 B。10. 一棱长为 6 的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得：,所以 r= ，设正方体的最大棱长为 a，3 = a= ,外接球的面积为故选 B点睛：在一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，也就是正方体外
6、接球的直径.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ，得 ，即 .由抛物线的光学性质可知 经过焦点 ，设直线 的方程为 ，代入 .消去 ，得 .则 ，所以 .将 代入 得 ，故 .故 .故 的周长为 .故选 B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的
7、对称轴.12. 若函数 在区间 上，对 ， 为一个三角形的三边长，则称函数 为“三角形函数”.已知函数 在区间 上是“三角形函数” ，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，所以 在 单调递减， 单调递增， ，则只需 ，函数 就是“三角形函数”，所以 ，解得 ，故选 D。点睛：本题关键是理解三角形函数的定义，要对任意的 都满足，则只需 即可（三角形较小的两边之和大于第三边） ，通过求导得到函数的最小值和最大值，代入计算，得到 的取值范围。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，其中 是实数，是虚数单位，则
8、 _【答案】【解析】由题意， ，则 ，所以 。14. 若双曲线 上存在一点 满足以 为边长的正方形的面积等于 （其中 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是_【答案】【解析】由题意， ，又 ，则 ，即 ，得 ， ，所以 ，所以 ，即的取值范围是 。15. 已知平面上的单位向量 与 的起点均为坐标原点 ，它们的夹角为 ，平面区域 由所有满足的点 组成，其中 ，那么平面区域 的面积为_【答案】【解析】由题意， ，所以 ，令 ，则 ，所以 ，得到可行域，所以面积为 。点睛：利用向量的坐标表示，得到 ，令 ，则 ，则条件中关于 的关系就转化到 的关系，得到点 的可行域，求出面积。本题考察可行域的转
9、换，学会转换方法。16. 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 在 上的所有零点之和为_【答案】8【解析】由题意， ， 与 都是奇函数，第一象限图象如图，当 时，两图象无交点 ，所以， 上的零点之和为 8.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 在 中， ， .（1）若 ，求 的长；（2）若点 在边 上， ， ， 为垂足， ，求角 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析: 先求 CD，在BCD 中，由正弦定理可得： 结合BDC=2A，即可得结论解：（1）设 ，则由余弦定理有：即解得：所以（2）因为 ，所以 .在 中，由
10、正弦定理可得： ，因为 ，所以 .所以 ，所以 .18. 如图 1，在矩形 中， ， ， 是 的中点，将 沿 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 ，其中平面 平面 .图 1 图 2（1）证明： 平面 ；（2）设 为 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：(1)结合题意可证得 平面 ，结合面面垂直的判断定理即可证得题中的结论；(2)由题意可得 共面，若 平面 ，据此可得 .试题解析：（1）证明：连接 ， 为矩形且 ，所以 ，即 ，又 平面 ，平面 平面 平面（2）取 中点 ，连接 ， ， ，
11、且 ，所以 共面，若 平面 ，则 . 为平行四边形，所以 .19. 已知具有相关关系的两个变量 之间的几组数据如下表所示：（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ，并估计当 时， 的值；（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，从这五个点中随机抽取 2 个点，求这两个点都在直线的右下方的概率.（参考公式： ， ）【答案】 （1）散点图见解析；（2） ；（3） .【解析】试题分析：（1）绘制散点图；（2）利用参考公式 ， ，求出回归系数 ，得到回归方程，得到答案；（3）从图中可知，2 点在直线左上方，3 点在直线右下方，穷举随机取
12、两点的可能，得到概率。试题解析：（1）散点图如图所示：（2）依题意， ， ， ， ；回归直线方程为 ，故当 时， .（3）五个点中落在直线 右下方的三个点记为 ，另外两个点记为 ，从这五个点中任取两个点的结果有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 个.其中两个点均在直线 的右下方的结果有 3 个，所以概率为 .点睛：回归直线方程的题型关键是回归系数公式的应用，利用参考公式 ， ，分别求出 、 、 、 ，得到回归系数，写出回归方程；简单的概率的求解可以利用穷举法。20. 已知圆 ，某抛物线的顶点为原点 ，焦点为圆心 ，经过点 的直线交圆 于 两点，交此抛物线于 两点，其中 在第一象限， 在第二象限.（1）求该抛物线的方程；（2）是否存在直线，使 是 与 的等差中项？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由 .【答案】 （1） ；（2） 或 .
