1、圆的方程及其性质专题1. 知识点：圆的定义：动点到定点的距离相等的所有点的集合。圆的标准方程：xyrxaybr2222()()圆的一般方程：DEyF2 0 其 中 ， DEF240圆 心 坐 标 ， ， 半 径()21方 程 AxByCxy2 0表 示 圆 的 充 要 条 件 ： ADEF402圆的参数方程xryrcosin()圆 心 ， ， 半 径0xarybabrcos()圆 心 ， ， 半 径关于参数方程与普通方程xftygMxt() ()1即 对 于 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐 标 ， 都 是 某 个 变 数 的 函 数 ，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组（1）所确定的
2、M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组（1），称为这条曲线的参数方程，联系 x、y 之间的变数 t 称为参变数，简称参数。点与圆的位置关系若 圆 方 程 为 点 ，r220()则 点 ， 在 圆 外xyxy02 0r2点 ， 在 圆 上()xyxy02 0点 ， 在 圆 内直线与圆设 圆 的 方 程 为 ， ， 直 线 方 程 为 ， 圆 心 到 直 线fxyAxByCAx()0ByCdr0的 距 离 为 ， 圆 心 半 径 为drfxyABC相 离 ， 无 解()0drfxyABC相 切 ， 有 唯 一 解()0fxy相 交 ， 有 两 解()0弦长公式、切线方程：圆与圆的位置关系设圆心距为
3、 d，两圆半径分别为 r1 和 r2，r12相 离 外 切|r12相 交 dr|12内 切 dr|12内 含【典型例题】例 1. 求过点 A（2 ，3）， B（2，5）且圆心在直线 x2y30 上的圆的方程。解法 1： 设 所 求 的 圆 的 方 程 为 ()()xaybr22由 条 件 知 ， ， ()()25302abr 得 ， 由 ， 得 ， ，412abab ， 即 所 求 的 圆 方 程 为rxy2 2210 0()()解法 2： 由 已 知 条 件 知 圆 心 为 的 中 垂 线 与 的 交 点 ， 且ABxkAB34， 中 点 为 ， ，AB() 中 垂 线 方 程 为 xy20
4、由 ， 得 ，2031xy 圆 心 为 ， ， ，()()()12321022r 所 求 的 圆 的 方 程 为 xy1小结：解法 1 利用了待定系数法，解法 2 利用了圆的几何性质。这两种方法在解析几何中经常用到，要注意选择恰当的方法。例 2. 已知 ABC 的三个顶点为 A（1，4 ），B（2，3），C（4，5），求ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径。解法 1： 设 的 外 接 圆 方 程 为 ， 有BCxyDxEyF016409235223DEFDEF， ， 解 得 ， ， ， 的 外 接 圆 方 程 为 ，ABCxy20即 ，()()xy1522 外 心 坐 标 为 ， ， 外
5、 接 圆 半 径 为()15解法 2：注 意 到 ， ， 知 是 ， 故 外 心 是 线 段 的kABCRtBCABAC13中 点 ， ， 半 径 为 ， 外 接 圆 方 程 为()| ()()1251252xy例 3 求过两点 、 且圆心在直线 上的圆的标准方程并判断点 与圆的关)4,1(),(0)4,2(P系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 与圆的位置关系，只须看点 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆P上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 22)()(rbyax圆心在 上，
6、故 0y圆的方程为 22)(ryx又该圆过 、 两点4,1A,3(B 22)3(6ra解之得： ， 10所以所求圆的方程为 2)(2yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过 、 两点，所以圆心 必在线段 的垂直平分线 上，又因为)4,1(A),3(BCABl，故 的斜率为 1，又 的中点为 ，故 的垂直平分线 的方程为：32ABklA)3,2(即 xy0y又知圆心在直线 上，故圆心坐标为 )0,1(C半径 24)1(2ACr故所求圆的方程为 20)1(2yx又点 到圆心 的距离为)4,2(P,Crd52点 在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量
7、，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例 4 当 m 为何值时，直线 mx-y-m-1=0 与圆 x2+y2-4x-2y+1=0 相交，相切、相离.分析一 (判别式法)将 y=mx-m-1 代入圆的方程化简整理得：(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0=4m(3m+4)当=0 时，得 m=0 或 m=- 时，直线与圆相切.34当0 时,得 m0 或 m- 时，直线与圆相交.当0 时，得- m0 时，直线与圆相离.分析二 (几何法)由已知得圆心坐标为(2，1)半径 r=2，圆心(2，1)到直线
8、 mx-y-m-1=0 的距离 d=2121当 d=2 时，即 m=0 或 m=- 时，相切34当 d2 时，即- m0 时，相离当 d2 时，即 m0 或 m- 时，相交例 5 已知圆 ，求过点 与圆 相切的切线42yxO： 42，PO解：点 不在圆 上， 切线 的直线方程可设为4，PT42xky根据 rd 解得 214k 3k所以 即 3xy 014yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为 2x说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解） 还可
9、以运用 ，求出切点坐标 、 的值来解决，此时没有漏解 20ryx0xy例 6. 自 点 P（ 3， 3） 发 出 的 光 线 l 经 x 轴 反 射 ， 其 反 射 线 所 在 直 线 正 好 与 圆xy2470相 切 ， 求 光 线 所 在 直 线 的 方 程解法 1： 将 已 知 圆 方 程 化 为 ， 易 知 ， 关 于 轴 的()()()yPx2132对 称 点 ， 在 反 射 光 线 上 ， 设 反 射 线 所 在 直 线 的 方 程 为 ，P yk() ()3 3即 kxy0由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 ， 解 得 ， ， 得 反|23143212kk射 光 线 的
