1、2018 届河南省豫北豫南名校高三上学期精英联赛数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，又 ， ，故选 D.2. 若复数满足 ，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】因为复数满足 ，则 ，共轭复数所对应的点为，为第一象限点，故选 A.3. 已知平面向量， 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【
2、答案】A【解析】由已知条件得： ，故选 A.4. 已知双曲线过点 ，渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线渐进线方程为 ，故可设双曲线方程为 ，双曲线过点 ，则 ，即 ，故双曲线的标准方程是故选 C.5. 我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤 ”意思是：“现有一根金锤，头部的 尺，重 斤；尾部的 尺，重 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列 ”则下列说法错误的是（ ）A. 该金锤中间一尺重 斤B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 倍C. 该金锤的重量为 斤D. 该金锤相邻两尺的重量
3、之差的绝对值为 斤【答案】B【解析】由题意可得金锤每一尺的重量构成等差数列中， ，则 ， ， 正确， 错误， 正确， 正确，故选 B.6. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选 D.7. 已知函数 若关于 的方程 有且只有 个不同的根，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作出函数 的图象，令 ，关于 的方程 等价于同号，只有 同正时，方程才有根，假设 ，则 ，此时关于方程 有 个不同的根，只有 ，关于 方程 有且只有 个不同的根，此时 ，故选 C.8. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析
4、】此三视图的几何体如图 ， ， ， ， ，故选 B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 已知实数 ， 满足 则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意作出其平面区域如图所示，由题意可得， ，则 ，则 ，故的最大值为 ，当且仅当 时，等号成立，故选 A.10. 如图，正方体 绕其体对角线 旋
5、转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在正方体中，连接 ，则对角线 垂直于平面 ，且过 的垂心，而 为等边三角形，可知正方体绕对角线旋转 与原正方体重合，故选 A.11. 过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，与抛物线准线交于 点，若 是 的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，设 在准线上的射影分别为 ，且设 ，直线的倾斜角为 ，则， ，由抛物线焦点弦长公式 可得 ，故选 B.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点
6、的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.12. 设， ， 且 ，1.5 3 5 6 7 8 9 14 27若表中的对数值恰有两个是错误的，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解析：由题设可知 都是正确的，所以 ，即 ，应选答案 B。第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 定积分 _【答案】【解析】令 ，由题意可知，积分值为扇形和三角形面积的和， ，故答案为 .14. 在数列 中， ， ，且 （ ） ，则 的值是_【答案
7、】 【解析】由 得 ，即数列 是等差数列，由 ，可得 ，当 时， ，当 时， ，设数列 的前 项和为 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式及求和公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （ 是常数） ，则数列 是等差数列；(2) 等差中项法：（ ） ，则数列 是等差数列；(3) 通项公式： ( 为常数)， 则数列 是等差数列；(4) 前 n 项和公式： ( 为常数) ， 则数列 是等差数列.本题先利用方法(2)判定出数列 是等差数列后再进行解答的.15. 若关于 的不等式 在 上的解集为 ，则实数的取值范围为_【答案】 或【解析】因
8、为 的不等式 在 上的解集为 ， ， ，即，解得 或 ，故实数的取值范围是 或 ，故答案为 或 .16. 在 中，若 ，则 的最大值为_【答案】【解析】 ， ，若 ，则 均为钝角，不可能，故， 的最大值为 ，故答案为 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 的内角 、 、 的对边分别为， ， ，且 （1）求 的值；（2）若 ，且 、 、 成等差数列，求 的面积【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)由题中所给的二次齐次方程结合余弦定理整理可得 .(2)由题意结合余弦定理可得： ，然后利用正弦定理角化边可得 ，据此可得
9、，然后利用三角形面积公式可得 .试题解析：（1）由 ，可得 .所以 ，即 .（2）因为 ， ，所以，又 成等差数列，由正弦定理，得 ，所以 ，所以 .由 ，得 ，所以 的面积 .18. 如图，三棱柱 的所有棱长均为 ，平面 平面 ， ， 为 的中点（1）证明： ；（2）若 是棱 的中点，求二面角 的余弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）证线线垂直，由平面 平面 得 平面 ，再由底面图形得线线垂直(2)建系求面的法向量，得法向量的夹角解：(1)证明：取 中点 ，设 与 交于点 ，连接 ， ，依题意得 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，所以 平面 ，即 平面 ，所
10、以 ，又因为四边形 为菱形，所以 ，又 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以 .(2)解：由(1)结合已知得： ， ， ，以 为原点，如图所示建立空间直角坐标系 ，因为侧面 是边长为 2 的菱形，且 ，所以 ， ， ， ， ，所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，则由 得 ，令 ，可取 ，而平面 的一个法向量 ，由图可知二面角 为锐角，因为 .所以二面角 的余弦值为 .19. 某理科考生参加自主招生面试，从 道题中（ 道理科题 道文科题）不放回地依次任取 道作答（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科
11、题的概率均为 ，答对文科题的概率均为 ，若每题答对得 分，否则得零分现该生已抽到三道题（两理一文） ，求其所得总分 的分布列与数学期望 【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题解析:（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件 ， “该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件 ，则所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为（2） 的可能取值为 0，10，20，30， 则 所以 的分布列为0 10 20 30所以， 的数学期望20. 如图，曲线 由上半椭圆 ： （ ， ）和部分抛物线 ： （ ）连接而成， 与 的公共点为 ， ，其中 的离心率为 （1）求， 的值；（2
12、）过点 的直线与 ， 分别交于点 ， （均异于点 ， ） ，是否存在直线，使得以 为直径的圆恰好过 点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）在 ， 的方程中，令 ，可得 ，且 ， 是上半椭圆 的左、右顶点，设 半焦距为，由 及 ，联立解得；（2）由（1）知，上半椭圆 的方程为，由题意知，直线与 轴不重合也不垂直，设其方程为 （ ） ，代入 的方程，整理得： ，设点 的坐标为 ，由根公式，得点 的坐标为 ，同理，得点 的坐标为 由 ，即可得出 的值，从而求得直线方程.试题解析（1）在 ， 的方程中，令 ，可得 ，且 ， 是上半椭圆
13、 的左、右顶点，设半焦距为，由 及 可得设 半焦距为，由 及 可得 ， ， （2）由（1）知，上半椭圆 的方程为 ，易知，直线与 轴不重合也不垂直，设其方程为 （ ） ，代入 的方程，整理得： （*）设点 的坐标为 ，直线过点 ，点 的坐标为 ，同理，由 得点 的坐标为 依题意可知 ， ， ， ，即 ， ， ，解得 ，经检验， 符合题意，故直线的方程为 21. 已知函数 （， ）有两个不同的零点 ， （1）求 的最值；（2）证明： 【答案】 （1）最大值为 ，无最小值；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出导函数 ， 在 上单增， 上单减，无最小值；（2）通过 ，两式相减化为 ，故要证，即证 ，不妨设 ，令 ，则只需证 ，构造函数
