1、湖南师大附中 2018 届高三上学期月考试卷（三） （11 月）理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选 A.2. 已知集合 , ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 中 ，得到 ，即 ， ；由 中 ，得到 ，则，故选 C.3. 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？” ，已知“日减功迟”的具体
2、含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）A. 日 B. 日 C. 日 D. 日【答案】C【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列， ， ， ，设其公差为 ，则，故选 C.4. 已知函数 （为自然对数的底数）的图象与直线 、 轴围成的区域为 ，直线 、与 轴、 轴围成的区域为 ，在区域 内任取一点，则该点落在区域 内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】直线 、 与 轴、 轴围成的区域为 的面积为， ，函数 （为自然对数的底数）的图象与直线 、 轴围成的区域为 为 ，由几何概型概率公式可得在区域 内任取一点，则该点落在区域 内的概率为 ，故选 C.5. 若双
3、曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意，双曲线的方程为： ，则分两种情况讨论： 当双曲线的焦点在 轴，则有，解可得 ，此时渐近线的方程为 ，又由题意可得： ，解可得： ；当双曲线的焦点在 上，则有 ，解可得 ，此时渐近线的方程解为 ，又由题意可得：，解可得 ，不合题意，舍去，综上可得 ，故选 B.6. 执行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则判断框中填入的条件可以是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】该程序框图表示的是 ，若输出的 的值为 ，即输出 ，判断框中填入的条件可以是 ，故选 B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的
4、循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 已知 ，若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D8. 已知函数 满足 和 都是偶函数，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C9. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是 （ ）A. B
5、. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的三棱锥 ，依题意有， ， ， ， ， ，故选 A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10. 已知 ，给出下列四个命题：（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答
6、案】D【解析】不等式组 的可行域如图， 点， ，故 ，为假命题； 点， ， 故 为假命题， 为真命题； 点， ，故 为真命题，可得选项 正确，综上，正确的命题是 ，故选 D. 11. 已知 为抛物线 ： 的焦点，过 的直线与 相交于 、 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，垂足为 ，若 ，则 的长为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知得 ，设直线的方程为 ，并与 联立得 ，设，则 ， ， ，又，解得 ，线段 的垂直平分线为 ，令，得 ，从而 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于难题. 解决过抛物线焦点的弦长有关的问题时，求往往考虑将韦达定理与抛
7、物线定义相结合，同时注意两个转化的灵活运用：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短” ，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.12. 已知函数 ， ，其中为自然对数的底数，若存在实数 ，使成立，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，令 ，则 ，知 在 上是减函数，在 上是增函数，所以 ，又所以 ，当且仅当 即 .点睛：已知函数有零点（方程有解）求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决
8、；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，且 ，则向量与向量 的夹角是_【答案】【解析】 ， ，又的夹角为 ，故答案为 .【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题 .平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.14. 已知 ，则 的值为_【答案】【解析】
9、，故答案为 .15. 如图，圆锥的高 ，底面 的直径 ， 是圆上一点，且 ， 为 的中点，则直线 和平面 所成角的余弦值为_【答案】【解析】设点 到平面 的距离为 ,设直线 和平面 所成角为 ，则由等体积法有： ，即 ， , ，于是 ，故答案为 .16. 设函数 数列 是公比大于 的等比数列，且 ，若 ，则 _【答案】【解析】若 ，则 ，则 ，故 ，对任意 成立，又 是公比大于零的等比数列，且 ，故 ，故 ， ，若 ，则，则 ， ，则 ，无解，故答案为.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 、 、 的对边依次为、 、，满
10、足 .（）求角 的大小；（）若 的周长为 ，求 的内切圆面积 的最大值.【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（）由 ，利用正弦定理可得 ，再根据二倍角公式及两角和的正弦公式进行化简，可得 ,，从而可求角 的大小；（）设 的内切圆半径为 ,即可求面积，根据面积相等及余弦定理，结合基本不等式可求出内切圆半径的最大值，从而可得内切圆面积 的最大值.试题解析：（）因为 ,即 ,而 ,则 ,又 ,所以 .（）令 的内切圆半径为 ,有 ,则 ,由余弦定理得 ,化简得 ,而 ,故 ,解得 或 .若 ,则 至少有一个不小于 3,这与 的周长为 3 矛盾;若 ,则当 时, 取最大值 .综上,知 的内切圆
11、最大面积值为 .【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18. 如图，四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为正三角形，且平面 平面， 为中点， .（）求证：平面 平面 ；（）若二面角 的平面角大小满足 ，求四棱锥 的体积.【答案】 （）证明见解析；（） .【解析】试题分析：（）由正三
12、角形性质可得 ，再利用面面垂直的性质定理得 平面 ，从而 ，则 ，由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得 平面 ；（）建立空间直角坐标系 ，令 ，求出平面 的法向量以及平面 的法向量，根据二面角的平面角大余弦值列方程求出 ，利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（）取 中点为 ， 中点为 ，由侧面 为正三角形，且平面 平面 知 平面 ，故 ，又 ，则 平面 ，所以 ，又 ，则 ，又 是 中点，则 ，由线面垂直的判定定理知 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 .（）如图所示，建立空间直角坐标系 ，令 ，则 .由（）知 为平面 的法向量，令 为平面 的法向量，由于 均与 垂直，故 即 解得故
13、 ，由 ，解得 .故四棱锥 的体积 .【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 一只袋中放入了大小一样的红色球 个，白色球 个，黑色球 个.（）从袋中随机取出（一次性） 个球，求这 个球为异色球的概率；（）若从袋中随机取出（一次性） 个球，其中红色球、白色、黑色球
14、的个数分别为、 、，令随机变量表示、 、的最大值，求的分布列和数学期望.【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（）取出两个球是同一颜色的种数为 ，由此利用对立事件概率计算公式能求出取两个球颜色不同的概率；（）由已知的可能取值为 ，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望.试题解析：（）设事件 表示“从袋中随机取出（一次性）2 个球，求这 2 个球为异色球” ，则 .（）的可能取值为 1,2,3.则的分布列为于是， .20. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为 .（）求椭圆 的方程；（）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 、 ，当动点 在定直线 上运动时，直线 分别交椭圆于两点 、 ，求四边形 面积的最大值.【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（） 离心率为 ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为 ，结合,列方程组求得 的值，即可求出椭圆 的方程；（）点 ，直线 的方程代入椭圆方程 ，得 ，利用韦达定理解出 点坐标，同理可求得 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为的函数，利用换元法结合函数单调性求解即可.
