1、2018 届浙东北联盟(ZDB)高三上学期期中考试数学试卷一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合 1,2nA, ,Bab,若 12ABI,则 ABU为( )A ,2b B 1, C , D 1,22椭圆 203xya与双曲线214xy有相同的焦点坐标,则 a( )A3 B C5 D 53某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A 13 B 23 C 123 D 234已知 aR,则“ ”是“ 2a”成立的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5设实数 ,xy满足0
2、12y,则 23zxy的最大值为( )A 13 B C2 D36已知函数 sin0fx的一段图象如图所示, ABC顶点 与坐标原点 O重合, B是fx的图象上一个最低点, 在 x轴上,若内角 ,所对边长为 ,abc,且 AC的面积 S满足221Sbca,将 f右移一个单位得到 gx,则 的表达式为( )A 1cos2gx B 1cos2gxxC in D in7设函数 2,fxabcR,若函数 xyfe在 1处取得极值,则下列图象不可能为 y的图象是( )A B C D8已知 ,xyR,且 57xyx,则( )A sin B 2 C 5xy D 1177loglxy9某微信群中有甲、乙、丙、丁
3、、戊五个人玩抢红包游戏,现有 4 个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4 个红包中有 2 个 6 元,1 个 8 元,1 个 10 元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有( )A18 种 B24 种 C36 种 D48 种10已知关于 x的方程 2lnxe的两个实数解为 122,x,则( )A 120 B 12x C 1e D以上答案都不对二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分)11如图所示是毕达哥拉斯树的生长过程;正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形上再连接着正方形如此继续。若共得到 31 个正方形,设初始正方
4、形边长为 1,则最小正方形的边长为 12 12nx的展开式中各项二项式系数之和为 64,则 n ,展开式中的常数项为 13已知复数 Z的共轭复数为 Z, 13ii( 是虚数单位),则 Z , Z 14已知随机变量 的分布列为:若 13E,则 ab , D 15已知向量 ,cr,满足 1,2,3crr, 01,若 0bcr,则 1abcrr的最大值为_,最小值为 16正四面体 ABCD的棱长为 6,其中 AB 平面 , ,EF分别为线段 ,ADBC的中点,当正四面体以为轴旋转时,线段 EF在平面 上的射影长的取值范围是 17设 ,abR, ,记函数 ftxt, ,ab的最大值为函数 gx,则函数
5、 gx的最小值为 三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18已知函数 23sincos2fxxm,(1)求函数 f的最小正周期与单调递增区间;(2)若 53,4x时,函数 fx的最大值为 0,求实数 的值19如图,四棱锥 EABCD中,平面 EA平面 BCD, AB , CD, EA,且AB, 2(1)求证: 平面 ;(2)求 和平面 所成角的正弦值;(3)在线段 CE上是否存在一点 F使得平面 BD平面 CE,请说明理由20已知函数 2xfxae(1)讨论 的单调性;(2)若 0,2a,对于任意 12,4,0x,都有 2124afxfem恒成
6、立,求 的取值范围21已知 1,Axy, 2,By为抛物线 28y上的两个动点,其中 12x,且 124x(1)求证:线段 的垂直平分线恒过定点 Q,并求出 点坐标;(2)求 Q面积的最大值22已知在数列 na中, 132, 21nna, *N(1)求证: 1;(2)求证:11632nna;(3)求证: s;浙东北联盟(ZDB)2017-2018 学年第一学期期中考试高三数学试卷参考答案一、选择题1-5:DAAAC 6-10:DDCCB二、填空题11 14 126,60 13 12i,5 14 12, 9154, 613 16 3,2 17 2ba三、解答题18(1) 23sincossin2
7、fxxmx1cos1sin2262xmx则函数 f的最小正周期 T,根据 ,262kxkZ,得 ,63,所以函数的单调递增区间为 ,63kk(2)因为 53,24x,所以 42,x,则当 6, 时,函数取得最大值 0,即 102m,解得: 1219解:(1)由 BCD, ,可得 由 EA,且 2E,可得 2A又 4B所以 又平面 D平面 BC,平面 I平面 ,B平面 A,所以 平面 ADE(2)如图建立空间直角坐标系 xyz,则 0,D, ,20B, 2,0C, 2,E,Eur, DEur, 0Dur,设 ,nxyz是平面 的一个法向量,则 n, Cru,即 0.令 1x,则 ,1nr设直线
8、BE与平面 CD所成的角为 ,则 sinco,BEnurr223所以 BE和平面 CD所成的角的正弦值 3(3)设 Fur, 0,12,, 2,Eur, 0,2DBur则 DCr 1,设 ,mxyzu是平面 BF一个法向量,则 nEr, Fr,即0210yz令 x,则 21,ur若平面 BEF平面 CD,则 0mnur,即 210, ,13所以,在线段 上存在一点 F使得平面 BE平面 CD20解:(1) 2xfxae若 2a,则 在 ,, ,上单调递增,在 ,2a上单调递减; ,则 ,在上单调递增;若 ,则 fx在 ,2, ,a上单调递增,在 ,上单调递减;(2)由 1 知,当 0,2a时,
9、 fx在 4,2上单调递增,在 2,0单调递减,所以 2maxffe, 43+16aef,故 12ax0ff222e,4afxfe恒成立,即 22ae恒成立即 1m恒成立,令 ,0,2xge,易知 在其定义域上有最大值 1ge,所以231me21解:(1)由抛物线的对称性可知定点 Q一定在 x轴上,设 ,0Qm,设 AB中点为 02,My则 1122048kx, 02MQykm由 ABMQ,可得 6m,所以恒过定点 6,(2)直线 方程: 042yx,代入 28yx得 2016y由韦达定理知 201y221124AByyk 220061yQ点到直线 的距离: 20026d2001124ABSy
10、22001614y令 0ty,因为 0,U,所以 ,t则 216gttt, 163gttt可知, 0,3t, 0t, t为增函数;16,t, gt, t为减函数所以: max16439t,所以 ABQ面积的最大值 22证明:(1)先用数学归纳法证明 12na1.n时 132a2.假设 k时成立,即 k, 时,21,kka, 1,成立.由 12知 na, *N恒成立.213n20na.所以 n成立.(2) 11632a, 2215643,当 时, n而 na.所以 1n.由 2na得 21nn,1nna112nnnaaa122nn112n所以 1163nna(3)由(1) 2n得 ns由(2)得11122nnna,1211n nsL122nn