1、2018 届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三 9 月月考数学（文）试题（解析版）学校:_姓名：_班级：_考号：一、选择题（每小题 5 分共 60 分）1. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A. B. C. D. y=x3 y=2x y=x1x y=sin2x【答案】A是奇函数又在定义域上有增有减,所以选 A.y=sin2x2. 若复数 满足 ，则 （ ）(1+2i)z=(1i) |z|=A. B. C. D. 10【答案】C【解析】 ,选 C.z=1i1+2i|z|=|1i1+2i|=|1i|1+2i|=25=1053. 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）A. 所有实
2、数的平方都不是正数 B. 有的实数的平方是正数C. 至少有一个实数的平方是正数 D. 至少有一个实数的平方不是正数【答案】D【解析】命题“实数的平方都是正数”的否定是所有实数的平方不都是正数,即至少有一个实数的平方不是正数，选 D.点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提； (2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或” “且”的否定， “或”的否定为“且” ，且”的否定为“或”.4. 若 满足约束条件 ，则 的最大值是( )x,yxy+10x2y0x+2y20A. B. C. D. 1【答案
3、】C【解析】由约束条件 ，作出可行域如图，x-y+10x-2y0x+2y-20 由 ，得 A（0，1）化目标函数 z=x+y 为 y=x+z，由图可知，当直线 y=x+z 过 A（0，1）时，目标函数有最大值，为 z=1+0=1故选：C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm
4、 3A. B. C. D. 4+23 4+32 6+32【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V 三棱柱 +V 半圆柱 = 223+123=（6+1.5）cm3故答案为：6+1.5点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可6. 定义运算 为执行如图所示的程序框图输出的 值，则 的值为 ( )(sin512)*(cos512)A. B. C. D. 【答案】B【解析】由程序框图可得， S=(sin512)(cos512)=(sin512)(cos512)=12sin56=1
5、4故选 B.7. 已知 ，则 的最小值为 ( )a1,b2,a+b=5A. 4 B. 8 C. 9 D. 6【答案】B【解析】 = ,当且仅当 成立时，等号成立，即 。1a-1+ 9b-2(a1+b2)2 (1a1+9b2)=1210+b2a1+9(a1)b28 b2a1=9(a1)b2 a=32,b=72选 B.8. 若 ，则 （ ）sin2=A. B. C. D. 【答案】C【解析】 所以 ，sin(+4)=sin2=2sincos= 2sincossin2+cos2= 2tan1+tan2=610=35故选 C9. 已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角是( )A. B. C. D. 【答
6、案】D【解析】 ， 即 如图(a+b)2=(ab)2 则 与 的夹角是a故选 D10. 设 的内角 的对边分别是 ， ， ， ，若 是 的中点，则 ( )A,B,C b= 3A. B. C. D. 【答案】B【解析】 A=6或 56（ 舍 ） |CD|=12,选 B.|AD|2= 32+(12)22 312cos6=74|AD|=72点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转
7、化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.11. 若双曲线 的左支与圆 相交于 两点， 的右焦点为 ，且C:x2a2y2b2=1(a,b0) A,B为正三角形，则双曲线 的离心率是( )A. B. C. D. 3【答案】A【解析】设 的左焦点为 由题意得 ，选CA.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何a,b,c a,c性质、点的坐标的范围等.12. 若曲线 上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线 的自公切线，则下列方f(x,y)=0程对应的曲
8、线中存在自公切线的为（ ） ； ； ； .y=x2|x|+1 y=x+1xA. B. C. D. 【答案】B【解析】. ,在 和 处的切线都是 ，故有自公切线；.x=12 x=12 y=34，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线，. 为对勾函数，分别位于一三象限,图象关于原点对称且yx+1x导数为 ，在 递增， 递减，存在平行的切线，不存在自公切线； . y=11x2 (,1),(1,+) (1,0),(0,1)由于 ，即 ，结合图象可得，此曲线没有自公切线，故选 B. |x|+1= 4y2二、填空题（每小题 5 分共 20 分）13. 函数 的最小正周期为_.y=
9、tan(2x+4)【答案】2【解析】由正切函数的周期公式得： T=2故答案为214. 若 f(x) a 是奇函数，则 a_12x1【答案】【解析】f （x）是奇函数， f（x）=-f（-x） ，即 a= -a，所以 12x-1 -12-x-1 2a=12x112x1=2x12x+ 112x=1a=12故答案为15. 设 是圆 上任意一点，定点 ，则 的概率是_P O:x2+y2=2 Q(2,0) |PQ| 2【答案】【解析】由 得 ,因此 的概率是 |PQ|= 2,|OQ|=2,|OP|= 2 OPPQ,POQ=4 |PQ| 2点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使
