1、小学奥数必做的 31 道行程问题 一、行程问题：S=VT，总结如下：当路程一定时，速度和时间成反比当速度一定时，路程和时间成正比当时间一定时，路程和速度成正比二、衍伸总结如下：追击问题：路程差速度差=时间相遇问题：路程和速度和=时间流水问题：顺水速度=船速+水流速度；逆水速度=船速-水流速度水流速度=（顺水速度 -逆水速度）2船 速=（顺水速度-逆水速度）2两岸问题：S=3A-B ，两次相遇相隔距离 =2(A-B)电梯问题：S= （人与电梯的合速度） 时间=（人与电梯的合速度）时间平均速度：V 平=2 （V1V2）（V1+V2）1、邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面的山坳里，从邮局开始要走
2、 12 千米的上坡路，8 千米的下坡路。他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地后停留 1 小时，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？【解析】核心公式：时间=路程速度去时：T=12/4+8/5=4.6 小时返回：T=8/4+12/5=4.4 小时T 总=4.6+4.4+1=10 小时7：00+10：00=17： 00整体思考：全程共计：12+8=20 千米去时的上坡变成返回时的下坡，去时的下坡变成返回时的上坡因此来回走的时间为：20/4+20/5=9 小时所以总的时间为：9+1=10 小时 7：00+10：00=17 ：002、小明从甲地到乙地，去时每小时走 6
3、千米，回时每小时走 9 千米，来回共用 5 小时。小明来回共走了多少千米？【解析】当路程一定时，速度和时间成反比速度比=6：9=2：3时间比=3：23+2=5 小时，正好S=63=18 千米来回为 182=36 千米 3、 A、B 两城相距 240 千米，一辆汽车原计划用 6 小时从 A 城开到 B 城，汽车行驶了一半路程，因故在途中停留了 30 分钟。如果按照原定的时间到达 B 城，汽车在后半段路程速度应该加快多少？【解析】核心公式：速度=路程时间前半程开了 3 小时，因故障停留 30 分钟，因此接下来的路程需要 2.5小时来完成V=1202.5=48 千米/小时原 V=240/6=40 千
4、米 /小时所以需要加快：48-40=8 千米/ 小时4、甲、乙两车都从 A 地出发经过 B 地驶往 C 地，A，B 两地的距离等于 B，C 两地的距离 .乙车的速度是甲车速度的 80%.已知乙车比甲车早出发 11 分钟，但在 B 地停留了 7 分钟，甲车则不停地驶往 C 地 .最后乙车比甲车迟 4 分钟到 C 地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车。【解析】11-7=4 分钟甲乙车的速度比=1：0.8=5：4甲乙行的时间比=4：5=16：20所以是在乙车出发后的 16+11=27 分钟追上甲车5、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进。行人速度为 3.6 千米/小时，骑车人
5、速度为 10.8 千米/小时。这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过骑车人用 26 秒。这列火车的车身总长是多少米？【解析】S=（V 火车-V 人）时间=（V 火车-V 车）时间V 人=3.6 千米/小时=1 米/秒V 车=10.8 千米/小时 =3 米/秒S=（V 火车-1）22=（V 火车-3）26S=286 米或者合时间比=22：26=11：13合速度比=13：11V 人： V 车 =1：3（14-1）：（14-3 ）=13：11所以 V 火车=14 米/ 秒S=（14-1）22=286 米6、小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过
6、船头时，水壶与船已经相距 2 千米，假定小船的速度是每小时 4 千米，水流速度是每小时 2 千米，那么他们追上水壶需要多少时间？【解析】我们来分析一下，全程分成两部分，第一部分是水壶掉入水中，第二部分是追水壶第一部分，水壶的速度=V 水，小船的总速度则是=V 船+V 水那么水壶和小船的合速度就是 V 船，所以相距 2 千米的时间就是：2/4=0.5 小时第二部分，水壶的速度=V 水，小船的总速度则是=V 船-V 水那么水壶和小船的合速度还是 V 船，所以小船追上水壶的时间还是：2/4=0.5 小时 7、甲、乙两船在静水中速度分别为每小时 24 千米和每小时 32 千米，两船从某河相距 336
