1、1求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。方法一、定义法也叫直接法，根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。这是求异面直线距离的关键。 该种方法需要考虑两种情况：一是如两条一面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。若两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第 3 条直线与两个异面直线都垂直，则平
2、移第 3 条直线使得与两个异面直线都相交。例 1 已知：边长 a 为的两个正方形 ABCD 和 CDEF 成 1200 的二面角，求异面直线 CD 与AE 间的距离。思路分析：由四边形 ABCD 和 CDEF 是正方形，得CDAD，CDDE，即 CD平面 ADE，过 D 作 DHAE 于 H，可得 DHAE，DHCD，所以 DH是异面直线 AE、CD 的公垂线。在ADE 中，ADE=120 0，AD=DE=a，DH= 。即异面直线2CD 与 AE 间的距离为 。2a例 2 如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=BC =CD=DA=AC=BD=a，E 、F 分别是 AB、CD的中点.(1)求证
3、：EF 是 AB 和 CD 的公垂线；(2)求 AB 和 CD 间的距离；(3)求 EF 和 AC 所成角的大小.(1)证明：连结 AF，BF，由已知可得 AF=BF.又因为 AE=BE，所以 FEAB 交 AB 于 E.同理 EFDC 交 DC 于点 F.所以 EF 是 AB 和 CD 的公垂线.(2)在 RtBEF 中，BF= a23,BE= 1,所以 EF2=BF2-BE2= 12，即 EF= .由(1)知 EF 是 AB、CD 的公垂线段，所以 AB 和 CD 间的距离为 a2.(3)过 E 点作 EGAC 交 BC 于 G，因为 E 为 AB 的中点，所以 G 为 BC 的中点.所以
4、FEG 即为异面直线 EF 和 AC 所成的角.A B H D C E F 例 2 题图2在FEG 中，EF = a2,EG= 1,FG= a2,cosFEG =2EGF.所以 FEG=45所以异面直线 EF 与 AC 所成的角为 45例 3 正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 a，求异面直线 AC 与 BC1 的距离。 取 BC 的中点 P，连结 PD，PB 1 分别交 AC，BC 1 于 M， N 点， 易证：DB 1/MN，DB 1AC， DB1BC 1， MN 为异面直线 AC 与 BC1 的公垂线段，易证：MN= B1D= a。 例 4、正四棱锥 S-ABCD 中，底面边长为
5、 a，侧棱长为 b(ba)求：底面对角线 AC 与侧棱 SB 间的距离解：作 SO面 ABCD 于 O，则点 O 是正方形 ABCD 的中心SOAC，BOAC，AC面 SOB在SOB 中，作 OHSB 于 H，根据、可知 OH 是 AC 与 SB 的距离3AB CEF图OHSB SOOB，方法二、转化为线面距离若 a、b 是两条异面直线，过 b 上一点 A 作 a 的平行线 C，记 C 与 b 确定的平面 。从而，异面直线 a、b 间的距离等于线面 a、 间的距离。例 1 为直角梯形 ABCD 所在平面外一点， ，SA平面09BDAC，SA=AB=BC= ，AD=2 ，求异面直线 SC 与 A
6、B 间的距离 解：如图，设是 AD 的中点,连结 SF、CF, 则 ABCF.故 AB平面 CFS故直线 AB 到平面 CFS 的距离就是异面直线 SC 与 AB 间的距离，在平面 SAF 内作 AESF，垂足为 E，易知 AB平面 SAF，故 CF 平面 SAF.CF AE. 从而 AE平面 CFS, 故 AE 为直线 AB 到平面 CFS 的距离,即 SC 与 AB 间距离.在 中,易得 AE= SAFRt2a例 2 如图， BF、AE 两条异面直线分别在直二面角 P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成、 角，又它们和棱的交点间的距离为 d，求两条异面直线 BF、AE 间的距离。思路分析：B
7、F、AE 两条异面直线分别在直二面角 P-AB-Q 的两个面内，EAB=，FAB=，AB=d，在平面 Q 内，过 B 作 BHAE ，将异面直线 BF、AE 间的距离转化为 AE 与平面 BCD 间的距离，即为 A 到平面 BCD 间的距离，又因二面角 P-AB-Q是直二面角，过 A 作 ACAB 交 BF 于 C，即 AC平面 ABD，过 A 作 ADBD 交于 D，连结 CD。设 A 到平面 BCD 的距离为 h。由体积法 VA-BCD=VC-ABD， 得h= 2cos1ind方法三、体积法：体积法实质也为线面法本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公式求之
8、。F C P A G B Q E H D 4A1 B1C1D1A BC图DECC1A BDA1 B1D1图例 1：正方体，求 AC 与 BC1 的距离当求 AC 与 BC1 的距离转化为求 AC 与平面 A1C1B 的距离后，设 C 点到平面 A1C1B 的距离为 h，则 h ( a)2= a a2, h= a，即 AC 与 BC1 的距离为 a。 例 2 设长方体的三边长为 AB5, BC4, 3,求 AB 和 之间的距离.1B解:如图 4,由 AB ,知 AB平面 .1BADA故要求 AB 和 之间的距离,D只要求出 AB 到平面 的距离即可.1连结 ,1AB则三棱锥 的高 也就是 AB
