1、2018 届湖北省荆州中学高三上学期第三次半月考（11 月）数学（理）（解析版）一、选择题.1. 已知复数满足 ，则复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由 ，得 ， 在复平面内对应的点的坐标是 ，故选 D.2. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ， ，所以 ，故选 B.3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】对于 A, ,定义域不相同，不是同一个函数；对于 B, 定义域不相同，不是同一个函数；对于 C, 定义域不相同，不是同一个函数；对于 D,定义域、值域、
2、 对应关系都相同，是同一函数，故选 D.4. 已知平面向量 ，若，则实数 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为平面向量 ， ，解得 ，故选 C.5. 命题“ ”的否定为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由全称命题“ ”的否定为特称命题“ ”可知：命题“ ” 的否定是“ ”，故选 A.6. 已知函数 ，则“ ”是“函数 的最小正周期为”的（ ）A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】 ，当 时，函数的周期 充分性成立，若函数 的最小正周期为， 则 ，解得，必要性不成立，故“ ”是“函数 的最小正周期为
3、”的充分不必要条件，故选 B.7. 已知数列 满足 ，则 （ ）A. 0 B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ， 是周期为的数列，故选 C.8. 已知实数 ，且 ，则 的最小值为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】试题分析：由 ，可得 ，所以 ，则，因为 ， ，则 ，当且仅当即 时，取得等号，所以 ，即 的最小值是，故选 A考点：1、对数运算性质；2、基本不等式9. 已知双曲线 的渐近线与抛物线 的准线分别交于 两点，若抛物线的焦点为，且 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】双曲线 ，双曲线的渐近线方程是 y= x又抛物线 的
4、准线方程是 x=，故 A,B 两点的纵坐标分别是 y= ， ，又 ， ，即 ， ，故选：D10. 已知 均为锐角， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可知 都为钝角，答案为 A点睛： 三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦” ；(3)三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等11. 已知三棱锥 的一条棱长为，其余棱长均为 1，当三棱锥 的体积最大时
5、，它的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】不妨设底面积不变，高最大时体积最大，所以，面 ACD 与面 ABD 垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为 a，其余棱长均为 1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径；经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S= ；故选 A点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且 PA
6、a， PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2 a2 b2 c2求解12. 已知曲线 与 恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 的导数 的导数为 ，设与曲线 相切的切点为 相切的切点为 ，则有公共切线斜率为 ，又 ，即有 ，即为 ，即有 ，则有 ，即为 ，恰好存在两条公切线，即有两解，令 ，则 ，当 时， 递减，当 时， 递增，即有 处 取得极大值，也为最大值，且为 ，由恰好存在两条公切线可得 与 有两个交点，结合函数的图象与单调性可得的范围是 ，故选 D.【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研
7、究函数的单调性、函数的零点以及转化与划归思想，数形结合思想的应用，属于难题.解答方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后，利用数形结合解答：一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题.二、填空题.13. 已知函数 ，则 _【答案】【解析】14. 正方形 中， 、分别是 、 的中点，若 ，且 .则_【答案】【解析】试题分析：设正方形边长为，以为坐标原点建立平面直角坐标系，故 ，解得 .考点：向量运算15. 已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式 _【答案】【解析】两边同除以 ，得： ，整理，得：
