1、湖南省五市十校教研教改共同体 2018 届高三 12 月联考数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，选 A.2. 已知是虚数单位，复数满足 ，则的虚部是（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】A【解析】 ，所以的虚部是 1，选 A.3. 已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ，因此 ，选 D.4. 世界数学名题“ 问题”：任取一个自然数，如果
2、它是偶数，我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 3 再加上 1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为 1.现根据此问题设计一个程序框图如图所示.执行该程序框图，输入的 ，则输出 （ ）A. 3 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】根据循环得 ，结束循环，输出 6，选 C.5. 已知 是等比数列 的前 项和， 成等差数列，若 ，则 为（ ）A. 3 B. 6 C. 8 D. 9【答案】B【解析】由题意得，所以 ，选 B.6. 若实数 满足不等式组 ，若目标函数 的最大值为 1，则实
3、数的值是（ ）A. B. 1 C. D. 3【答案】B【解析】作可行域如图，则直线 过点 B 时， z 取得最大值， ，选 B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 图一是美丽的“勾股树” ，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第 1 代“勾股树” ，重复图二的作法，得到图三为第 2 代“勾股树” ，以此类推，已知最大的正方形面积为 1，则第 代“勾股树 ”所
4、有正方形的面积的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】最大的正方形面积为 1，当 n=1 时，由勾股定理知正方形面积的和为 2，依次类推，可得所有正方形面积的和为 ，选 D.8. 设双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线 上， 是坐标原点，若四边行为平行四边形，且四边形 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】设 ，因为 OFMN 为平行四边形，所以 ，因为 OFMN 的面积为 bc，所以，选 C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不
5、等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9. 将余弦函数 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.若关于 的方程 在 内有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得，若关于 的方程 在 内有两个不同的解，根据图像知 ，选 A.10. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】几何体如图： 为外接球的球心，表面积为 ，
6、选 B.点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，且 ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 求解11. 定义在实数集 上的函数 ，满足 ，当 时， ，则函数的零点个数为（ ）A. 31 B. 32 C. 63 D. 64【答案】B【解析】由题意得 是偶函数且关于 x=2 对称，周期为 4；当 时，作 图，可得交点有 32 个，所以选 B点睛：(1)图象法求函数零点个数的关键是正确画
7、出函数的图象在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间 a， b上是否有 f(a)f(b)0，还需考虑函数的单调性12. 在 中， ， ，点 是 所在平面内一点，则当 取得最小值时， （ ）A. B. C. D. 24【答案】D【解析】以 C 为坐标原点，直线 CB,CA 分别为 x,y 轴建立直角坐标系，则 ，设 当 时 取得最小值， ，选 D.点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的
8、取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为_【答案】4【解析】 ，所以展开式中 的系数为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数.14. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面.若 ，则 ；如
9、果 ，则 ；若 ，且 ，则 ；若 不平行，则 与 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是_【答案】【解析】若 ，则 与 位置关系不确定；，则 存在直线 l 与 平行，因为 所以 ，则 ；若 ，且 ，则 可异面；逆否命题为：若 与 垂直于同一平面，则 平行，为真命题，所以 正确15. 过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 两点（其中 点在第一象限） ，若 ，则直线的斜率为_【答案】【解析】设倾斜角为，则16. 设数列 的前 项积是 ，且 ， .若 ，则数列 的前项和 为_【答案】【解析】 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知向量
10、 ，且函数 .（1）若 ，求 的值；（2）在 中， 且 ，求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积为零得 ，再根据正切二倍角公式求 的值；（2）先由 ，得 ，再由余弦定理得 ，最后根据基本不等式得 ，根据三角形面积公式可得 面积的最大值.试题解析：（1）由题意知， ， ， .（2）由题意知， ， ，又 ， .在 中， . ，当且仅当 时“ ”成立，故 的面积的最大值为 .18. 如图，四边形 与 均为菱形， ，且 .（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得 ，
11、设 与 相交于点 ，由等腰三角形性质得 ,再根据线面垂直判定定理得 平面 ；（2）先证明 平面 ，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面法向量。利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系确定直线 与平面 所成角的正弦值.试题解析：（1）设 与 相交于点 ，连接 ，四边形 为菱形， ，且 为 中点， ， ,又 ， 平面 .（2）连接 ，四边形 为菱形，且 ， 为等边三角形， 为 中点， ，又 ， 平面 . 两两垂直，建立空间直角坐标系 ，如图所示，设 ，四边形 为菱形， ， . 为等边三角形， . ， .设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 . 设直线 与平面
12、所成角为，则 .19. “一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说， “一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念. 而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇.为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务.某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略. 在某月中随机抽取甲、乙两个景点 10 天的游客数，统计得到茎叶图如下：（1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率.今从这段时
13、期内任取 4 天，记其中游客数超过 130 人的天数为，求概率 ；（2）现从上图 20 天的数据中任取 2 天的数据（甲、乙两景点中各取 1 天） ，记其中游客数不低于 125 且不高于 135 人的天数为 ，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1） ；（2）分布列见解析；期望为 【解析】试题分析：（1）事件为 4 次独立重复实验，随机变量服从二项分布，先求每次事件概率，再根据二项分布概率公式求出 ；（2）先确定随机变量取法 0、1、2，再根据古典概型概率求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望试题解析：（1）由题意知，景点甲的每一天的游客数超过 130 人的概率为 .任取 4
14、天，即是进行了 4 次独立重复试验，其中有次发生， 则随机变量服从二项分布 ，.（2）从图中看出，景点甲的数据中符合条件的只有 1 天，景点乙的数据中符合条件的有 4 天，所以在景点甲中被选出的概率为 ，在景点乙中被选出的概率为 .由题意知 的所有可能的取值为 0、1、2，则 ； ；. 的分布列为 .20. 已知椭圆 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆 的长轴长为直径的圆与直线 相切.（1）求椭圆 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于 轴的动直线与椭圆 相交于 两点，探究在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，试求出定值和点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2 ）定点为 .【解析】试题分析：（1）由椭圆几何意义得 ，再根据圆心到切线距离等于半径得 ，解得， （2）先根据向量数量积化简 ，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代人化简得，最后根据 k 的任意性确定点 的坐标及定值试题解析：（1）由题意知， ，解得 ，则椭圆 的方程为 .（2）当直线的斜率存在时，设直线 ,联立 ，得 ， .假设 轴上存在定点 ，使得 为定值，.
