1、2018 届湖北省荆州中学高三上学期第四次半月考（11 月）数学理一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. （1）若 2zi( 为虚数单位 )，复数 z的共轭复数 z在复平面内对应的点在（ ）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限（2）设集合 20x， 12Bx，则 AB（ ）A B C D 12x（3）要得到函数 xy2sin的图象，只需将函数 )3sin(y的图象（ ）A 向左平移 6个单位 B向右平移 个单位C向左平移 3个单位 D向右平移 6个单位（4）设 nml,为三条不同的直线， 为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）若 ，则 l与 相交；
2、若 ， nlmlnm则 l；若 l| ， | ， ，则 n； 若 l| ， ， ，则 | .A 1 B 2 C 3 D 4（5）在 C 中， 4A， ，则“ A”是“ 3B”的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件（6）若实数 ,xy满足条件01xy，则 3xy的最大值为（ ）A. B. 5 C. 4 D. （7）设函数 ()yfx可导， ()yfx的图象如图 1 所示，则导函数 ()yfx的图像可能为（ ）（8）已知等比数列 na，且 426801axd，则 84682aa的值为（ ）A 216 B 2 C D （9）函数 ()yfx为 R上的偶
3、函数，函数 ()ygx为 R上的奇函数， ()2)fxg， (04f,则()g可以是（ ）A 4tan8 B 4sin2x C 4sin D 4sin（10）已知函数 30fxiwco在 ,上有且只有三个零点，则实数 w的取值范围为（ ）A 34,0( B 7,( C. 1,( D 31,(（11）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 xy最大值为( )A 32 B 64 C 327 D 647（12）已知函数 )12()(xkxef，若 是函数 )(xf唯一一个极值点，则实数 k的取值范围为（ ）A ,(e B , C 0,e D ,01,e二、填空题：本题共 4 小题，
4、每小题 5 分，共 20 分。（13）已知 1tan2，且 3,2，则 cos2 _（14）已知单位向量 12,e的夹角为 3， 12ae，则 a在 1e上的投影是 （15）设等差数列 na满足 3,0,1mmSS，则 的值为 .xyO图 1xyOAxyOBxyOCyODx（16）如图所示，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的正方形 ABCD的中心为 O. E， F，G， H为圆 O上的点 EAB， FC， GD， HA分别是以 ， ， ， 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 ， ， ， 为折痕折起 E，FBC， D， ，使得 ， ， ， 重合，得到四棱锥.当正方形 的边长
5、变化时，所得四棱锥体积（单位： 3cm）的最大值为_.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程。（17） AB中，角 ,C的对边分别为 ,abc，2coscos0Cab.（）求角 的大小；（）若 b， 23，求 ABC的面积.（18）已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 1345,aS.（）求数列 n的通项公式；（）令 1()nb，求数列 nb的前 2项和 2nT（19）如图，四棱锥 PABCD中，底面 AB是边长为 的菱形，60ABC， ， 2（）求证：平面 平面 ；（）若 P，求二面角 AP的余弦值.（20）已知点 为圆 2(1)8xy的圆心， 是圆上的动点，点Q在圆的半径
6、C上，且有点 (,0)和 上的点 M，满足 0QAP， 2AM.（）当点 P在圆上运动时，求点 Q的轨迹方程；（）若斜率为 k的直线 l与圆 21xy相切，与（1）中所求点 的轨迹交于不同的两点 ,FH,O是坐标原点，且 3445OFH时，求 k的取值范围.（21）已知函数 23xfea， R（）若函数 y的图象在 0处的切线与 x轴平行，求 a的值；PAD CB（）若 0x， f恒成立，求 a的取值范围选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。（22）已知曲线2cos:3inxCy（ 为参数）和定点 (0,3)A， 1F、 2是此曲线的左、右焦点，以原点 O为 极点，以 轴的正
