1、2018届浙江省嘉兴市第一中学上学期高三期中考试数学试题（解析版）满分150分 ，时间120分钟 2017 年 11月一、选择题 : 本大题共 10小题, 每小题 4分, 共 40分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 ，集合 则集合 =（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，选 D.2. 若复数 z 满足 ,其中 i 为虚数单位,则 z=（ ）A. 1-2i B. 1+2i C. -1-2i D. -1+2i【答案】B【解析】设 ，所以 ，所以 ，所以选 B。3. 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间 上单调递增的是（ ）A. B.
2、 C. D. 【答案】D【解析】试题分析：对于 ，函数 是关于原点对称且在 和 上单调递减；对于 ，函数是关于 轴对称且在 上单调递减；对于 ，函数 无对称性且在 上单调递增；对于 ，函数 是关于 对称且在 上单调递增；故选 .考点：1.函数的性质；2.常见函数的性质.4. 已知直线 ，其中 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A5. 为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位【答案】A【解析】 ，设 ， ，令，把函数
3、 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象.选 C.6. 某校的 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且 A,B不选修同一门课，则不同的选法有（ ）A. 36种 B. 72 种 C. 30 种 D. 66 种【答案】C【解析】先从 4 人中选出 2 人作为 1 个整体有 种选法，减去 在同一组还有 5 种选法，再选 3 门课程有 种选法，利用分步计数原理有 种不同选法.选 C.7. 若 是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ）若直线 ，则在平面 内，一定不存在与直线 平行的直线若直线 ，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线 垂直若直线 ，则在平面 内
4、，不一定存在与直线 垂直的直线若直线 ，则在平面 内，一定存在与直线 垂直的直线A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：对于，若直线 ，如果 ， 互相垂直，则在平面 内，存在与直线 平行的直线，所以 是错误的；对于 ，若直线 ，则直线 垂直于平面 内的所有直线，则在平面 内，一定存在无数条直线与直线 垂直，所以 正确；对于，若直线 ，则在平面 内，一定存在与直线 垂直的直线，所以是错误的；对于 ，若直线 ，则在平面 内，一定存在与直线 垂直的直线，所以是正确的故应选 考点：1、直线与平面之间的位置关系8. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有
5、2位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良,(若为两优 ,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会知道自己的成绩)乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D.9. 正方体 中，点 在 上运动（包括端点） ，则 与 所成角的取值范围是（ ）A. B. C. D
6、. 【答案】D【解析】以点 D 为原点，DA、DC、 分别为 建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，设点 P 坐标为 ，则 设 的夹角为 ，所以，所以当 时， 取最大值 。当 时，取最小值 。因为 。故选 D。【点睛】因为 ，所以求 夹角的取值范围。建立坐标系，用空间向量求夹角余弦，再求最大、最小值。10. 设函数 ，若存在唯一的整数 使得 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】若存在唯一的整数 使得 ，则 ，令 ，定义域为， ， 在 上递减，在 上递增，故选 A.二、填空题：本大题有 7小题, 前 4小题每小题 6分,后 3小题每题 4分 共 36分. 请将
7、答 案填写在答题卷中的横线上.11. 若双曲线 的离心率为 ，则实数 m=_； 渐近线方程为_【答案】 (1). 2 (2). 【解析】 ， .渐近线方程是 .12. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_；体积是_【答案】 (1). (2). 【解析】该几何体为正方体中切去一个四棱锥 ， ，四边形 ADGF 的面积为 ，故表面积为 。体积为 。13. 二项式 中，所有的二项式系数之和为_；系数最大的项为_【答案】 (1). 32 (2). 【解析】所有的二项式系数之和为 ，展开式为 ，系数最大的项为 和 .14. 已知 的方程为 ，直线 与 交于 两点，当 取最大值时 _，
8、面积最大时， _【答案】 (1). 2 (2). 1或 7【解析】圆的方程化为 ，圆心 ，半径为 1，直线方程化为 过定点 ，当直线过圆心时，弦 为直径最大，此时 ；设 ，则 ，当时， 的面积最大，此时圆心到直线的距离为 ， ，解得： 或 .【点睛】本题涉及圆的弦的最大值问题，显然圆的最长弦是圆的直径，而弦的两个端点与圆心连成的三角形面积最大，只需两条半径垂直，本题还涉及直线过定点问题，把含参数的项放在一起，把不含参数的项放在一起，分别令其为 0，解方程组就可解出直线所过的定点坐标，要掌握一些基本常识，这样做题就会快一些 15. 已知点 , 为坐标原点,动点 满足 ,则点 所构成的平面区域的面
