1、浙江省诸暨市 2018 届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，那么 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，所以 ，选 A.2. 已知复数满足 (为虚数单位） ，则复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，所以 ，选 B.3. 若 满足约束条件 ，则 的最大值等于（ ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】B【解析】作可行域，则直线 过点(2,0)时取最大值 6，选 B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需
2、要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 或 异面；位置关系不定；位置关系不定；所以选 C.5. 等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】 或 ，得不到 因此“ ”是“ ”的充分不必要条件，选 A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法1
3、定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件6. 如图，已知点 是抛物线 上一点，以 为圆心，为半径的圆与抛物线的准线相切，且与 轴的两个交点的横坐标之积为 5，则此圆的半径为（ ）A. B. 5 C. D. 4【答案】D【解析】由抛物线定义得与 轴的两个交点必有一个为焦点（1，0） ，所以另一个交点为（5，0）. 因此 选 D.点睛：1.凡涉及抛物
4、线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若 为抛物线 上一点，由定义易得 ；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 ，则弦长为 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到7. 已知 都是定义在 上的函数，且 为奇函数， 图象关于直线 对称，则下列四个命题中错误的是（ ）A. 为偶函数 B. 为奇函数C. 函数 图象关于直线 对称 D. 为偶函数【答案】B【解析】因为 ，所以 为偶函数；因为 ，所以函数 图象关于直线 对称；因为 ，所以 为偶函数；因为 不一定与 相等，所以 不一定为奇函数，选 B.8. 已知双曲线的标准方程 ，
5、 为其左右焦点，若 是双曲线右支上的一点，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ，所以 因此 选 A. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9. 已知 的导函数 ，若满足 ，且 ，则 的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以舍去 B;因为 导数为 ，舍 A;因为 导数为 ，满足题意 ;因为 导数为 ，舍 D;综上选 C.10. 已知 ，满足 ，点 为线段 上一
6、动点，若 最小值为 ，则 的面积 （ ）A. 9 B. C. 18 D. 【答案】D【解析】设 则所以 ，所以 从而 的面积 ，选 D. 点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.二、填空题
7、（多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，满,36 分，将答案填在答题纸上）11. 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则公差 _；通项公式 _【答案】 (1). 1 (2). 【解析】因为 ，所以 12. 某几何体的三视图如图所示（单位： )，则该几何体最长的一条棱的长度是_ ；体积为_ .【答案】 (1). (2). . . . . . . .13. 如图是函数 的部分图象，已知函数图象经过点 两点，则_； _【答案】 (1). 2 (2). 【解析】由题意得 因为 因为 ，所以 .14. 已知 ，则 _；则_【答案】 (1). 1 (2). 60【解析】令 得：1=因为 ，所以 点睛：赋
8、值法研究二项式的系数和问题15. 编号为 1,2,3,4 的四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为_【答案】【解析】编号为 1,2,3,4 的四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，共有 种基本事件，其中有两个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（1，2，4，3） ， （1，4，3，2） ， （1，3，2，4） ，（4，2，3，1） ， （3，2，1，4） ， （2，1，3，4） ，共 6 种其中有四个球的编号与盒子的编号相同基本事件有（4，3，2，1）因此至多有一个
9、球的编号与盒子的编号相同的概率为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.16. 已知 都是正数，且 ，则 的最小值等于_【答案】【解析】因为 ，所以 因此 当且仅当 时取等号，因此 的最小值等于点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(
10、不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.17. 已知 ， ，若对于任意的 恒成立，则 _【答案】【解析】 对于任意的 恒成立，所以 即为所以 ， 因此 此时 .点睛：两边夹也是求解或求证不等式相关问题的一个重要方法，通过对范围的不断缩小，直至达成目标，是极限思想的一种体现.三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. 中，内角 的对边分别是 ，且 .（1）求角 ；（2）若 ，求 的最大值.【答案】 （1） ；（2）4【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，根据诱导公式化简可
11、得 即得角 ；（2）先根据余弦定理得 ，再利用基本不等式得 的最大值.试题解析：（1）由正弦定理得，化简得：（2）由余弦定理得(等号当且仅当 时成立）的最大值为 4. 19. 如图，空间几何体中，四边形 是边长为 2 的正方形， , .（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值 .【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得 ，再根据线面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面法向量，利用向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求结果.试题解析：（1）证明：等腰梯形 中，故在 中， ，所
12、以 平面（2）作 于 ，以 为 轴建立如图的空间直角坐标系，则求得平面 的法向量为又 ，所以即 与平面 所成角的正弦值等于20. 已知函数 的图象在 处的切线方程是 .（1）求 的值；（2）求证函数 有唯一的极值点 ，且 .【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得 解得 ，再根据切点在曲线上也在切线上求b， （2）先求导数，再研究导函数单调性，根据零点存在定理确定函数 有唯一的极值点 ，再根据零点条件代入 ，化简为一个对勾函数，根据函数性质求最小值，即证不等式.试题解析：（1） ，由 得切线方程为 ， ，所以（2）令则所以当 时， 单调递减，且此时 ，在 内
13、无零点.又当 时， 单调递增，又所以 有唯一解 ， 有唯一极值点 由 ，又 ， ，21. 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）过点 的直线交椭圆于 两点， 是 轴上的点，若 是以 为斜边的等腰直角三角形， 求直线的方程.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，与离心率联立方程组解得 a,b， （2）将等腰三角形转化为 的中垂线方程过 点，且 点到直线距离等于 AB 一半，先设直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理以及弦长公式可得 AB 长以及 AB 中点，根据点斜式求 的中垂线方程，求与 x 轴交点得 Q 点坐标，根据点到直线距离公式列方程解得直线斜率，即得直线方程.试题解析：（1）由 ，设椭圆方程为则 ，椭圆方程为 （2）设 的中点坐标 ， ，则由 得 由 得 ， ， 的中垂线方程为 ，所以点 到直线的距离为 ，
