1、2018 届河南省长葛一高高三上学期开学考试试题 数学文第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 满足 ，则 （ ）z2i|zA B C 5 D2541412.已知集合 ，则 的子集的个数为（ ）|ln(3)PxyxPNA2 B4 C 6 D83.在等差数列 中， ，公差 ，则 （ ）na3412d9aA14 B 15 C 16 D 174.如图，在 中， 为线段 的中点， 依次为线段 从上至下的 3 个四等分点，若B,EFGAD，则（ ）4PA点 与图中的点 重合 B点 与图中的点
2、重合 PDPEC. 点 与图中的点 重合 D点 与图中的点 重合FG5. 分别是双曲线 ： 的左、右焦点， 为双曲线 右支上一点，且 ，则12,C2197xyC1|8PF（ ）2|FPA 4 B 3 C. D226.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有个面是矩形，体积为 ，则（ ）nVA B 4,10nV5,12nVC. D207.已知点 是平面区域 内的任意一点，则 的最小值为（ ）(,)ab1xy3abA -3 B-2 C. -1 D08.若 ，则 （ ）sin()2(sincos)4in2A B C. D55359.设函数 的导函数为
3、 ，若 为偶函数，且在 上存在极大值，则 的图像可能为（ ()fx()fx()f(0,1)()fx）A B C. D10.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度（单位：尺），则处可分别填入的是（ ）11.已知多面体 的每个顶点都在球 的表面上，四边形 为正方形， ，且ABCDFEOABCD/EFBD在平面 内的射影分别为 ，若 的面积为 2，则球 的表面积的最小值为（ ）,EF,BAEOA B C. D82812112.若函数 恰有
4、 4 个零点，则 的取值范围为（ ）sin(2),6()co,2xxmf mA B 1(,(,26315(,(,(,31263C. D)2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施，为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从 2 组青年组，2 组中年组，2 组老年组中随机抽取 2组进行采访了解，则这 2 组不含青年组的概率为 14.设椭圆 ： 的离心率为 ，则直线 与 的其中一个交点到 轴的距离为 C21(3)xya126yxCy15.若 是公比为 2 的等比
5、数列，且 ，则 （用数字作答）1na1a3921a16.已知 且 ，函数 存在最小值，则 的取值范围为 0a23,()1logaxf(2)fa三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 所对的边分别为 ，已知 ，且 .ABC, ,abcsin4iBA7cos8（1）求 的面积；（2）若 ，求 的周长.0aAB18. 如图，在底面为矩形的四棱锥 中， .PCDBA（1）证明：平面 平面 ；PC（2）若 ，平面 平面 ，求三棱锥 与三棱锥 的表面43 PBDBC积之差.19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区
6、、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量 （千辆）x2 3 4 5 8每天一辆车平均成本 （元）y3.2 2.4 2 1.9 1.7根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙： .(1)4.yx(2)6.41yx（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：完成下表（计算结果精确到 0.1）（备注： ， 称为相应于点 的残差（也叫随机误差）Aiie
7、yAie(,)ixy）；租用单车数量 （千辆）x2 3 4 5 8每天一辆车平均成本 （元）y3.2 2.4 2 1.9 1.7估计值 A(1)i 2.4 2.1 1.6模型甲残差 ()ie0 -0.1 0.1估计值(2)iy2.3 2 1.9模型乙残差 A()ie0.1 0 0分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 及 ，并通过比较 ， 的大小，判断哪个模型拟合效果1Q21Q2更好.（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放 8 千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入 8.4 元；投放 1 万辆时，该公