7、千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？【解析】时间=路程和 速度和T=336（ 24+32）=6 小时时间=路程差 速度差T=336（ 32-24）=42 小时8、甲、乙两港间的水路长 208 千米，一只船从甲港开往乙港，顺水 8 小时到达，从乙港返回甲港，逆水 13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。【解析】流水问题：顺水速度=船速+水流速度；逆水速度=船速-水流速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）2船 速=（顺水速度-逆水速度）2V 顺=2088=26 千米/小时V 逆=20813=16 千米 /小时V 船=（26+16 ）2
8、=21 千米/ 小时V 水=（26-16）2=5 千米/小时9、小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有 3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早 5 分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？【解析】小明走 1/2-3/10=2/10 的路程，爸爸走了 7/10 的路程因此小明的速度：自行车的速度=2/10：7/10=2：7因此时间比就是 7：27-2=5 份，对应 5 分钟所以小明步行剩下的 3/10 需要 7 分钟那么小明步行全程需要：7/3/10=70/3 分钟10、一只狗
9、追赶一只野兔,狗跳 5 次的时间兔子能跳 6 次, 狗跳 4 次的距离与兔子 7 次的距离相等.兔子跳出 550 米后狗子才开始追赶.问狗跳了多远才能追上兔子?【解析】狗跳 5 次的时间=兔子跳 6 次的时间狗跳 20 次的时间=兔子跳24 次的时间狗跳 4 次的路程=兔子跳 7 次的路程狗跳 20 次的路程=兔子跳35 次的路程综上得到 V 狗：V 兔=35 ：24当时间一定时，路程和速度成正比S 狗：S 兔= V 狗：V 兔=35：24=1750： 1200因此狗只需要跑 1750 米即可11、主人追他的狗, 狗跑三步的时间主人跑两步,但主人的一步是狗的两步.狗跑出 10 步后, 主人开始
10、追,主人跑出了多少步才追上狗?【解析】主人跑 2 步的时间=狗跑 3 步的时间主人跑 2 步的时间=狗跑 3步的时间主人跑 1 步的路程=狗跑 2 步的路程主人跑 2 步的路程=狗跑 4步的路程综上得到主人跑 2 步可以追上狗 4-3=1 步现在狗比主人多跑了 10 步所以主人要跑 20 步12、某人从甲地前往乙地办事，去时有 2/3 的路程乘大客车，1/3的路程乘小汽车；返回时乘小汽车与大客车行的时间相同，返回比去时少用了 5 小时，已知大客车每小时行 24 千米，小汽车每小时行 72 千米，甲地到乙地的路程、是多少千米？【解析】当时间一定时，路程和速度成正比返回：时间一定，路程比=速度比=
11、24：72=1：3=3 ：9去时：路程比=2：1=8 ：4返回的时间：3/24+9/72=1/4去时的时间：8/24+4/72=7/187/18-1/4=5/36，对应 5 小时12 对应 5125/36=432 千米13、某工厂每天派小汽车于上午 8 时准时到总工程师家接他到工厂上班，有一天早晨总工程师临时决定提前回工厂办事，匆匆从家步行出发，途中遇到接他的小汽车，立即上车到工厂，结果比平时早40 分钟到达。总工程师上车时是几时几分？【解析】A-B-CAB 段汽车开一个来回需要 40 分钟，所以 AB 段汽车开需要 20 分钟汽车是 8 点钟准时到 A 点，所以工程师上车是在 8：00-0：
12、20=7：4014、小明从家去体育馆看球赛.去时他步行 5 分钟后，跑步 8 分钟，到达体育馆。回来时，他先步行 10 分钟后，开始跑步，结果比去时多用了 3 分 15 秒钟回到家 .他跑步的速度与步行的速度比是多少？【解析】去时的时间：5+8=13 分钟回来的时间：13+3.25=16.25 分钟去时步行时间：5 分钟，回来步行时间： 10 分钟去时跑步时间：8 分钟，回来跑步时间： 6.25 分钟跑步与步行的时间比为（8-6.25）：（10-5）=1.75：5速度比就是 5：1.75=20：715、B 在 A，C 两地之间，甲从 B 地到 A 地去送信，出发 10 分钟后，乙从 B 地出发
13、去送另一封信。乙出发后 10 分钟，丙发现甲乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从 B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的 3倍，丙从出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间？【解析】A-B-C分成如下几个部分：先追上乙，把信取到手并返回 B 点。用时 1：3=10：30，就是 10分钟再追上甲，把信交给甲并把信取到手并返回 B 点。用时1：3=30：90，就是 30 分钟再追上乙，把信交给乙并返回 B 点。用时 1：3=50：150，就是 50分钟总共用时：10+30+50=90 分钟16、甲放学回家需走 10 分钟，乙放学回家需走 14 分
