1、第 1 页 共 5 页利用导数、数形 结合讨论二 类方程根的问题导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如 ， +2 方程的根的问题时，我们利用导数这326910x2lnx2x一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。一、有关三次方程根的问题：对 的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根 ，然后转320AxBCxD 0x化为 ，再展开，应用待定系数法即可求出 。
2、再对0abc ,abc求根得解。如 ；但大多数三次方程的根不易猜出，这时我2xc320x们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。例 1、方程 的实根的个数是 （ ）326910x、3 、2 、1 、0ABCD分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性，画出其草图，数形结合分析求解。解：令 = 则 =fx3269xfx2319x= 当 或 时 0 为增函数 1ffx当 时 为减函数 13xfx0f y= = 0 1 3f极 大 值 6 x故 的极大值在 轴的下方，如图 1，即xxfx的图象与 轴只有一个交点，原方程只有一个实根。选 。C（图 1）例
3、2、已知函数 在 上是增函数，在 上是减函数，若323fxb,00,2恰有一解，求实数 的取值范围。16fx分析：此题给出函数的单调区间，求参数 的范围。可通过对函数求导得出其单调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出 的范围。又据 恰有一解，即b16fx第 2 页 共 5 页函数值 对应惟一 值。可先由单调性画出 草图，然后数形结合分析求解。16xfx解： 函数 在 上是增函数，在 上是减函数323fb,00,2由 得 ， xx2,by， 得0b 236fx由题意 0,0,b 2bx即 21又 在 和 上递增，fx,2,在 上递减。如图 2 （图 2）0,b在 的值域为 即 fx,0fb
4、f32,b据图 2 可知，若 恰有一解，只需 得 结合16fx316b二、有关超越方程根的问题：这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与 轴的x交点，则可化难为易。很快得解。例 3、证明方程 +2 有惟一解。2lnx2x分析：这一方程形式比较复杂，观察易知 是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导1x数，解题步骤基本不变，不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求解。证明：移项得： =02ln2xx令 yf0xfx12x2f 0 1 xx022xx0当 即 时 ， ， 为增函数 （图 3）1ffx第 3 页 共 5 页当 即 时， ， 为减函数。10x1x0
5、fxfx如图 3，此时图象与 轴相切。与 轴只有惟一交点f极 小 值 f x故方程 +2 有惟一解 。2lnx2x1x例 4、若关于 的方程 在 上恰好有两个相异的实根，221lna0,2求实数 的取值范围。a分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数判断其单调性，然后画出草图数形结合，根据图象与 轴的交点情况，挖掘出隐x含条件即可得解。解：方程可化为 21ln0xaxy令 f,则 211xfx由 得 ， 得 0 1 200f1xx在 上递增，在 上递减。 （图 4）fx,2,1要使关于 的方程 在 上恰好有两个相异的实22lnxxa,2根，只需 的图象与
6、 轴在 和 上各有一个交点。如图 4f0,所以有： 即012f12ln03a解之得： ln3l通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为这二类方程根的问题） ，我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与 轴的交点情况，x挖掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标。第 4 页 共 5 页练习1、 （本小题满分 14 分）已知函数 .23)ln()xxf（I）求 f(x)在0，1 上的极值；（II）若对任意 成立，求实数 a 的取0)(l|,316 fa不 等 式值范围；（II
7、I ）若关于 x 的方程 在0 ，1上恰有两个不同的实根，求实数 b 的取bxf2)(值范围.解：（I） ，3)1(3)( xf令 （舍去）10xx或得单调递增；)(,0)(,1ff时当当 单调递减. 3 分3xx时上的极大值 5 分1,)(6ln)(在为 函 数 ff（II）由 得03l| xxa， 7 分a2ln23l或设 ，3lln)( xxxh，g2l3l依题意知 上恒成立，31,6)()(xgaxh在或，0)2()2(3)( xg，3612 xxh上单增，要使不等式成立，,)(都 在与g当且仅当 9 分.51lnl)6(3aga或即或（III ）由 0232ln)( bxxbxf第
8、5 页 共 5 页令 ，xxxbxx 329732)(,23)2ln() 则当 上递增；7,0)(,0)(,37,0 在于 是时 当 上递减 11 分1,3)(,)(,1 在于 是时 xxx而 ，)1(37(),037(恰有两个不同实根等价于,02)在即 xbxf0215ln)( 0672)(37l0(bb14 分.3726)l(l 2 （本小题满分 14 分）已知关于 的方程： 有且仅有一个实根，求实数 的取值范x 01223ax a围解： 0a时 ， 不 符 合 题 意 ， 所 以当 上 有 解在 1,032)(axxf 上 有 解在12上 有 解在 ,3xa上 的 值 域 。在问 题 则 转 化 为 求 函 数 1,23xy37,7a即利 用 导 数 易 求 得 123aa或