8、即 是以 3 为首项，1 为公差的等差数列 .,即 .16. 已知函数 是定义域为的偶函数，当 时， , 若关于的方程有且仅有 6 个不同的实数根，则实数的取值范围是 _【答案】【解析】作出 的函数图象如图所示：令 ，则由图象可得：当 时，方程 只有解；当 或 时，方程 只有解；当时，方程 只有解， ， 或 ， 有解，有解， 或 ，故答案为 .三、解答题.17. 已知函数 .（1）求函数 的最小正周期及其图像对称轴的方程；（2）在锐角三角形 中， 、的对边分别为 .已知，求 的面积.【答案】 （1） ，对称轴 ；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦、余弦的二倍角公式和两角和的正弦公式化简解析式
9、可得，根据余弦函数的性质即可求最小正周期及对称轴方程；（2）由 ，又 A 为锐角，可得 ，由 根据正弦定理可得 ， 从而可得 的面积.试题解析：（1） ， 的最小正周期为， 的图像对称轴的方程为: （2）由（1）知： ，又 A 为锐角， ，由正弦定理 即：， .18. 已知等差数列 的前项和为 ，且满足 .（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析: （1 ）根据已知条件求出 的首项和公差，即可求出数列 的通项公式.（2）将（1）中求得的 代入 ，利用等差数列和分组并 项求和公式即可求出 .试题解析：（）因为 为等差数列，所以（）当 时
10、， ，当 时，点晴：本题考查的是数列中的求通项和数列求和问题.第一问中关键是根据已知条件求出数列 的通项公式 ;第二问中的通项 ，分成两组求和即可，一组是等比数列，一组是与的奇偶有关，采用分组并项求和即可.19. 如图，直角三角形 中， 为线段 上一点，且 ，沿 边上的中线 将 折起到 的位置.（1）求证： ；（2）当平面 平面 时，求二面角 的余弦值. 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得 平面 ，由线面垂直的判断定理可得 .(2)建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得二面角 的余弦值为 试题解析：由已知得 ， .（）证明：取 中点，连接 ，因为 ，
11、且 ，所以 ，所以 . 又因为 ，为 的中点，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .（）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，所以平面 ，所以 两两垂直. 以为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，不妨令 ，得 . 又平面 的一个法向量为 ，所以 ，即二面角 的余弦值为 .20. 荆州市政府为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当的范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/ 千克.根据市场调查，当 时，淡水鱼的市场日供应量千克与市场日需求量千克近似满
12、足关系；.当市场日供应量与市场日需求量相等时的市场价格称为市场平衡价格.（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求其定义域；（2）为使市场平衡价格不高于 10 元/千克，政府补贴至少为每千克多少元？【答案】 （1） （1） ，定义域为 ；（2）至少为每千克 1 元【解析】试题分析：（1）根据市场日供应量与市场日需求量相等，即 得到方程,当根的判别式 时，方程有解，求出解可得函数关系式，然后 ,原题 以及二次根式自变量取值范围得的另一范围,联立得两个不等式组,求出解集可得自变量取值范围即可；（2）根据价格不高于 元，得，解不等式求出的取值范围即可.试题解析：（1）依题设有 ，化简得 ，当判别
13、式 时，可得 ，故所求的函数关系式为 ，函数的定义域为 .（2）为使 ，应有 化简得 ，解得 或 ，由 知 ，从而政府补贴至少为每千克 1 元.21. 已知椭圆 的上、下两个焦点分别为 、 ，过点 与轴垂直的直线交椭圆于、两点， 的面积为 ，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为坐标原点，直线 与轴交于点，与椭圆交于、两个不同的点.若存在实数，使，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】 （）根据题目条件，由椭圆焦点坐标和对称性计算 的面积，建立等式关系，结合关系式，离心率计算公式，问题可得解；（）由题意，可分直线是否过原点，对截距进行分类讨论，再利用椭圆对称性、向量共线、直线与椭圆有交点等性质、条件进行运算即可.试题解析：（）根据已知椭圆的焦距为 ，当 时， ，由题意 的面积为 ，由已知得 ， ， ，椭圆的标准方程为 （）若 ，则 ，由椭圆的对称性得 ，即 ， 能使 成立若 ，由 ，得 ，因为， ，共线，所以 ，解得 设 ， ，由得 ，由已知得 ，即 ，且 ， ，由 ，得 ，即 ， ， ，即 当 时， 不成立， ， ， ，即 ， ，解得 或 综上所述，的取值范围为 22. 已知函数 与 .
