1、笛卡尔与费马姓名：杜仲凯学院：数学学院学号：10420110091596 年 3 月 31 日，在法国都兰城的一个贵族家庭，一个婴儿出生了。他被取名叫勒奈笛卡儿，一个很普通的名字，可是谁也不会预料到，他会伟大到改变整个世界。笛卡尔是伟大的哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。笛卡儿是欧洲近代资产阶级哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父 ”。他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响。同时，他又是一位勇于探索的科学家，他所建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。笛卡儿堪称 17 世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”
2、 。哲学与数学思想对历史的影响是深远的。他对人类历史、对整个社会的进步所起到的作用也是不可估量的。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人。”他自幼体弱多病，但学习很勤奋、又很聪明，喜欢沉思默想。1616 年，20 岁的笛卡尔以最好的成绩获得法学博士学位。为了丰富自己的知识，他决心出外游历，用他自己的话说：“ 去读世界这本大书”。而当兵是当时一种最简便最经济的旅行方式，于是他入了伍。遇上了贝克曼，遂成莫逆之交。这位偶然交上的朋友，对笛卡尔影响很大。用笛卡尔的话说：“ 他，把一个业已离开科学的心灵，带回到最正当、最美好的路上” 。他唤醒了笛
3、卡尔对科学的兴趣。他接受了传统的文化教育，读了古典文学、历史、神学、哲学、法学、医学、数学及其他自然科学。但他对所学的东西颇感失望。因为在他看来教科书中那些微妙的论证，其实不过是模棱两可甚至前后矛盾的理论，只能使他顿生怀疑而无从得到确凿的知识，惟一给他安慰的是数学。在结束学业时他暗下决心：不再死钻书本学问，而要向“世界这本大书”讨教，于是他决定避开战争，远离社交活动频繁的都市，寻找一处适于研究的环境。1628年，他从巴黎移居荷兰，开始了长达 20 年的潜心研究和写作生涯，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著。在荷兰长达 20 年的时间里，他集中精力做了大量的研究工作，在 1634 年写
4、了论世界 ，书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的看法。1641 年出版了行而上学的沉思 ，1644 年又出版了哲学原理等。他的著作在生前就遭到教会指责，死后又被梵蒂冈教皇列为禁书，但这并没有阻止他的思想的传播。笛卡尔的哲学受到了他的同时代人的强烈批判，在一定程度上是因为他们感到其中有循环推理。后来的哲学家指出了他体系中的许多缺陷，今天没有谁会捍卫他的体系。但是一个哲学家的重要性并不完全取决于他的体系的正确性，更重要的是看他的思想更确切地说是别人从他的著作中吸取思想的精华是否具有广泛的影响，基于这一点，笛卡尔无疑是一位重要的人物。也许笛卡尔哲学的最大有趣之处来自他的方法。笛卡尔十分留心
5、被普遍接受的大量错误的概念，决定要达到恢复真理的目的，就须得从零开始做起。因此他开始怀疑一切老师教给他的一切，他的所有最崇高的信仰，所有的常识观念，甚至外部世界的存在，连同他自己的存在总之是一切的一切。所以笛卡尔说：要知道,别人花二十年工夫想出来的东西只要告诉他们两三个字，他们就立刻以为自己在一天之内全都知道了；这种人越聪明，越机灵，就越容易犯错误，越不能发现真理。笛卡尔不仅在哲学领域里开辟了一条新的道路，同时笛卡尔又是一勇于探索的科学家，在物理学、生理学等领域都有值得称道的创见，特别是在数学上他创立了解析几何，从而打开了近代数学的大门，在科学史上具有划时代的意义。在 1637 年他发表了最有
6、名的著作正确思维和发现科学真理的方法论 ，通常简称为方法论 。在方法论中附有三篇论文，在这三篇论文中笛卡尔给出了用自己的方法做出发明的例子。第一篇光学论文中，笛卡尔提出了光的折射定律。他的第二篇论文第一次用现代的观点来探索气象，讨论了云雨风，正确解释了彩虹的形成原因。在第三篇论文中，笛卡尔介绍了他所有的贡献中最重要的解析几何。这是一项重大的数学进展，为牛顿发明微分开辟了道路。笛卡尔的主要数学成果集中在他的“几何学”中。当时，代数还是一门比较新的科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。笛卡尔站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何