10、用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率16. 已知函数 ， ， ，记函数 ，则函数 所有零点的和为f(x)=(12)x g(x)=log12x F(x)=h(x)+x5_.【答案】5【解析】 ， ，关于直线 y=x 对称， 可知 h（x）关于直线 y=xf(x)=(12)x g(x)=log12x对称y=x 与 y=5-x，交点为 A（
11、2.5，2.5）y=5-x，与函数 h（x）交点关于 A 对称，x 1+x2=5，函数 F（x）=h（x）+x-5，的零点设 h（x）与 y=5-x 交点问题，可以解决函数 F（x）=h（x）+x-5 零点问题故函数 F（x）=h（x）+x-5 所有零点的和为 5故答案为：5点睛：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题， 与 关于f(x)=(12)x g(x)=log12x直线 y=x 对称，则 关于直线 y=x 对称，利用 y=x 与 y=5-x 的交点，结合图求解即可三、解答题17. 已知递增的等比数列 和等差数列 ，满足 ， 是 和 的等差中项，且an bn a1
12、+a4=18， a2a3=32 b2 a1 a2.（1）求数列 和 的通项公式；b3=a33 an bn（2）若 ，求数列 的前 项和 .cn=1bnbn+1 cn n Sn【答案】(1) , ;(2) .an=2nbn=2n1 Sn= n2n+1【解析】试题分析：（1）利用等差数列等比数列基本公式求通项；（2）利用裂项相消法求和.试题解析：（）由题意知， ，解得 ，设等比数列 的公比为 ， ， ；由a1=2a4=16 an q q=2 an=2n题意知， ，则等差数列 的公差 ,bn d=2.（） ， Cn=1(2n-1)(2n+1)=12( 12n-1- 12n+1).=12(1- 12n
13、+1)= n2n+118. 在如图所示的正方体 中，ABCDA1B1C1D1（1）过点 C 作与面 平行的截面；（2）求证： A1BD AC1面 A1BD（3）若正方体的棱长为 2，求四面体 的体积.A1BC1D【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）由平行的性质即可得解；（2）易证得 ， 即可证明线面垂直；AC1BDAC1A1B（3）由（2）知 ，设垂足为 O,由等积法知 即可求解.AC1面 A1BDAO=233,C1O=433， VA1BC1D=13SA1BDC1O试题解析：(1)见下图(2)证明： 正方体 ， ABCD-A1B1C1D1 CC1面 ABCDC
14、C1BD又有, ,ACBDBD面 ACC1A1AC1面 ACC1A1， BDAC1同理 ,而 , 。AC1A1B BDA1B=BAC1面 A1BD(3)法一（直接计算）由（2）知 ，设垂足为 O,由等积法知AC1面 A1BD AO=233,C1O=433VA1BC1D=13SA1BDC1O=13 34(22)2433=83法二：（间接计算）用正方体体积减去四个角落的体积19. 某班 20 名同学某次数学测试的成绩可绘制成如下茎叶图，由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩.(1)完成频率分布直方图；(2)根据(1)中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩 (同一组中
15、的数据用该组区间的中点值作代表)；x(3)设根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为 ，并假设 ，且 各自取得每一个可能值y a,bnZ|2n7 a,b的机会相等，在(2)的条件下，求概率 .P(yx)【答案】(1)见解析 ;(2) 78 分；（3）0.7.【解析】试题分析：（1）结合茎叶图画出频率分布直方图即可；（2）根据频率分布直方图，求出平均数即可；（3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为 y，得到关于 a 的不等式，求出 a 的范围，从而求出满足条件的概率即可试题解析：(1)频率分布直方图如下：(2) ，x=550.1+650.15+750.3+850.25+950.2=78即全班同学平均成
16、绩可估计为 78 分.(3) ，y=502+603+706+805+904+95+a+b20 =1555+a+b20故 ,因为 a,bnZ|2n7共有 36 种情况，符合 的有（2,2） （2,3） （3,2）三种情况，故 .a+b5 P(a+b5)=1-336=111220. 已知椭圆 经过点 , 的四个顶点构成的四边形面积为 .C:x2a2+y2b2=1(ab0) A(1,32) C 43(1)求椭圆 的方程；C(2) 为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线 ，使其满足：直线 的斜率与直线 的斜率互为E,F AE,AF AE AF相反数；线段 的中点在直线 上，若存在，求出直线 和 的方程
17、；若不存在，请说明理由. EF x=12 AE AF【答案】(1) ;(2) 直线 的方程分别为 ， 或 ， .x24+y23=1 AE,AF y=32x y=32x+3 y=32x+3 y=32x【解析】试题分析：(1)利用条件布列关于 的方程组，解之即可 ;(2) 设直线 的方程为 ，a， b AE y-32=k(x-1)代入 ，得 .利用设而要求法，得到 ，同理x24+y23=1 (3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0 x1=4k2-12k-33+4k2，结合中点坐标公式得结果.x2=4k2+12k-33+4k2试题解析：(1)由已知得 ，1a2+94b2=1ab=23ab0 解得 ，a2=4,b2=3椭圆 的方程 .Cx24+y23=1(2)设直线 的方程为 ，代入 ，得AE y-32=k(x-1) x24+y23=1.(*)(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4k2-12k-3=0设 ， ，且 是方程(*)的根，E(x1,y1) F(x2,y2) x=1 ，x1=4k2-12k-33+4k2用 代替上式中的 ，可得 ，-k k x2=4k2+12k-33+4k2故 中点横坐标为 ，EFx1+x22 =3+4k22 =12解得 ，k=32直线 的方程分别为 ， 或 ， .AE,AF y=32x y=-32x+3 y=-32x+3 y=32x
