1、第六节 简单的三角恒等变换知识能否忆起半角公式(不要求记忆)1用 cos 表示 sin2 ，cos 2 ，tan 2 .2 2 2sin2 ；cos 2 ；tan 2 .2 1 cos 2 2 1 cos 2 2 1 cos 1 cos 2用 cos 表示 sin ，cos ，tan .2 2 2sin ；cos ；2 1 cos 2 2 1 cos 2tan .2 1 cos 1 cos 3用 sin ，cos 表示 tan .2tan .2 sin 1 cos 1 cos sin 小题能否全取1(教材习题改编)已知 cos ，( ，2)，则 cos 等于( )13 2A. B63 63C.
2、 D33 33解析：选 B cos ，(，2)， ，13 2 (2，)cos .2 1 cos 2 1 132 632已知函数 f(x)cos 2 cos 2 ，则 f 等于( )(4 x) (4 x) (12)A. B12 12C. D32 32解析：选 B f(x)cos 2 sin 2 sin 2x ，f sin .(4 x) (x 4) (12) 6 123已知 tan ，则 等于( )12 cos 2 sin 2 1cos2A3 B6C12 D.32解析：选 A cos 2 sin 2 1cos2 2cos2 2sin cos cos222tan 3.4. _.sin 20cos 2
3、0cos 50解析： .sin 20cos 20cos 50 12sin 40cos 50 12sin 40sin 40 12答案：125若 2 013，则 tan 2_.1 tan 1 tan 1cos 2解析： tan 2 1cos 2 1 sin 2cos 2 cos sin 2cos2 sin2 2 013.cos sin cos sin 1 tan 1 tan 答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解(2)三角函数求
4、值分为给值求值( 条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可三角函数式的化简典题导入例 1 化简 .2cos4x 2cos2x 122tan(4 x)sin2(4 x)自主解答 原式 2sin2xcos2x 122sin(4 x)cos2(4 x)cos(4 x) 121 sin22x2sin(4 x)cos(4 x)12cos22xsin(2 2x) cos 2x.12由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的差
5、别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称” ，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有 “切化弦” ；(3)三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如 “遇到分式要通分”等以题试法1化简 .(1tan2 tan 2)(1 tan tan 2)解：法一：原式 (cos2sin2sin2cos2)(1sin cos sin2cos2) cos22 sin22sin2cos2cos cos2 sin sin2cos cos2 2cos sin cos( 2)cos cos2 .2cos sin cos 2cos cos2 2sin 法二：原
6、式 1 tan22tan2 (1sin sin2cos cos 2) 2tan cos cos2 sin sin2cos cos2 .2cos sin cos2cos cos2 2sin 三角函数式的求值典题导入例 2 (1)(2012 重庆高考) ( )sin 47 sin 17cos 30cos 17A B32 12C. D. .12 32(2)已知 、 为锐角，sin ，cos ，则 2_.35 ( ) 45自主解答 (1)原式sin30 17 sin17cos 30cos 17sin 30cos 17 cos 30sin 17 sin 17cos 30cos 17 sin 30 .si
7、n 30cos 17cos 17 12(2)sin ， ，35 (0，2)cos ，45cos( ) ， (0，)，45sin() ，35sin(2)sin () sin cos()cos sin() 0.35 ( 45) 45 35又 2 .(0，32)2 .答案 (1)C (2)由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，
8、使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角以题试法2(2012广州一测)已知函数 f(x)tan .(3x 4)(1)求 f 的值；(9)(2)设 ，若 f 2，求 cos 的值(，32) (3 4) ( 4)解：(1)f tan 2 .(9) (3 4)tan3 tan41 tan3tan4 3 11 3 3(2)因为 f tan tan() tan 2，(3 4) ( 34 4)所以 2，即 sin 2cos .sin cos 又 sin2cos 21，由解得 cos2 .15因为 ，所以 cos ，sin .(，32)
