1、郴州市 2018 届高三第二次教学质量监测试卷文科数学一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 中不等式变形得， ，解得 ，即 ，故选 C. 2. 已知复数满足 ，则的虚部是（ ）A. -1 B. 1 C. D. 【答案】A【解析】由 ，得 ， 的虚部是 ，故选 A.3. 如图是一边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点
2、取自黑色区域的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】正方形面积为 ，正方形的内切圆半径为 ，中间黑色大圆的半径为 ，黑色小圆的半径为 ，所以白色区域的面积为 ，所以黑色区域的面积为 ，在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为 ，故选 C.4. 已知等差数列的前 15 项和 ，则 （ ）A. 7 B. 15 C. 6 D. 8【答案】C【解析】 设等差数列的等差为 前 项的和 ， ，可得，则 ，故选 C.5. 已知双曲线 的一个焦点在直线 上，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意,双曲线的方程为 ，则其焦点在 x 轴上，直线
3、与 x 轴交点的坐标为 ，则双曲线的焦点坐标为 ，则有 ，解可得， ，则双曲线的方程为： ，其渐近线方程为： ，故选：B.6. 函数 (其中 ， )的部分图象如图所示,将函数 的图象（ ）可得的图象A. 向右平移 个长度单位 B. 向左平移 个长度单位C. 向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位【答案】D【解析】由函数 的部分图象知， ， ，解得 ，由五点法画图知， ，解得 ，又 将函数 的图象向右平移 个单位，可得 的图象，故选 D.7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，它的组成是一个圆
4、柱截去四分之一，再补上以直角边长为 的等腰三角形为底面，圆柱上底面圆心为顶点的三棱锥，故体积为，故选 C.8. 若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A. 5 B. 4 C. D. 【答案】D【解析】画出 表示的可行域如图，由 ，可得 ，平行直线 ，由图可知，当直线 经过点 时，直线在 轴上截距最小，此时也最小，最小值为 ，故选 D.9. 函数 的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以 ，函数在 上是增函数， 上是减函数，故 C,D 选项错误，又 ，故选 A.10. 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的
5、多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 的值为 3，每次输入的值均为 4,输出的值为 484，则输入 的值为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】C【解析】由程序框图，得 ；，结束循环，即输入 的值为 4.故选 C.11. 已知函数 ，其中是自然对数的底数.则关于 的不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 ，其中是自然对数的底数，由指数函数的性质可得 是递增函数， 是奇函数，那么不等式 ，等价于，等价于 ，解得 ，等式 的解集为 ，故选 B.12. 设椭圆 ( )的一个焦点
6、 点 为椭圆 内一点,若椭圆 上存在一点 ，使得，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为 ，则 ，即 ， ，即 ，即 ，椭圆 的离心率的取值范围是 ，故选 A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆定与性质求椭圆的离心率，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用椭圆的定义以及三角
7、形两边与第三边的关系构造出关于的不等式，最后解出的范围.第卷（共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上.13. 在等腰直角三角形 中， 为斜边 的中点，且 ， 为 的中点，则_【答案】-2【解析】以 为原点， 为 轴， 轴建立坐标系，则 ，故答案为 .14. 在锐角 中，角 、 、 的对边分别为、 、 ，若 ，则角 的值_【答案】【解析】在 中，由 ，整理得 ，即 ， ，为 内角， 或 ，因为 ABC 为锐角三角形， ，故答案为 .【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2）
8、，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15. 如图，在四面体 中， 平面 ， 是边长为 的等边三角形.若 ，则四面体外接球的表面积为_【答案】【解析】取 的中点 ，连结 在四面体 中， 平面 是边长为 的等边三角形，是等腰三角形， 的中心为 ，作 交 的中垂线 于 为外接球的中心， ， ，四面体 外接球的表面积为 ，故答案为 .16. 已知函数 ， ，若 与 的图像上存在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】因为 与 的图像上存在关于直线 对称的点，若 关于直线 对称的直线为，
9、则直线 与 在 上有交点，直线 过定点 ，当直线 经过点 时，则直线斜率 ， ，若直线 与 相切，设切点为 ，则，解得 ， 时直线 与 在 上有交点，即 与 的图象上存在关于直线 对称的点，实数 的取值范围是 ，故答案为 .三、解答题：共 70 分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤，第 22、23 题为选考题， 考生根据要求作答.17. 已知在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列.（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小.【答案】 （） .（）见解析.【解析】试题分析：（）因为 ，所以可根据 ， ， 成等差数列列出关于首公比 的方程，解得 的
10、值，即可得到数列 的通项公式；（）利用（）的结论可得 ，根据分组求和法，利用等差数列求和公式以及等比数列求和公式可得 ，再利用做差法可比较 与 的大小.试题解析：（）设等比数列 的公比为 ， ， ， 成等差数列， ， ， .（）.因为 ，所以【方法点晴】本题主要考查等差数列的求和公式及等比数列的求和公式，以及利用“分组求和法”求数列前 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18. 寒冷的冬天,某
11、高中一组学生来到一大棚蔬菜基地，研究种子发芽与温度控制技术的关系，他们分别记录五组平均温度及种子的发芽数，得到如下数据：平均温度 （ ） 11 10 13 9 12发芽数 （颗） 25 23 30 16 26（）若从五组数据中选取两组数据，求这两组数据平均温度相差不超过 概率；（）求 关于 的线性回归方程 ；（）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问()屮所得的线性回归方程是否可靠?（注： ， ）【答案】 （） ;（） ;（）见解析.【解析】试题分析：（）利用列举法可得五组数据中选取两组数据总事件数为 ，两组数据平均温度相差不超过
12、的事件数为 ，由古典概型概率公式可得结果；（）根据表格中的数据及平均数公式可求出与 的值可得样本中心点的坐标，从而求可得公式 中所需数据，求出 的值，再结合样本中心点的性质可得 的值，进而可得 关于 的回归方程；（）将表格中所给 的值代入回归方程求出的 值与表格中对应 值比较即可的结果.试题解析：（）设 ，则基本事件为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，所以（） ，关于 的线性回归方程（）利用回归方程 得到五组估计数据如图平均温度 11 10 13 9 12发芽数 （颗） 25 23 30 16 26估计发芽数 24 21 30 18 27所以线性回归方程 是可靠的.（注只要验证一两个数据且结
13、论正确可给两分）【方法点晴】本题主要考查古典概型概率公式以及线性回归方程的求法与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 的值；计算回归系数 ；写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图，在长方形 中， ， ，现将 沿 折起，使 折到 的位置且 在面 的射影 恰好在线段 上.（）证明： ；（）求三棱锥 的表面积.【答案】 （）见解析.（） .【解析】试题分析：（）由 平面 ，可得 ，结合 ，可得 平面 ，由此可得 ，又 平面 ；又 平面 ，所以 ；（）在 中，由（）得， ， , ， ，而的面积都可以利用直角三角形面积公式求得，四个三角形面积相加即可得结果.试题解析：（）由题知 平面 ，又 平面 ， ；又 且 ， 平面 ；