9、积是_【答案】4【解析】 ,，画出可行域，矩形的面积为 .16. 设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，若点 满足，则该双曲线的离心率为_【答案】【解析】试题分析：双曲线 （a0，b0）的两条渐近线方程为 ，则与直线 x-3y+m=0 联立，可得 A（ ） ，B （ ） ，AB 中点坐标为（ ） ，点 P（m，0）满足|PA|=|PB|， ，a=2b， ， 故答案为： 考点：直线与双曲线的位置关系，双曲线的离心率17. 如图，已知 AB 为圆 O 的直径，C 为圆上一动点， 圆 O 所在平面，且 PA=AB=2，过点 A 作平面，交 PB,PC 分别于 E,F，当三棱锥 P-AEF 体积
10、最大时， =_【答案】【解析】 平面 ，则 ，又 平面 ， 平面，设 ，在 中， ，在 中， ， 时，三棱锥 P-AEF 体积最大为 ，此时， ， .【点睛】涉及与圆有关的垂直问题不要忘记垂径定理和直径所对的圆周角是直角，可以提供垂直方面的依据，借助线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直反得线线垂直，这是垂直问题常用的推理模式，借助二次函数求体积的最值，进而求出所求的角的正切.三.解答题：本大题共 5小题，共 74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18. 已知函数 .（1）求函数 的单调递增区间；（2）若 ，求 的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：不论研究三角函数的哪一种
11、性质，首先要利用降幂公式和辅助角公式把函数化为的形式之后再开始研究，借助复合函数的思想利用正弦函数的单调性解不等式求出函数的单调增区间；当已知函数值时，转化为正弦函数方程去解，但要注意 x 的取值范围，解三角方程.试题解析： 所以，函数 的单调递增区间为：（2） ， ，又 ， ， .【点睛】不论研究三角函数的哪一种性质，首先要利用降幂公式和辅助角公式把函数化为的形式之后再开始研究，借助复合函数的思想利用正弦函数的单调性解不等式求出函数的单调增区间；有了三角函数的解析式，可以求值、求周期、求单调区间，求最值、求范围、求对称轴、求对称中心、已知函数值求自变量等.19. 如图 ，在矩形 中， ， 是
12、 的中点，将三角形 沿 翻折到图的位置，使得平面 平面 .（1）在线段 上确定点 ，使得 平面 ，并证明；（2）求 与 所在平面构成的锐二面角的正切值 . 【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：证明线面平行利用线面平行的判定定理，本题借助平行四边形可以得到线线平行，进而证明线面平行；求二面角一是传统方法， “一作，二证，三求” ，本题采用传统方法利用线面垂直做出二面角，然后求出二面角，二是建立空间直角坐标系，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.试题解析：()点 是线段 中点时， 平面 .证明：记 ， 的延长线交于点 ，因为 ，所以点 是 的中点，所以 .而 在平面 内， 在平面
13、 外，所以 平面 . ()在矩形 中， ， ，因为平面 平面 ，且交线是 ，所以 平面 .在平面 内作 ，连接 ，则 .所以 就是 与 所在平面构成的锐二面角的平面角.因为 , ，所以 .【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；求二面角一是传统方法，“一作，二证，三求” ，如本题的解析，二是建立空间直角坐标系，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.20. 已知函数 .（1）讨论 的单调性；（2）若 有两个零点，求 a 的取值范围.【答案】(1)详见解析;(2)0a1.【解
14、析】试题分析：利用导数求函数的单调区间，先求导，在定义域下解不等式 和 ，求出增区间和减区间；如果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与 x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围.试题解析：（1）若 时， ，所以 在 上为减函数若 时， ，则则： 在 上为减函数， 上为增函数（2） 即可 令 ，令 在 上为减函数又因为： ，所以 ，所以 ， 所以：a 的取值范围为 .【点睛】求函数的单调区间，先求出函数的定义域，在对函数求导，在定义域下解不等式 和 ，求出增区间和减区间；如
15、果含参数则需对参数讨论，分情况说明函数的单调区间和单调性；函数的零点问题转化为函数图像与 x 轴的交点问题解决，利用导数研究函数的单调性和极值，根据零点的个数的要求，限制极值的正负，列不等式求出参数的范围.21. 如图，椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 不过原点 O 的直线 l与 C 相交于 A,B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分（1）求椭圆 C 的方程；（2）求 的面积取最大时直线 的方程【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意得到离心率，再结合距离公式即可得： ， 所求椭圆的方程为： .（2）易得直线 的方程： ，用点差法得到 ，设直线 的方程为：，与椭圆方程联立得 ，由 得到 的取值范围；由弦长公式，点到直线的距离表示出面积 ，即可求出直线的方程试题解析：（1）由题： ； 左焦点 到点 的距离为： .由 可解得： .所求椭圆 的方程为： .（2）易得直线 的方程： ，设 .其中 .、 在椭圆上，