9、到平面 的距离 .Dh1B而 ,即 , 可求得 .ABAV1111133ASSDDBA 512h故 AB 和 之间的距离为 .52评注：等体积法是解决距离问题的常用方法，运用它可避免作一些复杂的辅助线，关键是找到容易计算面积的底面。方法四、转化为面面距离若 a、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面 、，且 a、b。求 a、b 两条异面直线的距离转化为平行平面 、 间的距离。例 1 棱长为 的正方体 中，求两对角线 与 间的距离1DCBABA1解：连结 ，11,CDBA ， ， ，平面 D平面 115连结 ，则 ，由三垂线定理，1,CA1DB知 同理， 平面 1BC11A1CDB同理 平面 D
10、 平面 平面 D1设 与平面 D、平面 的交点分别为、，则 MN 的长即为平面1AC1B 1CDB与平面 D 的距离，也就是异面直线 与 间的距离BACB1设 与 的交点为, 连结 , ,在平面 中, ,1 M1ON1MA1 ,则 ONAC1 ， 同理 1CN1 故 与 间的距离为 aM31BA1 a3评注：把求异面直线间的距离转化为求直线与平面或平面与平面间的距离，是求异面直线间距离时最常用的两种转化手段例 2 已知：三棱锥 S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14 ，SC=AB=15 ，求异面直线AD 与 BC 的距离。思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几
11、何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体， 设长方形的长、宽、高分别为 x、y、z， S C A B C S B A 6则 221345BCxzAy解得 x=3，y=2，z=1。由于平面 SA平面 BC，平面 SA、平面 BC 间的距离是 2，所以异面直线 AD 与 BC 的距离是 2。例 3 正方体，求 AC 与 BC1 的距离解法 3：（转化法） 平面 ACD1/平面 A1C1B， AC 与 BC1 的距离等于平面 ACD1 与平面 A1C1B
12、 的距离，（如图 3 所示）， DB 1平面 ACD1，且被平面 ACD1 和平面 A1C1B 三等分； 所求距离为 B1D=a。小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。 方法五：构造函数法求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。例 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，求 A1B 与 D1B1 的距离。思路分析：在 A1B 上任取一点 M，作MP A1B1，PNB 1D1，则 MNB 1D1，只要求出 MN 的最小值即可。设 A1M=x，则MP= x，A 1P= x。所以 PB1=a2x，PN=（
13、a x）sin45 0= （ ax） ，22 D1 C1 N A1 P B1 M D C A B 7A BDEFPQ 图CMN= 2PNM= 。当 x= 时，MN min= 。23)(3axa3a3例 2 正方体，求 AC 与 BC1 的距离。 任取点 QBC 1，作 QRBC 于 R 点，作 RKAC 于 K 点，如图 4所示， 设 RC=x，则 OK2= x2+(a-x)2= (x- a)2+ a2 a2, 故 QK 的最小值，即 AC 与 BC1 的距离等于 a。 小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。例 3 已知正方形 A
14、BCD 和正方形 ADEF 所在平面互相垂直，并相交于直线 AD这两个正方形的边长均为 ，求异面直线 AE 和 BD 的距离a解：是 AE 上任意一点,过 P 作 PQ 垂直 AD，垂足为 Q，平面 ADEF平面 ABCD， 且平面 ADEF 平面 ABCDAD ，PQ平面 ABCD过作 QRBD,垂足为,连结 PR,则 QR 是 PR 在平面ABCD 上的射影,由 QRBD ,知 PRBD.PR 的长度是 AE 上任意一点 P 到 BD 的距离.设 AQ= ,则 QD= .xax在 中 , , , AQ= ,则 PQ= .APQRt04509QAx在 中, ,则 QR= ( ).Dt aDR
15、,00 2axPQ平面 ABCD,QR 平面 ABCD, PQQR.在 中 , ,PQRt222 )(xxQ .3)(32322aax8当 = 时, PR 取最小值 ,x3aa3即异面直线 AE 和 BD 的距离为 评注：因异面直线的距离是异面直线上两点间距离最短的，从而可将异面直线的距离转化为二次函数的最值求解在求异面直线 SA 与 BC 间的距离时，可先在 SA 任取一点 D，作 DE直径 AC 于 E，则 DE底面圆再作 EFBC 于 F，则有 DFBC，于是 DF 的最小值就是 SA 与 BC间的距离方法六：公式法如图，已知异面直线 a、b 所成的角为 q，公垂线段 AA= d，AE=