9、 55 255所以 cos cos cos sin sin .( 4) 4 4 55 22 ( 255) 22 31010三角恒等变换的综合应用典题导入例 3 (2011四川高考)已知函数 f(x)sin cos ，xR .(x 74) (x 34)(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知 cos() ，cos( ) ，0 ，求证： f()220.45 45 2自主解答 (1)f(x)sin cos(x 74 2) (x 4 2)sin sin 2sin ，(x 4) (x 4) (x 4)T 2，f(x)的最小 值为2.(2)证明：由已知得 cos cos sin sin ，45c
10、os cos sin sin .45两式相加得 2cos cos 0.0 ， .f()2 24sin 2 20.2 2 4在本例条件不变情况下，求函数 f(x)的零点的集合解：由(1)知 f(x)2sin ，(x 4)sin 0， x k( kZ)，(x 4) 4xk (kZ)4故函数 f(x)的零点的集合为Error!.由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 yA sin(x )的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题以题试法3已知函数 f(x)2cos xcos sin2xsin x cos x.(x 6
11、) 3(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 0， 时，若 f() 1，求 的值解：(1)因为 f(x)2cos xcos sin2xsin xcos x(x 6) 3 cos2 xsin xcos x sin2xsin xcos x3 3 cos 2xsin 2x2sin ，3 (2x 3)所以最小正周期 T.(2)由 f()1，得 2sin 1，(2 3)又 0，所以 2 ，3 3，73所以 2 或 2 ，3 56 3 136故 或 .4 11121在ABC 中，tan B2，tan C ，则 A 等于( )13A. B.4 34C. D.3 6解析：选 A tan Atan( BC )
12、tan( BC ) tan B tan C1 tan Btan C 2 131 2131.故 A .42. 等于 ( )sin180 21 cos 2 cos2cos90 Asin Bcos Csin Dcos 解析：选 D 原式 sin 2cos21 cos 2 sin cos .2sin cos cos22cos2sin 3(2013深圳调研)已知直线 l: xtan y3tan 0 的斜率为 2，在 y 轴上的截距为1，则 tan( )( )A B.73 73C. D157解析：选 D 依题意得，tan 2，3tan 1，即 tan ，tan() 1.13 tan tan 1 tan t
13、an 2 131 234(2012山东高考)若 ，sin 2 ，则 sin ( )4，2 378A. B.35 45C. D.74 34解析：选 D 因为 ，所以 2 ，4，2 2，所以 cos 20，所以 cos 2 .1 sin2218又 cos 212sin 2 ，所以 sin2 ，18 916所以 sin .345(2012河北质检)计算 的值为( )tan(4 )cos 22cos2(4 )A2 B2C1 D1解析：选 D tan(4 )cos 22cos2(4 )sin(4 )cos 22sin2(4 )cos(4 )cos 22sin(4 )cos(4 )cos 2sin 2(4
14、 )cos 2sin(2 2) 1.cos 2cos 26定义运算 adbc .若 cos ， ，0 ，则 等于( )|a bc d| 17 |sin sin cos cos | 3314 2A. B.12 6C. D.4 3解析：选 D 依题意有 sin cos cos sin sin() ，3314又 0 ，0 ，2 2故 cos() ，1 sin2 1314而 cos ， sin ，17 437于是 sin sin ( )sin cos( )cos sin() .437 1314 17 3314 32故 .37若 tan 3，则 _.(4 ) cos 21 sin 2解析：tan 3，(
15、4 ) 1 tan 1 tan tan .12 cos 21 sin 2 cos2 sin2sin2 2sin cos cos2 3.1 tan2tan2 2tan 11 1414 1 1答案：38若锐角 、 满足(1 tan )(1 tan )4，则 _.3 3解析：由(1 tan )(1 tan )4，3 3可得 ，即 tan() .tan tan 1 tan tan 3 3又 (0，)，所以 .3答案：39计算： _.cos 10 3sin 101 cos 80解析：cos 10 3sin 101 cos 802sin 30cos 10 cos 30sin 102sin240 .2sin