10、方 程 为 或43040xyxy由 于 入 射 线 与 反 射 线 关 于 轴 对 称 ， 故 所 求 光 线 的 方 程 为 或lxy40340xy解法 2： 已 知 圆 的 标 准 方 程 是 ， 它 关 于 轴 的 对 称 圆cxyc()() 212的 方 程 为 ， 设 光 线 所 在 直 线 的 方 程 是 其 中()() ()ylykx2132斜率 k 待定）。由题设知对称圆的圆心 C（2，2 ）到这条直线的距离等于 1，即 ， 整 理 得 ， ， 或dkkk|51151204322 所 求 的 直 线 方 程 是 或yxyx343()()即 或3400xyx例 7 已知圆 C：(
11、x-1) 2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(mR)(1)证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交.(2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短的长度及此时的直线方程.分析 若按常规思路只须证圆心 O(1，2)到直线 l 的距离恒小于半径即可.但注意到直线 l 的方程可变形为 x+y-4+m(2x+y-7)=0，则可知直线 l 恒过定点(3，1) ，如果该定点在圆内，问题即可解决，事实上(3-1)2+(1-2)2=525点(3，1)在圆内这样，不论 m 为何实数，直线 l 与圆恒相交.(2)由(1)的结论可知直线 l 过定点 M(3，1)，且
12、与过此点的圆 O 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长AB最短.MO= = 且 r=522)1()3(5弦长=2 =45此时 kl=- - =- =2OM112m3m=- 代入直线 l 得方程 2x-y-5=043例 8 设点 是圆 是任一点，求 的取值范围),(yxP12y12xyu分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替 、 ，转化为三角问题来解决解法一：设圆 上任一点2 )sin,(coP则有 ，cosxiny)2,0 ， 1inusicu)2(sicuu即 （ ）2)si(2tan 1in2u又 解之得： )si(243u分析二： 的几何意义是过圆 上一动点和定点 的连线的斜率，利用此直线1x
13、yu12yx)2,1(与圆 有公共点，可确定出 的取值范围2xu解法二：由 得： ，此直线与圆 有公共点，故点 到直线的xy)(2x2yx)0,(距离 1d 解得： 2u43u另外，直线 与圆 的公共点还可以这样来处理：)1(xy12y由 消去 后得： ，2xy 0)34()()( 222 uxux此方程有实根，故 ，解之得： 03414(22 u 4说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量 的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便例 9 已知圆 ， 为圆 上的动点，求 的最大、最小值)()3(221yxO： ),(yxPO
14、2yxd分析：涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)(法 1)由圆的标准方程 1)4()3(22yx可设圆的参数方程为 （ 是参数） ,sin4coy则 222 sin81669xd（其中 ） )cos(0si8co34ta所以 ， 3102max 2mind(法 2)圆上点到原点距离的最大值 等于圆心到原点的距离 加上半径 1，圆上点到原点距离的最小1 1d值 等于圆心到原点的距离 减去半径 12d1所以 643212所以 maxd1min例 10 圆 上到直线 的距离为 1 的点有几个？9)3()(22y0143yx分析：借助图形直观求解或先求出直线 、 的方程，
15、从代数计算中寻找解答1l2解法一：圆 的圆心为 ，半径 )()(22yx ),(O3r设圆心 到直线 的距离为 ，则 1O0143d32412如图，在圆心 同侧，与直线 平行且距离为 1 的直线 与圆有两个交点，这两个交1 1yx 1l点符合题意又 23dr与直线 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意014yx符合题意的点共有 3 个解法二：符合题意的点是平行于直线 ，且与之距离为0143yx1 的直线和圆的交点设所求直线为 ，则 ，043myx432d ，即 ，或 ，也即5m61，或 1l： 2l：设圆 的圆心到直线 、 的距离为 、 ，则9)3()(221yxO： 1l21d2，
16、 46321d 43622d 与 相切，与圆 有一个公共点； 与圆 相交，与圆 有两个公共点即符合题意的点共 31l1l1O1个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心 到直线 的距离为 ，则 1O0143yxd32432圆 到 距离为 1 的点有两个1显然，上述误解中的 是圆心到直线 的距离， ，只能说明此直线与圆有两个交d043yxrd点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径
17、的大小比较来判断变式：圆 上到直线 的距离为 的点共有（ ） 03422yx01yx2（A）1 个 （B）2 个 （C ）3 个 （D）4 个分析：把 化为 ，圆心为 ，半径为 ，2821， 2r圆心到直线的距离为 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 ，所以选 C例 11 自点 发出的光线 射到 轴上，被3，Alx轴反射，反射光线所在的直线与圆x相切0742yxC：（1 ）求光线 和反射光线所在的直线方程l（2 ）光线自 到切点所经过的路程A分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点 的对称点 的坐标为 ，其次设3，过 的圆 的切线方程为C3xky根据 ，即求出圆 的切线的
18、斜率为rd或4进一步求出反射光线所在的直线的方程为或034yx03yx最后根据入射光与反射光关于 轴对称，求出入射光所在直线方程为G O BNMyAx图 3CA或034yx034yx光路的距离为 ，可由勾股定理求得 MA 7222CMA说明：本题亦可把圆对称到 轴下方，再求解例 12 已知圆 与直线 相交于 、 两点， 为原点，且062myx03yxPQO，求实数 的值OQPm分析：设 、 两点的坐标为 、 ，则由 ，可得 ，再),(1yx),(21OQPk021yx利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为 ，由直线 与圆的方程构造以yl为未知数的一元二次方程，由根与系数
