1、2018 届湖南省长沙市长郡中学高三实验班选拔考试数学（文）试题一、选择题1已知集合 ，若 ，则符合条件的集合 的个数为A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】设 为集合 的子集，由题意可得： ，结合自己个数公式可得：符合条件的集合 的个数为 个.本题选择 C 选项.2已知复数 在复平面内对应的点在第三象限，则 在复平面上对应的点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】令 ，由题意可得： ，则 ，结合题意可得： ，即 在复平面上对应的点在 第一象限.本题选择 A 选项.3长郡中学将参加摸底测试的 1200 名学生编号为 1，2， 3，1
2、200，从中抽取一个容量为 50 的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为 50 组，如果第一组中抽出的学生编号为 20，则第四组中抽取的学生编号为A. 68 B. 92 C. 82 D. 170【答案】B【解析】按照系统抽样的方法结合题意可得：第四组中抽取的学生编号为.本题选择 B 选项.4在菱形 中， ，则A. 5 B. 5 C. D. 【答案】B【解析】设 BD 交 AC 于点 E，且 ，由题意可得：.本题选择 B 选项.5已知椭圆 与圆 交于 两点，若四边形（ 为原点）是菱形，则椭圆 的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆的方程即： ，结合对称性可得点 A 的横坐标
3、 ，不妨设点 A 位于第一象限，则 ，代入椭圆方程有： ，整理可得： ，则： .本题选择 B 选项.6 1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘 3 再加 1，如果它是偶数，对它除以 2，这样循环，最终结果都能得到1该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则处应填写的条件及输出的结果 分别为A. 是偶数？；6 B. 是偶数？；8C. 是奇数？； 5 D. 是奇
4、数？； 7【答案】D【解析】阅读考拉兹提出的猜想，结合流程图可得处应填写的条件及输出的结果 分别为： 是奇数？；7.本题选择 D 选项.7已知数列 是等差数列，若 ，且，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得： ，解得： ，则数列的通项公式： .本题选择 A 选项.8已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位所得图象关于点对称，将 的图象向左平移 个单位所得图象关于 轴对称，则 的值不可能是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意集合对称中心可得： ，据此有： ，结合对称轴有： ，据此有： ，据此可得： 的值不可能是 .本题选择 B 选项.9若函数 的图象上存在关于直线 对
5、称的点，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 关于直线 对称的曲线为 ，据此可得，在区间 上，函数 与函数 存在交点，而在实数域上，斜率为 1 的直线与 的切线方程为 ，切点为 ，据此可得实数 的取值范围是本题选择 D 选项.10已知双曲线 与双曲线 ，若以 四个顶点为顶点的四边形的面积为 ，以 四个焦点为顶点的四边形的面积为 ，则 取到最大值时，双曲线 的一条渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得： ，据此有： ，结合均值不等式的结论有：当且仅当 ，即 时， 取得最大值，此时双曲线 的一条渐近线方程为 .本题选择 B 选项.11如图，在
6、四棱锥 中，点 是线段 的中点，点 在线段 上，且 ， 与 交于点 ，则线段 的长度为A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，将原图形补行为一个棱长为 4 的正方体，由空间几何体的几何关系可得：线段 CH 的长度为： .本题选择 C 选项.12已知函数 在 上有两个不同的零点 ，给出下列结论： ； ； 其中错误结论的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由函数的解析式可得 ： ，结合函数的定义域可得存在实数 ，函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，据此可得： ，极值点偏移可得 ，错误结论的个数是 0 个.本题选择 A 选项.二、填空题13已知 是偶函数