16、m , AF = n , 应用此公式时，要注意正、负号的选择 当DAF=q 时，取负号；当点 F（或点 E）在点 A（或 A）的另一侧时取正号 9例 5 已知圆柱的底面半径为 3，高为4，A、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线 AB 与轴 OO/之间的距离。思路分析：在圆柱底面上 AOOO /，BO /OO /，又 OO/是圆柱的高，AB=5，所以 d=。即异面直线 AB 与轴 OO/之间的距离为 。23 23方法七 射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。例 6 在正方体 ABCD-A
17、1B1C1D1 中，AB=1，M、N分别是棱 AB、CC 1 的中点，E 是 BD 的中点。求异面直线 D1M、EN 间的距离。思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线D1M、EN 射影到同一平面 BC1 内，转化为 BC1、QN 的距离，显然，易知 BC1、QN 的距离为 。所以异面直42线 D1M、EN 间的距离为 。8、用向量求两条异面直线间的距离下面介绍一种利用向量进行计算的简易方法我们先来看看空间向量在轴上的射影设向量 AB，那么它在 u 轴上的投影为 从图/BA可以看出，为了作出 AB 在 u 轴上的射影，可以过点 A、B 分别作与 u
18、 轴垂直的A O O/ B D1 C1 A1 B1 N D C E Q A M B 图 1uABA B10两个平面、，那么点 A、B 在 u 轴上的射影分别为 A、B，且点 A、B必定在平面、上显然， 就是 在 u 轴上的射影从另一方面看，线段 就是异面直线 AA 和 BB(如果它们不平行的话)的公垂线段，也就是两异面直线间的距离所以，异面直线上任意两点所连接的向量在公垂线方向上射影的模亦即投影的绝对值就是两异面直线间的距离因为所以 = 表示两异面直线间的距离由于 | ，它们之|BA|/ |u,cos| |BA/间的距离处处相等，所以 u 轴的选取不一定要是公垂线，而只要同时与两异面直线垂直，
19、也就是说 只要与公垂线方向向量共线即可下面看个例子例 5 正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 a，求异面直线 AC 与 BC1 的距离解： 如图，以直线 DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1 为 z 轴，D为原点，建立空间直角坐标系则有 D(0,0,0)、A(a,0,0) 、B(a,a,0) 、C(0,a,0)、C 1(0,a,a)，且 (-a,a,0)， (-a,0,a) ， (0,a,0)设 (x，y，z)，由 =0 =0 ，得 -ax+ay+0z=0 解得 x=y=z (k,k,k)(k0)-ax+0y+az=0 d= = = = 答：异面直线 AC 与 BC1 的距离
20、是 综合题：例 如图，已知正方体 的棱长为 ，求两异面直线 、1ABCDaBD的距离1BC解法一（面面平行法） 如附图，两异面直线 、B间的距离 两平行平面 、面 间的111距离 d,且由三垂线定理知 与这两个平行平面垂直。1AC由平面几何知识易证 被这两平行平面三等分， 3da解法二（公垂线段法） 由上可知，两异面直线 、BD图 2 yzx(D)OCDBCBAA11的公垂线段平行且等于 ，由 这一特殊的比例关系联想到三角形的重心，启发1BC13AC我们去构造重心!故找寻交线 的中点 ，设 ，易证 、BP1,BCMPADNM分别为 和 的重心，由 = = 得 平行且等于 ，则N113N13C即
21、为两异面直线 、 的公垂线段!MD1C思维发散：空间四边形的四个内角中，最多有多少个直角呢? 如附图，在空间四边形中 ，但对于 是否为直角呢？不妨假设CNONO90OCM，则异面直线 、 将有两条公垂线段 、 ，这与公垂线段的90B1N唯一性矛盾！ 直角最多只能有 3 个。解法三（最小值法）：在 上任取点 ，在面 内作 ，再在底面1C1BH内作 ，连 ，设 ，ABCDHNBM,Hx2,axNax则在直角三角形 中，有： ，222133当 ，即点 为 的一个三等分点时， 3ax1BCminda解法四（线面平行、等积法）： / 面 ,则两异面直线 、11ABDB1C间的距离 直线 到面 的距离 点
22、 到面 的距离11AD故可由等积法得： 1B1B13ABDSd13ABSa即 32()346da解法五（垂面法即射影法）： 面 面 面 ，11C11CD由 / 得 面 , 设 ， 在1BCAD1ABCD,AGBKB面 上的射影为 ,过 在面 内作 ,由于 / 面 , 则：GK1KQ11A两异面直线 与 间的距离 直线 到面 的距离 两异面直线 、1111C12间的距离 即为所求！ BDKQ在 中， RtBG236aB解法六（法向量法）：分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标DAC1xyz系，则： 、 、 、0,D,0Ba1,a0,，设两异面直线 、 的法向量为 ， 1C,nxyz nDB0xay 1zzx取 ，则 ，再在 、 上各取一点 、xn,BD1CDC得 ， DC0,an03a解法七（分解定理法）：设 是 、 的公垂线段1xBAyB1上的向量（在空间向量基本定理中不妨取 ）z=n1BC2110xAyCay=Dx则 - + +ynBA11xd= 1n23a解法八（向量法）： 、(,0)DB1,0Ca设 ,(,)NxaNx1311(,0)(,)BMyCayMay则 (Nx22)(1)0Dyx 23x1(BCaay1,)3MN所以 da