19、关系得出 的值，从而使问题得以解决xy OQPk解法一：设点 、 的坐标为 、 一方面，由 ，得PQ),(1yx),(2P，即 ，也即： 1OPk2y021y另一方面， 、 是方程组 的实数解，即 、 是方程),(1x),(2632myx1x202741052mx的两个根 ， 21527421x又 、 在直线 上，PQ03y )(941)(2)( 211121 xxy 将代入，得 5m将、代入，解得 ，代入方程，检验 成立，30 3解法二：由直线方程可得 ，代入圆的方程 ，有yx2062myx，0)(9)6(2122 myxyx整理，得 7434)( yxy由于 ，故可得0012)()274(
20、 xym ， 是上述方程两根故 得OPkQ1OQPk，解得 1274m3经检验可知 为所求说明：求解本题时，应避免去求 、 两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的 值进行PQm必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点 、 存在P解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于 的二次齐次方程，xy虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感强化提升：A 组一、选择题1.若直线 4x-3y-2=0 与圆 x2+y2-2ax+4y+a2-12=0 总有两个不同交点，则 a 的取值范围是( )A.-3a7 B.-6a4
21、C.-7a3 D.-21a192.圆(x-3) 2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3.使圆(x-2) 2+(y+3)2=2 上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1) D.( +2， -3)24.若直线 x+y=r 与圆 x2+y2=r(r0)相切，则实数 r 的值等于( )A. B.1 C. D.225.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.422二、填空题6.过点 P(2，1)
22、且与圆 x2+y2-2x+2y+1=0 相切的直线的方程为 .7.设集合 m=(x,y)|x2+y225,N=(x,y)(x-a) 2+y29，若 MN=M，则实数 a 的取值范围是.8.已知 P(3，0)是圆 x2+y2-8x-2y+12=0 内一点则过点 P 的最短弦所在直线方程是 ，过点 P 的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点，若 OPOQ(O 是原点)，求 m 的值.10.已知直线 l:y=k(x-2)+4 与曲线 C：y=1+ 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围.24xB 组一、选择题1.圆
23、(x-3) 2+(y+4)2=2 关于直线 x+y=0 的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2 B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2 D.(x-3)2+(y-4)2=22.点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) 2+y2=1 的内部，则实数 a 的取值范围是( )A.a1 B.a 51C.a D.a233.关于 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且 A=C0 B.B=1 且 D2+E2-4AF0C.B=0 且 A=C0，D 2+E2-4AF0 D.B=0 且 A=C0,D 2
24、+E2-4AF04.过点 P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( )A.( ，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)3145.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x2+2=4 的内部，则 k 的范围是( )A.- k-1 B.- k155C.- k1 D.-2k23二、填空题6.圆 x2+y2+ax=0(a0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程 a2x2+(2a+3)y2+2ax+a+1=0 表示圆，则实数 a 的值等于 .8.直线 y=3x+1 与曲线 x2+y2=4 相交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标是
25、.三、解答题9.求圆心在直线 2x-y-3=0 上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线 l 从点 P(1，-1)射出，经过 y 轴反射后与圆 C：(x-4) 2+(y-4)2=1 相切，试求直线 l 所在的直线方程.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2 或 3x-4y-2=0 7.-2a2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.(, )12543AA 级1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 6.(- ,0), 7.-1 8.(- ， ) 9.(x-2)2+(y-1)2=10 2a10310.3x+4y+1=0 或
26、 4x+3y-1=0【素质优化训练】1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.10 7.-2( +1)a2( +1) 8.=arccot2 或 -arccot2222, 8 9.P( , ) 10.60 213811.M 的轨迹方程为( 2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4x2)=0，当 =1 时，方程为直线 x= .45当 1 时，方程为(x- )2+y2= 它表示圆，该圆圆心坐标为( ,0)半径为12)1(31213212.l 的方程为：3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 M 的方程为 3x-4y-30 或 4x-3y+30 13.x2+(y )2=( )2轨迹是分别以 CO，CD 为直径的两个圆.a