7、半轴为极轴建立极坐标系（）求直线 2AF的极坐标方程；（）经过点 1且与直线 2垂直的直线交此圆锥曲线于 M、 N两点，求 11|FN的值（23） 已知函数 ()|1|fxmx.（）当 5时，求不等式 ()2f的解集；（）若函数 23yx与函数 yfx的图象恒有公共点，求实数 m的取值范围. 理科数学参考答案一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）二填空题：本题共4小题，每小题5分。13 14. 15. 5 16. 233516三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（1） ， 2coscos0CaAb由正弦定理可得 2 分inicosin0CAB，即inB2又
8、， ， ，即 . 6 分018Bsi012（2）由余弦定理可得 ， 9 分223cos04aaa又 ， ， ， 的面积为 .12 分ain3ABCSbABC318（）设等差数列 的公差为 ，由 可得 ，- 2 分nad345S1235aa即 ，所以 ，解得 - 4 分253(1)d题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D B D C B B D A D C B C- 6 分1()21nan（）由（）可得： .- 7 分1 12()(4)n nb2 212243)()4()1nnT - 9 分222413()( - 12 分21)(4184nn19.解：（1）取 中点
9、，连接 、 、 ，ABOACPO四边形 是边长为 的菱形， CD22B ， 是等边三角形60 ， 2 分O3 ， P12 ， 4 分22PCO ， 平面 ABAB 平面 ，平面 平面 5 分CDD（2） ， 2221()OPA由（1）知，平面 平面 ， 平面 ，B直线 两两垂直以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，,POxyz则 (0)(,0)(,)(3,0)(,20)(,1)ABC 6 分,1设平面 的法向量为 ，C,xyzm由 ，得 ，取 ，得 ， 8 分0P30(1,3)m设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，D(,)xyzn0PCDn02xzy取 ，得 ， 10 分1x(,) ，由图可知二
10、面角 为锐二面角，二面角 的的余27cos,mAAPCD弦值为 12 分 2720.解：（1）由题意知 中线段 的垂直平分线，所以MQAP2CPCC所以点 的轨迹是以点 ， 为焦点，焦距为 2，长轴为 的椭圆，2 分， ， 3 分2a1c21bac故点 的轨迹方程是 4 分xy（2）设直线 ，:lyk12,FHxyOyxzBCDAP直线 与圆 相切 5 分l21xy2211bkk联立 6 分ykxb240x7 分22 216418(1)8kbk08 分2122,xk9 分21211()OFHxyxx 2()4)bkb2224(1)kk10 分21k所以 23445213k为所求. 12 分32
11、k k或21.解：（1） ， 的图象在 处的切线与 轴平行，2xfeayfx0x即在 处的切线的斜率为 0，即 ， 4 分0x21a1a（2）f(x)2(e xxa)，又令 h(x)2(e xxa) ，则 h(x)2(e x1)0，h(x)在0，)上单调递增，且 h(0)2(a1) 5 分当 a1 时，f(x )0 恒成立，即函数 f(x)在0 ，)上单调递增，从而必须满足 f(0)5a 20，解得 a ，又 a1，1a . 8 分5 5 5当 a0，使 h(x0)0 且 x(0 ，x 0)时，h(x)0，即 f(x)0，即 f(x)单调递增f(x) minf(x 0)2e x0( x0a)
12、230，又 h(x0)2(e x0x 0a) 0，从而 2 ex0(e x0)230, 解得 0x0ln 3.由 ex0x 0aax 0e x0，令 M(x)xe x，0xln 3，则 M(x)1e x0，M( x)在(0，ln 3上单调递减，则 M(x)M(ln 3)ln 33，又 M(x)M(0)1，故 ln 33a 1. 11 分综上，ln 33a . 12 分5（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22）解：（1）曲线 C： 可化为 ，其轨迹为椭圆，2cos3inxy2143yx焦点为 和 2
13、 分1,0F21,经过 和 的直线方程为 ，即 ，4 分3A13yx30xy极坐标方程为 . 5 分cosin（2）由（1）知，直线 AF2 的斜率为 ，因为 AF 2，所以 的斜率为 ，倾斜角为 30，所以 的ll l参数方程为 （t 为参数） ， 6 分312xyt代入椭圆 C 的方程中，得 8 分2360tt因为 M，N 在点 F1 的两侧，所以 10 分1123|1MFNt23.解：（1）当 5m时， ， 3 分 5()32xf由 ()2fx得不等式的解集为 . 5 分3x（2）由二次函数 223(1)yx，该函数在 1x取得最小值 2，因为 ，在 x处取得最大值 m， 8 分()fm所以要使二次函数 23yx与函数 ()yf的图象恒有公共点，只需 2，即 4. 10 分