7、学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学” 。笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学” 。1637 年，笛卡尔发表了几何学 ，创立了直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。他进而又创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何
8、性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡尔的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。最为可贵的是，笛卡尔用运动的观点，把曲线看成点的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应关系，而且把形（包括点、线、面）和“数”两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方程的对应关系。这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折-由常量数学进入变量数学的时期。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了
9、变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。笛卡尔的这些成就，为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。这本几何学是在荷兰完成的。笛卡尔的著作几乎全是在荷兰写的。他的几何学是数学史上划时代的著作，还有哲学史上著名的方法记 。 几何学一书称志着解析几何学的诞生，而方法论作为自传体散文在法国文学史上享有盛誉。笛卡尔提倡科学研究，认为把它应用于实践会有益于社会。他觉得科学家应避免使用模糊不清的概念，应该努力用数学方程来描述世界。所有这些听起来倒很合乎现代要求，但是笛卡尔虽然自己也亲自做观察实验，但是却从未强调过实验在科学方法中的极其重要性。他想回国安居，但
10、反对他的人，特别是教会万般阻挠。瑞典女王邀请他去讲哲学，笛卡尔希望借助她的力量宣传自己的学说，同意前往。岂料斯德哥尔摩 1649 年那冬天奇冷，女王又偏偏要在清晨五点上课。对有晚起习惯的笛卡尔无疑是难以忍受的摧残。1650 年 2月 1 日着凉感冒，随即转成肺炎，于 2 月 11 日不治身死。但是历史不会忘掉推动过它前进的人，笛卡尔哲学影响日益深远。他的演绎法在科学研究中被广泛应用，他创立的解析几何学拉开了高等数学这个大舞台的序幕。1667 年，他的遗体运回国内，1799 年，遗骸陈放于历史博物馆。而 17 世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1
11、601 1665)。费马在丢番图著书的边缘，写下一条注记，说他发现某种方程（其中大于 2）没有整数解；但是边缘太窄写不下他的简单的证明。与笛卡尔相比，费马好像从来沒有像笛卡儿那样，被那些关于作为一个整体的上帝、人以及宇宙的富有魅力的哲学说教所诱惑；所以，费马在微积分和解析几何中发挥了他的作用，并且为了生计而始终过着勤勉而安逸的生活之外，仍然自由自在地把他剩余的精力奉献于他最喜爱的娱乐 纯数学，以及完成他最伟大的工作数论基础，對此，他有着无可争议的独占鳌头、永垂青史的权利。费马是一個天生的发明者。就他所从事的科学和数学而论，严格说來，他也是一个业余学者。17 世纪法国，政治上的风险不亚于鼠疫的风
12、险，作为文官的费马必须小心翼翼避开无孔不入的政治阴谋的旋涡，避开议会中的权力斗争，他把自己的主要精力都献给了数学。也就是说，费马是一个彻头彻尾的业余数学爱好者，有人称之为“业余数学家之王” 。不过他太出色，很长时间里大家都不好意思把他归入业余的行列。毫无疑问，在科学史上，即使他不是真正第一名业余学者，也是第一流的业余学者之一。不但业余，费马还由于他的孤僻性格，而在多年的数学研究中，极少他人交流研究成果。他是个沉默的天才，硕果累累却不追求发表以求成名，哪怕别人一再鼓励，费马仍然固执地拒绝公布他的许多证明。有时他恶作剧地发布结论而不提供证明，那些才华有限的数学家恼羞成怒地斥责其撒谎。不过也有例外，