16、 402sin 40 2答案： 210已知函数 f(x)sin x cos x，f (x) 是 f(x)的导函数(1)求 f(x) 及函数 yf(x )的最小正周期；(2)当 x 时，求函数 F(x)f(x)f(x)f 2(x)的值域0，2解：(1)由题意可知，f( x)cos xsin x sin ，2 (x 4)所以 yf(x) 的最小正周期为 T2.(2)F(x)cos 2xsin 2x12sin xcos x1sin 2xcos 2x1 sin .2 (2x 4)x ，2x ，0，2 4 4，54sin .(2x 4) 22，1函数 F(x)的值 域为0,1 211已知 0 ，tan
17、，cos() .2 2 12 210(1)求 sin 的值；(2)求 的值解：(1)tan ，2 12tan ，2tan21 tan222121 (12)2 43由Error!解得 sin .45(sin 45舍 去 )(2)由(1)知 cos 1 sin2 ，1 (45)2 35又 0 ，(0，)，2而 cos() ，210sin( ) ，1 cos2 1 ( 210)2 7210于是 sin sin ( )sin cos()cos sin() .45 210 35 7210 22又 ， .(2，) 3412已知 sin(2 )3sin ，设 tan x，tan y，记 yf(x) (1)求
18、证：tan( )2tan ；(2)求 f(x)的解析式解：(1)证明：由 sin(2) 3sin ，得 sin () 3sin ()，即 sin()cos cos( )sin 3sin( )cos 3cos()sin ，sin()cos 2cos()sin .tan()2tan .(2)由(1)得 2tan ，即 2x，tan tan 1 tan tan x y1 xyy ，即 f(x) .x1 2x2 x1 2x21(2012郑州质检)已知曲线 y2sin cos 与直线 y 相交，若在 y 轴右侧(x 4) (4 x) 12的交点自左向右依次记为 P1，P 2，P 3，则| |等于( )1
19、5A B2C3 D4解析：选 B 注意到 y2sin cos 2sin 2 1cos 2 1sin 2x，(x 4) (4 x) (x 4) (x 4)又函数 y1 sin 2x 的最小正周期是 ，结合函数 y 1sin 2x 的图象(如图所示)可知，22| |2.5P2. 等于( )3 sin 702 cos210A. B.12 22C2 D.32解析：选 C 3 sin 702 cos2 10 3 cos 202 cos210 2.3 2cos210 12 cos210 22 cos2102 cos2103(2012江西重点高中模拟) 已知函数 f(x)sin sin cos 2xm ，若
20、(2x 3) (2x 3) 3f(x)的最大值为 1.(1)求 m 的值，并求 f(x)的单调递增区间；(2)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 f(B) 1，且 abc，3 3试判断三角形的形状解：(1)f(x) 2sin 2x cos cos 2xmsin 2x cos 2xm2sin m .3 3 3 (2x 3)又 f(x)max2m，所以 2m1，得 m1.由 2k2x 2k (kZ)2 3 2得到 k xk (kZ)，512 12所以 f(x)的单调递增区间为 (kZ)k 512，k 12(2)由 f(B) 1，得 2sin 1 1，3 (2B 3) 3所以
21、 B .6又 abc，则 sin Asin B sin C，3 3sin A sin ，即 sin ，312 (56 A) (A 6) 12所以 A ，C ，故 ABC 为直角三角形3 21求证：tan .1tan(4 2) 1cos 证明：左边 sin cos cos(4 2)sin(4 2)sin sin(4 2) cos cos(4 2)cos sin(4 2)cos(4 2 )cos sin(4 2)cos(4 2)cos sin(4 2) 右边sin(4 2)cos sin(4 2) 1cos 故原式得证2已知 f(x) sin2x2sin sin .(1 1tan x) (x 4)
22、 (x 4)(1)若 tan 2，求 f()的值；(2)若 x ，求 f(x)的取值范围12，2解：(1)f(x) (sin 2xsin x cos x)2sin cos(x 4) (x 4) sin 2xsin1 cos 2x2 12 (2x 2) (sin 2xcos 2x)cos 2x12 12 (sin 2xcos 2x) .12 12由 tan 2，得 sin 2 .2sin cos sin2 cos2 2tan tan2 1 45cos 2 .cos2 sin 2sin2 cos2 1 tan21 tan2 35所以 f() (sin 2cos 2) .12 12 35(2)由(1)得 f(x) (sin 2xcos 2x )12 12 sin .22 (2x 4) 12由 x ，得 2x .12，2 512 4 54故 sin 1，则 0f(x) ，22 (2x 4) 2 12所以 f(x)的取值范围是 .0，2 12
