1、2018 届湖南省十四校高三第一次联考文科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 1,23A， ,4B，则 AB（ ）A 2B C 1,2D 1,234 2.已知 的始边与 x轴非负半轴重合，终边上存在点 (,)Pa且 sin，则 a（ ）A 1B 1C 2D 2 3.复数 z满足 23ii，则 |z（ ）A 3B C 7D 5 4.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中直角三角形的个数是（ ）A1 B2 C3 D4 5.在区间 2,3上随机取一个数 x，则满足 |1|的
2、概率是（ ）A 5B 5C 5D 5 6.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下 1尺，重 4 斤；在最细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其总重量为 W，则 的值为（ ）A4 B12 C15 D18 7.已知双曲线方程为2105xy，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A 34yB 43xC 32yxD 23yx 8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）A 10B 51C 89D 49 9.已
3、知定义在 R上的奇函数 ()fx满足当 0时， ()2xf，则 ()fx的零点个数是（ ）A2 B3 C4 D5 10.如图，已知边长为 2 的正方体 1ADB，点 E为线段 1C的中点，则直线 AE与平面1BCD所成角的正切值为（ ）A 2B 12C 32D 2 11.已知函数 ()sincos(0)fxx，若 ()fx的两个零点 1x， 2满足 12min|x，则(1)f的值为（ ）A 102B 102C 2D 2 12.已知函数 ()fx是定义在 R上的奇函数，其导函数为 ()fx，若对任意的正实数 x，都有()0xf恒成立，且 ()1f，则使 2成立的实数 的集合为（ ）A ,2(,)
4、B (,)C () D 2 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知矩形 ABD的边 2， 1A，则 BC 14.若实数 x， y满足约束条件,60,xy则目标函数 23zxy的最大值是 15.在 ABC中， a， b， c分别是内角 A， B， C的对边， sinco(s)in0ABAB，则边b16.已知在三棱锥 P中， 90， 2， 的中点为 M且 2P，当该三棱锥体积最大时，它的内切球半径为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等比数列 na满足 12且 35a（1）求
5、n的通项公式；（2）设 b，求 nb的前 项和 nS18.已知某班的 50 名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：时间长（小时） 0,5),10),15),20),5女生人数 4 11 3 2 0男生人数 3 17 6 3 1（1）求这 50 名学生本周使用手机的平均时间长；（2）时间长为 0,5)的 7 名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；（3）若时间长为 1被认定“不依赖手机” ， 10,25被认定“依赖手机” ，根据以上数据完成 2列联表：不依赖手机 依赖手机 总计女生男生总计能否在犯错概率不超过 0.15 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？2
6、0()PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.00102.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：22()(nadbc， nabcd）19.在四棱锥 PABCD中， /， 4CDAB， 60C， PAD是一个边长为 2 的等边三角形，且平面 平面 ， M为 P的中点（1）求证： /BM平面 PAD；（2）求点 到平面 的距离20.在平面直角坐标系中，动点 (,)xy（ 0）到点 (1,)F的距离与到 y轴的距离之差为 1（1）求点 的轨迹 C的方程；（2）若 (4,2)Q，过点 (4,0)N作任意一条直线交
7、曲线 C于 A， B两点，试证明 QABk是一个定值21.已知函数 321fxax（ a为实数） （1）当 ()与 y切于 0(,)Af，求 ， 0x的值；（2）设 xFxfe，如果 1F在 (,)上恒成立，求 a的范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程以原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的极坐标方程为： 4sin，在平面直角坐标系 xOy中，直线 l的方程为21,xty（ 为参数） （1）求曲线 C和直线 l的直角坐标方程；（2）已知直线 交曲线 于 A， B两点，求 ， 两点的距离23
8、.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()|2|1|fxx（1）求证： 3；（2）求不等式 2()fx的解集2018 届高三 A十四校联考第一次考试数学（文科）试卷答案一、选择题1-5: ABD 6-10:CB 11、12： C二、填空题13.4 14. 2 15.1 16.26三、解答题17.解：（1）因为 1a且 235a，所以 q，从而 2n（2）由（1）得 nnb， 23()(123)nnS n2(1)(1)(1)2()2nn18.解：（1） (.57.8.597.5)90，所以，这 50 名学生本周使用手机的平均时间长为 9 小时 （2）时间长为 ,)的有 7 人，记为 A、 B、 C
9、、 D、 E、 F、 G，其中女生记为 A、 B、 C、 D，从这 7 名学生中随机抽取两名的基本事件有： ,， ,A， ,， ,E， ,F， ,G，,BC， ,D， ,BE， ,F， G， ， ， C， ， ， G， ， ， 共 21 个设事件 M表示恰有一位女生符合要求的事件有：,AE， ,F， ,A， ,BE， ,F， ,B， ,CE， ,F， ,CG， ,DE， ,F， D共 12 个所以恰有一个女生的概率为 24()17PM（3）不依赖手机 依赖手机 总计女生 15 5 20男生 20 10 30总计 35 15 502250(10).397.023K，不能在犯错概率不超过 0.15
10、 的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系19.（1）证明：过 M作 /NCD，交 P于点 N，连接 A，可知 /2N，而 12AB，所以 ，从而四边形 为平行四边形，所以 /ABM，又 N平面 PD， 平面 PAD，所以 /平面 （2）由（1）可知 到平面 的距离等于 B到平面 PAD的距离，设 B到平面 PAD的距离为 h，由 BV， 133PADABDS，解得 3h，故 M到平面 的距离为 20.解：（1） 到定点 (1,0)F的距离与到定直线 1x的距离相等， 的轨迹 C是一个开口向右的抛物线，且 2p， 的轨迹方程为 24yx（2）设过 (,0)N的直线的方程为 4my，联立方程组2
11、4,yxm整理得 2160，设直线 l与抛物线的交点为 1(,)Ay， 2(,)Bx，则有 12y， 126，又21212 83148164QAByymkxm，因此 是一个定值为 21.解：（1） 2()1fxa，由 ()f与 3y切于点 0(,)Afx，则200023,()1,fxax解得 36， 04（2） 2()xFxae， (1e，且 (0)1F当 0时， )xe，可知 在 ,)递增，此时 ()1Fx成立；当 12a时， 2(a，可知 在 20,a递增，在 21(,)a递减，此时1()Fe，不符合条件；当 12a时， 21()()0xFe恒成立，可知 ()Fx在 0,)递减，此时 ()
12、1Fx成立，不符合条件；当 时， ()()xa，可知 ()在 ,)递减，此时 ()成立，不符合条件；当 0a时， 21()()xFea，可知 ()Fx在 0,)递增，此时 ()1Fx成立综上所述， 22.解：（1）由题知，曲线 C化为普通方程为 22()4y，直线 l的直角坐标方程为 10xy（2）由题知，直线 l的参数方程为2,ty（ 为参数） ，代入曲线 C： 22()4xy中，化简，得 2310tt，设 A， B两点所对应的参数分别为 1t， 2，则 12,t所以 21|4t，即 A， B的距离为 423.解：（1）证明： ()|2|1|(2)1|3fxxx（2）,()321,fxx所以 2,1x或 2,3或 21,x解得 3，故解集为 | 2x
