1、求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路舒云水求含参数三次函数的单调区间是高考热点这类问题涉及二次函数的性质、二次不等式求解、二次方程求根等多方面知识，需要对字母进行分类讨论，是高考考查分类与讨论思想的热点正确对字母的取值范围进行分类讨论是解决这类问题的关键，本文主要谈对字母取值进行分类讨论的思路求含参数三次函数的单调区间的题目按下列步骤进行：第一步，求出导函数 （设原函数为 ） ；)(xfy)(xfy第二步，算出导函数的判别式 ，并考查判断判别式 的正负；第三步，若判别式 的值不确定，即 的取值可正可负，则对 进行讨论，按 ， ， =0 三种情况进行分类讨论求解；若 ，即方程 有实根，先0 0
2、0)(xf求出两实根 ， 再按 ， ， = 三种情况进行分类讨论求解1x21x212x12由上知分类讨论的方式有两种，下面分别举例说明1. 按判别式取值的正负进行分类讨论例 1 已知函数 ， 讨论函数 的单调区间 )(23xaxf Ra)(xf分析：先求出 ，算出其判别式 ，再判断 的正2()1f)3(42243)a负，易知 正负不确定，然后按判别式 ， ， =0 三种情况进行分类讨243a0论求解解： ，其判别式 2()1fxax)3(42a（1） 当 ，即 或 时，03由 得： 或 ； )(xf2a32ax由 得： 0)(f 322函数 在 ， 上是增函数；在区间)(xf ),2a),3(
3、2a是减函数)3,3(22a当 ，即 时，对所有 都有 ，故此时 在0aRx0)(xf)(xf上是增函数R当 ，即 时，则 ，且对所有的 都有 ，03a0)3(af 3ax0)(xf故此时 在 上是增函数)(xf点拨：按判别式 ， ， =0 三种情况进行分类讨论求解是解本题的关键例 2 已知函数 ， 讨论函数 的单调性)ln2()(xaxf0)(xf分析：本题函数 虽然不是三次函数，但由于导数 的正负值的取值范围与)(f二次函数 是一样的，对导数 值的讨论就可转化为对二次函数2)(2axg )(xf值的讨论 由于 的值不确定，要按判别式 ， ， =0 三种情况x80进行分类讨论求解解：由题知，
4、 的定义域是 )(xf),0(221xaf 设 ，二次方程 的判别式 )(axg0)(g82a当 ，即 时，方程 有两个不同的实根：02x， ， 81ax282a210x由 ，即 且 得： 或 ；0)(f0)(xgx由 ，即 且 得： x 21函数 在 ， 上是增函数，在)(f)28,0a),8(2a上是减函数),28(a当 ，即 时，对一切 都有 ， 在 上02a0x0)(xf)(f),是增函数当 ，即 时，仅对 有 ，对其余的 都有)(f， 在 上是增函数0)(xf)(f),点拨：例 2 与例 1 可以说是形异质同本题的分类讨论思路基本上与例 1 一样例 3 已知函数 ， 求函数 的单调区
5、间)(xf 123xaR)(xf分析：先求出 ，再算出其判别式 由于226a0162a，求出方程 的两根得： ， 由于 ， 的大小0)(xf 31x23不确定，所以要按 ， ， 三种情况分类讨论求解a3a解： ，方程 的判别式 0162a求方程)(xf22x)(xf0的两根得 ， 0)(f12当 ，即 时，a30由 得： 或 ；)(xf3ax由 得： 函数 在 ， 上是增函数；在 上是减函数)(xf),),()3,(a当 ，即 时，a30由 得： 或 ；)(xf3ax由 0f得： a3函数 在 ， 上是增函数；在 上是减函数)(x),),(),3(a当 ，即 时，a仅对 有 ，对所有的 都有
6、， 在 上是增函数0x)(f 0x0)(xf)(fR点拨：按两根 ， 的大小关系分类讨论求解是解本题的关键3例 4 已知函数 ，其中 求函数 的单调区)(xf xeax)322)(xf间分析：本题函数 也不是三次函数导数 的正负值的取值范围与二次函数)(f )(f是一样的，对导数 值的讨论就可转化为对二次函数 值的讨论由于)(xhx )(xh的判别式 ，方程 0)(xh的两根 ， 的 大小不确定，本0)23(aa2题就得按 ， ， 三种情况分类讨论求解2a2a2a解： xexxf 4)()(设 ，方程 0)(h的判别式 ，h22 0)23(a求方程 的两根得 ， 0)(xax12x当 ，即 时
7、，213由 ，即 得： 或 ；0)(xf)(xha2x由 ， 即 得： 函数 在 ， 上是增函数；在 上是减函数)(xf)2,a),()2,(a当 ，即 时， 213由 ，即 得： 或 ；0)(xf)(xh2aax由 ， 即 得： 函数 在 ， 上是增函数；在 上是减函数)(xf)2,a),()2,(当 ，即 时，213仅对 有 ，对所有的 都有 ， 在 上是增函4x0)(xf 34x0)(xf)(fR数点拨：本题的分类讨论思路基本上同例 3 一样例 4 与例 3 也是形异质同，我们在解题时要抓住这一点练习：1.已知函数 讨论 的单调性)(ln1)(Raxxf)(xf2.已知函数 ， ，其中
8、当 时，求6342ttf Rt0t的单调区间)(xf答案：1. 的定义域为 设)(xf),0(2211(xaxf ，其判别式 当 时， ， ，故1)(2axg42aa0)(f在 上单调递增当 时， ， 的两根都小于 0，在)(xf),02a0)(xg上， ，故 在 上单调递增当 时， ，,(xf)(xf),02a)(xg的两根为 ， ，当 时， ；当0241a242a10x0f时， ；当 时， ，故 分别在 上21x0)(fx)(ff12(,),)x单调递增，在 上单调递减12,2.当 时，在 ， 上单调递增，在 上单调递减；当 时，t),(t),(t ),2(t0t在 ， 上单调递增，在 上单调递减 ),(,22