8、司平均一辆单车一天能收入 7.6 元，问该公司应该投放 8 千辆还是 1 万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.20. 如图，已知抛物线 ： ，圆 ： ，过抛物线 的焦点 且与 轴C2(0)xpyQ22(3)xyCFx平行的直线与 交于 两点，且 .12,P12|4P（1）证明：抛物线 与圆 相切；Q（2）直线 过 且与抛物线 和圆 依次交于 ，且直线 的斜率 ，求 的取值lFC,MABNl(0,1)k|ABMN范围.21. 已知函数 ， ，曲线 在 处的切线方程为()lnfxab2()3gxk()yfx1,()f.1yx（1）若
9、在 上有最小值，求 的取值范围；()f,m（2）当 时，若关于 的不等式 有解，求 的取值范围.xex2()0fxgk请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，点 ，以极点 为原点，C2cosin(02)(1,)2MO以极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线 （ 为参数）与曲线 交于 两x :21xtlyC,AB点，且 .|MAB（1）若 为曲线 上任意一点，求 的最大值，并求此时点 的极坐标；(,)PCP（2）求 .|B23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()|2|fx（1
10、）求不等式 的解集；5|1|x（2）若函数 的图像在 上与 轴有 3 个不同的交点，求 的取值范围.()()gfa1(,)2xa试卷答案一、选择题1-5: CBDCA 6-10: DBCCB 11、12：AB二、填空题13. 14. 15. 1013 16. 25273,)三、解答题17.（1）由 ，得 ， ，siniacBA4abcc ， ，故 的面积 .7o8A15i8BC115sin24SbA（2）由余弦定理得： ， ，22cosab2 20()(cos)(15cbc ， ， ，2()5bc5c51即 的周长为 .ABC1018.（1）证明：由已知四边形 为矩形，得 ，ABCDABC ，
11、 ， 平面 .PP又 ， 平面 ./DAB 平面 ，平面 平面 .C（2）解：平面 平面 ，平面 平面 ， ，ABCDABCDAB 平面 ， ， 的面积为 .PP13426又 ， 平面 ， ， 的面积为 ./ADB 13又 平面 ， ， 的面积为 .CCC20又 ， 的面积为 8.PA而 的面积与 的面积相等，且三棱锥 与三棱锥 的公共面为 ，BPBDAPBPBD三棱锥 与三棱锥 的表面积之差为 .DPB(862)(10)62819.解：（1）经计算，可得下表： ， ，2210.(.1)0.3Q20.1Q，故模型乙的拟合效果更好.2（2）若投放量为 8 千辆，则公司一天获得的总利润为 元，(8
12、.417)0536若投放量为 1 万辆，由（1）可知，每辆车的成本为 （元）26.0所以公司一天获得的总利润为 （元）(7.614)593因为 ，所以投放 1 万辆能获得更多利润，应该增加到投放 1 万辆.5936020.（1）证明： ， ，故抛物线 的方程为 ，12|Pp2C24xy联立 与 ，得 ，24xy(3)810y ，抛物线 与圆 相切.0CQ（2） ，直线 的方程为 ，(,1)Fl,(,)ykx圆心 到直线 的距离为 ，0,3Ql21d ，22|84ABk设 ，12(,)(,)MxyN由 ，得 ，24k24)10ky则 ，21y ，22|4(1)MNyk ，设 ，则 ，21|ABk
13、MN2t1()23|ABttMN设 ，则 ，23()()ftt 2)43ftt ， ，函数 在 上递增，10f(y1,) ， ，即 的取值范围为 .()(1)2fft3)8ft|ABMN6(,1)421.解：（1） ，lnfxa由题意可知， ，解得 ，(1)0f10b所以 ，当 ，即 时， 递增；()lnfx()fxe()fx当 ，即 时， 递减.01e因为 在 上有最小值，所以 的取值范围为 .()fx,mm1(,)e（2）关于 的不等式 在 上有解等价于不等式 在2()0fxg,x2ln3xk上有解，1,xe设 ，则 ，2ln3()xh2 3()xh当 ，即 时， 递增；01e当 ，即 时
14、， 递减，()hxx()hx又 ， ，22311()ee23()e所以 ，24()0he所以 ，所以 ，2min131()()ex231em所以 的取值范围是 .k2,)e22.（1） ， ，2cosin2si()402当 时， 取得最大值 ，此时， 的极坐标为 .4P(,)4（2）由 ，得 ，即 ，csi2cosin20xy故曲线 的直角坐标方程为 .C2(1)()xy将 代入 并整理得： ，解得 ，21xty22()()210t26t ，由 的几何意义得， ， ，|MABt 6|2MA62|B故 .|62323.（1）由 ，得 ，()5|1|fx|2|5x 或 或 ，2323解得 ，故不等式 的解集为 .14x()5|1|fx1,4（2） ，2,1()(2)|,1xhfxx当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，121()22xx2x2 ，min()2hx当 时， 递减，1()x由 ，得 ，()0gxfa()ha又 ，结合 的图像可得 .2hx(2,1)