7、，则 _【答案】1【解析】函数是偶函数，则： ，即：，解得： .14如图，在边长为 1 的正方形网格中，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的表面积为_【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是一个正四棱柱，其中底面为对角线长度为 ，高为 ，据此可得，该几何体的表面积为： .15不等式组 表示的平面区域为 ，若 ，则 的最小值为_【答案】【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得：函数的最小值为点 与直线 的距离的平方之值，据此可得，最小值为： .16已知等差数列 中公差 ，若 成等比数列，且成等比数列，若对任意 ，恒有 ，则_【答案】1 或 2【解析】设等差数列的公差为
8、，由题意可得： ，即： ，结合 整理可得： ，由 可得： ，数列的通项公式： ，则： ，即数列 是首项为 公比为 的等比数列，则： ，据此可得： ，结合数列 的单调性可得 或 .三、解答题17在 中，角 所对的边分别为 ，且 （）若 的面积 ，求证： ；（）如图，在（）的条件下，若 分别为 的中点，且，求 【答案】()证明见解析；() .【解析】试题分析：()由题意结合余弦定理和均值不等式的结论即可证得题中的结论；()由题意可得关于实数 的方程组，求解方程组可得 .试题解析：（）由 及正弦定理可得 ，即 ，因为 ，所以 ，所以 ，又 ， ，由 可得 在 中，由余弦定理可得 ，所以 （）因为 分
9、别为 的中点，在 中，由余弦定理可得 ，在 中，由余弦定理可得 ，由 可得 ，整理得 ，所以 ，由 可得 18据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为 710 分，每个考生会有个成绩，不再颁发“合格证这也意味着，不再有“及格”一说大学英语四级考试 425 分及以上可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在 550 分及以上可以报考口语如图是某大学数学专业的 40 人 2017 年 7 月英语四级成绩中随机抽取的 8 人成绩的样本茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（）通过这 8 人英语四级成绩估计某大学数学专业英语四级成绩的平均数和中位数；（）在样本数据中，从可以报考大学六级考试的学生中
10、任取两人，求这两人都可以报考口语的概率【答案】()平均数为 500，中位数为 502.5；() .【解析】试题分析：()结合所选的人的成绩可得数学专业英语四级成绩的平均数为 500，中位数为 502.5()列出所有可能的结果，结合古典概型公式可得这两人都可以报考口语的概率是 .试题解析：（）这 8 人英语四级成绩的平均数为（386410450485520564575610）8500，这 8 人英语四级成绩的中位数为（485520）2502.5，则某大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为 500，中位数为 502.5（）设可以报考大学六级考试但不能报考口语的 3 人成绩为 ，可以报考口语的三人成
11、绩为 ，全部情况列举出来为共计 15 种这两人都可以报考口语的情况为 共计 3 种，则这两人都可以报考口语的概率为 19如图所示， 所在的平面与菱形 所在的平面垂直，且，点 为 的中点，点 在线段 上（）若 ，且 ，求 的值；（）在（）的条件下，求三棱锥 的体积【答案】()3；() .【解析】试题分析：()由题意结合几何关系得到线段的比例关系，据此可得 ；()转化顶点可求得三棱锥的体积为 .试题解析：（）取 的中点 ，连接 ，因为四边形 为菱形， ，所以 ，因为 所在的平面与菱形 所在平面垂直，所以 ，因为 ，所以 ，又 ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，由 为 的中点， ，可得 ，所以 ，即 （）由 ，可得 ，由 ，可得点 到 的距离为 ，由菱形 中 ，点 为 的中点，可得 ，且 ，所以 的面积 ，所以三棱锥 的体积 又 ，所以三棱锥 的体积为 20已知抛物线 及点 ，动直线 与抛物线 交于 、 两点，若直线 与 的倾斜角分别为 ，且 （）求抛物线 的方程；（）若 为抛物线 上不与原点 重合的一点，点 是线段 上与点 ， 不重合的任意一点，过点 作 轴的垂线依次交抛物线 和 轴于点 ，求证：【答案】() ；()证明见解析.【解析】试题分析：()联立直线与抛物线的方程，结合直线的斜率关系可得抛物线 的方程为()设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由几何关系即可证得题中的结论成立.