14、钟.已知乙回家的路程比甲回家的路程多 1/6，甲每分钟比乙多走 12 米，那么乙回家的路程是几米？【解析】甲乙路程比 1：7/6=6：7甲乙时间比 10：14=5 ：7甲乙速度比 6/5：7/7=6：5=72：60所以乙的路程=6014=840 米17、在 400 米环形跑道上,A、B 两点相距 100 米( 如图)。甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发,按逆时针方向跑步。甲每秒跑 5 米,乙每秒跑 4 米,每人每跑 100 米, 都要停 10 秒钟.那么, 甲追上乙需要的时间是（）秒。【解析】甲每秒跑 5 米，则跑 100 米需要 100/5=20 秒，连同休息的 10 秒，共需要 30
15、秒乙每秒跑 4 米，则跑 100 米需要 100/4=25 秒，连同休息的 10 秒，共需要 35 秒35 秒时，乙跑 100 米，甲跑 100+55=125 米因此，每 35 秒，追上 25 米，所以甲追上乙需要 354=140 秒18、小明从家去学校，如果他每小时比原来多走 1.5 千米，他走这段路只需原来时间的 4/5；如果他每小时比原来少走 1.5 千米，那么他走这段路的时间就比原来时间多几分几之？【解析】原时间：现时间=5：4原速度：现速度=4：5=6：7.5现速度=6-1.5=4.5原速度：现时间=6：4.5原时间：现时间=4.5：6（6-4.5）/4.5=1/319、甲、乙两列火
16、车的速度比是 5：4.乙车先发，从 B 站开往 A站，当走到离 B 站 72 千米的地方时，甲车从 A 站发车往 B 站，两列火车相遇的地方离 A，B 两站距离的比是 3：4，那么 A，B 两站之间的距离为多少千米？【解析】A-N-M-B3 4 72 千米速度比=路程比=5 ：4=15：12路程比=3：4=15：2020-12=8 份对应 72 千米全程=（15+20）728=315 千米20、已知小明与小强步行的速度比是 2： 3，小强与小刚步行的速度比是 4：5. 已知小刚 10 分钟比小明多走 420 米，那么小明在 20分钟里比小强少走几米？【解析】小明：小强：小刚=8：12 ：15=
17、48：72： 90（72-48） 20=480 米21、甲、乙二人在 400 米的圆形跑道上进行 10000 米比赛.两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为 8 米/秒，乙的速度为 6米/秒，当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速度每秒减少 0.5 米.这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加 0.5 米，直到终点.那么领先者到达终点时，另一人距离终点多少米？【解析】第一次甲追上乙，400（8-6 ）=200 秒，S 甲=2008=1600 米，S 乙=2006=1200 米第二次甲速度变成 6，乙速度变成 5.5，400（6-5.5）=800
18、 秒S 甲=8006+1600=6400 米，S 乙=8005.5+1200=5600 米第三次甲速度变成 4，乙速度变成 5，400（5-4 ）=400 秒S 甲=4004+6400=8000 米，S 乙=4005+5600=7600 米第四次开始，甲速度变成 4.5，乙速度变成 5.5，400（5.5-4.5）=400 秒S 甲=4004.5+8000=9800 米，S 乙=4005.5+7600=9800 米98001000，因此乙先到达终点。乙跑到终点时，甲还剩下：200（5.5-4.5）5.5=400/11 米22、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果将车速比原来提高 1/
19、9，就可比预定的时间 20 分钟赶到；如果先按原速度行驶 72 千米，再将车速比原来提高 1/3，就可比预定的时间提前30 分钟赶到。这支解放军部队的行程是多少千米？【解析】速度比=9：10，时间比=10 ：9=10/3：3速度比=3：4 ，时间比=4：3=2：1.5因此，按照原速度行驶 72 千米需要 10/3-2=4/3 小时S=7210/34/3=180 千米23、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山. 他们两人下山的速度都是各自上山速度的 2 倍。甲到山顶时，乙距山顶还有 400 米，甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山顶到山脚的距离。【解析】甲到山脚时，乙到半山腰甲走