13、他和帕斯卡曾热烈通信讨论概率问题，这在当时是一门全新的学科。费马是一个真正的隐士，与帕斯卡和梅森的信件是他与数学界的唯一联系。很多费马得到的结轮没有找到证明，在他去逝后一百多年才由后人完成，以至于高斯强烈怀疑他是猜的。费马有一种特殊令人沮丧的习惯，就是他不发表著作，而是在书的边缘上写下一些草率的注记或者偶尔把他的发现写信告诉他的朋友。结果他失掉了发现解析几何的优先权。他和笛卡儿各自独立地发现了解析几何，事实上，笛卡儿的形式分析只涉及到二维的情形，而费马还考虑了三维的情形。费马也丢掉了发明微积分的某些特性的优先权，这些特性后来启发了牛顿发明了微积分。 （然而，他可能并不在乎。他从事数学研究主要是
14、出于自己的兴趣和取得的成就。 ）不过，他极少公开发表论文、著作，主要通过与友人通信透露他的思想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，一般页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅虽然他只能利用工作之余的闲暇时间研究数学，但他对数论和微积分的研究都做出了第一流的贡献。他还同帕斯卡一同开创了概率论的研究工作，他和笛卡尔也都是解析几何的发明者。费马系统研究了古希腊丢番图所著的算术 ，在此基础上进行更深入的扩展研究，提出新的定理加以证明。但他常常只
15、是草草在页边空白除写下简单几笔，尽管有时不太详细，却记录了费马非凡的数论才华与成就。这些成就包括著名的证明所有的素数都可以分成两类 4n+1 与 4n-1 两类的素数定理，这个描述简单的定理在费马去世近一百年的 1749 年才被欧拉解决。再比如说他发现了一对新的亲和数。给费马生前赢得最大声望的是他声称自己证明了 26 是唯一的夹在一个平方数和一个立方数之间的数，当时的数学界的其他人找不到有效的证明，只好向得意洋洋的费马认输。但最终使费马获得最高声誉的，是费马大定理，在研究算术中涉及毕达哥拉斯定理的问题与解答时，费马在页边写下了一个使自己名垂千古的结论：相反地，把一個立方分成兩個立方，把一個四次
16、方分成兩個四次方，或者，一般地，把任意一個大於二次的乘方分成同次的兩個乘方，是不可能的。我發現了(關於這個一般性定理的) 確實奇妙的證明，可是，這個邊頁空 白要容納下它顯得大窄了。“(費馬全集) 第三卷第 241 頁。 )這就是著名的大定理，他大約是在 1637 年發現的。用現代語言重新敘述如下：丟番圖問題就是尋求整數或分數 X,Y,a,使，X2+Y2=Z2 ；費馬斷定，不存在這樣的整數或分數使 X3+Y3=a3 或， X4+Y4=a4，或一般地 Xn+Yn=an，其中 n 是大於 2 的整數。可气的是，结论之后又是一句典型的费马式恶作剧的话：我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，
17、写不下。三百多年来，费马评注或涉及的定理一个个被数学家们证明，惟有费马大定理固执地拒绝被征服，成为数学史中最令人费解的谜题。关键是费马声称他已找到了证明，这犹如是对世界发出的一个挑战：我已经证明了这个大定理，有没有数学家能和我的智慧相媲美？三百多年后的 1995 年，英国数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，结束了一代又一代的卓越数学家们的噩梦与困惑，整个数学界犹如长吁了一口气，庆幸人类总算在文明走到终点之前击败了费马的挑战。但是，怀尔斯的证明论文长达 130 页，其中利用了虚数理论、椭圆曲线、模形式等等费马时代闻所未闻的数学理论，显然怀尔斯的证明和费马那个“页边空白太小写不下”的证明（如果他真的
18、有那么一个证明的话）是不同的。那么那个神秘的页边评注，究竟是来自费马这个天才难得的迷惑瞬间所产生的错觉 也许他的证明和许多后代的失败者一样有着不易察觉的缺陷？还是真的意味着确实还存在一个只有费马才知道的简洁而严密的美妙证明呢？如果真的是后者，那么此时费马一定在另一个世界里冷笑，因为他知道他还没有输掉他向全世界发出的挑战。2011 年 8 月 17 日，GOOGLE 的 LOGO 又更新了，这次的比较有意思， LOGO 的标签上写着：“我发现了一个美妙的关于这个定理的证法 ，可惜这里 doodle 地方太小，写不下。 ”这次谷歌（GOOGLE）的 LOGO 是纪念业余数学家之王 皮耶德费马的诞辰410 周年。其实 LOGO 里的标签是揶揄他说的那句话：“我确信已找到了一个极佳的证明，但书的空白太窄，写不下”。笛卡尔和费马，两个巨人，两个大家，他们对解析几何和现代科学的成就必将载入史册，让一代又一代的人顶礼膜拜。