20、 1.5 个上坡，乙走 1.25 个上坡时间一定，路程比=速度比=1.5：1.25=6 ： 5=2400：2000因此山的高度为：2400 米24、甲、乙两车分别从 A，B 两地同时相向开出，四小时后两车相遇，然后各自继续行驶三小时，此时甲车距 B 地 10 千米，乙车距A 地 80 千米.问甲车到达 B 地时乙车还要经过多少小时才能到达 A地？【解析】整体考虑总共行了 7 个小时，甲车比乙车多行 80-10=70 千米，因此甲车每小时比乙车多行 10 千米4 小时乙行的路程=3 小时甲行的路程+10乙=40 千米/小时，甲=50 千米/小时T=80/40-10/50=1.8 小时25、从家里
21、骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行 30 千米，那么早到 15 分钟；如果每小时行 20 千米，则迟到 5 分钟.如果打算提前 5 分钟到，那么摩托车的速度应是多少？【解析】S=30（T-15/60 ）=20（T+5/60 ）15+5=20 分钟速度比=30：20=3：2时间比=2：3=40：60正好需要：40+15=55 分钟提前 5 分钟：55-5=50 分钟时速=304050=24 千米/小时26、同样走 100 米，小明要走 180 步，父亲要走 120 步. 父子同时同方向从同一地点出发，如果每走一步所用的时间相同，那么父亲走出 450 米后往回走，还要走多少步才能遇到小明？【解
22、析】父亲走 450 米，走了 450120100=540 步小明走 540 步，走了 540180100=300 米两人相差 450-300=150 米150（100/120+100/180）=108 步27、小明从家到学校时，前一半路程步行后一半路程乘车，从学校回家时，前 1/3 时间乘车，后 2/3 时间步行，结果去学校的时间比回家所用的时间多 2 小时，已知小明步行的速度为每小时 5 千米，乘车速度为每小时 15 千米，那么小明从家到学校的路程是（ ）千米？【解析】回家乘车和步行的路程比是 1/315：2/35=3：2所以回家乘车的路程是 3/53/5-1/2=1/10，对应 15 千米
23、/小时行驶 1 小时或 5 千米/ 小时行驶3 小时S=15/1/10=150 千米或者去时，路程比=1：1=5 ：5，速度比=5：15，时间比=1/5：1/15返回，时间比=2：1，速度比=5：15，路程比=25：115=2：3=4：6所以去时的时间=5/5+5/15=4/3，返回的时间=4/5+6/15=6/54/3-6/5=2/15，对应 2 小时全程=102/2/15=150 千米28、A、B 两地相距 207 千米，甲、乙两车 8：00 同时从 A 地出发到 B 地，速度分别为 60 千米/小时，54 千米/小时，丙车 8：30从 B 地出发到 A 地，速度为 48 千米/ 小时。丙
24、车与甲、乙两车距离相等时是几点几分？【解析】假设丙也是从 8 点出发，到达 B 点时正好是 8：30那么丙走的路程就是：0.548=24 千米，那么全程就变成：207+24=231 千米丙车与甲、乙两车的距离，可以看成甲乙的平均速度与丙相遇 （*）V 平=（V 甲+V 乙）2=57 千米/小时T=231（ V 平+V 丙）=231（57+48）=2.2 小时=2 小时=12分所以这时是：8：00+2：12=10：12 分29、小明通常总是步行上学，有一天他想锻炼身体，前 1/3 路程快跑，速度是步行速度的 4 倍，后一段的路程慢跑，速度是步行速度的 2 倍.这样小明比平时早 35 分到校，小明
25、步行上学需要多少分钟？【解析】这天，路程比=1：2，速度比=4：2，时间比=1/4：2/2，时间=1/4+1=5/4平时，时间=3/1=33-5/4=7/4 对应 35 分平时用时=3537/4=60 分钟30、红光农场原定 9 时来车接 601 班同学去劳动，为了争取时间，8 时同学们就从学校步行向农场出发，在途中遇到准时来接他们的汽车，于是乘车去农场，这样比原定时间早到 12 分钟。汽车每小时行 48 千米，同学们步行的速度是每小时几千米？【解析】A-B-C8 点钟，同学们从 A 点出发，到 B 点遇到来接他们的车汽车来回 AB 需要 12 分钟，那么走一趟 AB 需要 6 分钟而人走 AB 需要：60-6=54 分钟时间比=速度比的反比，54：6=48：48/9所以同学步行的速度是 16/3 千米/小时31、从甲地到乙地, 如果提速 20%,提前 1 小时到达,如果按原速先行 120 米,再提速 25%,则提前 40 分钟, 问甲到乙的距离?【解析】设原速度为 x，两地相距 yy/x=y/1.2x+1 y/x=120/x+(y-120)/1.25x+2/3得 x=45 千米/ 小时y=270 千米
