1、2018 届河北省曲周县第一中学高三 12 月质量检测（四）数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，集合 ，则 的元素个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 , 。 的元素个数为 3.选 C。2. 复数 （是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】 ，复数在复平面内对应的点为 ，在第一象限。选 A。 3. 如图，边长为 的正方形内有一内切圆在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆
2、内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得圆的半径为 1，故圆的面积为 。根据几何概型概率公式可得该点落在圆内的概率为 。选 A。4. 设， ，是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则 的充分条件为（ ）A. ， B. ， ， C. ， D. ，【答案】C【解析】选项 A 中，由 ， 可得 不一定成立，故 A 不正确；选项 B 中，由 ， ， 不能得到 ，故 B 不正确；选项 C 中，由 ， 可得 ，故 C 正确；选项 D 中，由 ， 可得 ，故 D 不正确。综上选 C。5. 已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点与抛物线 的焦点重合，且渐近线方程为 ，则双曲线 的方程
3、为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为 ，双曲线焦点在 轴上，且 ，又渐近线方程为 ，可得 ，所以 ，故选 A考点：1双曲线的性质与方程6. 已知函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ， 。选 B。7. 执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依次运行程序框图中的程序，可得：第一次： ，满足条件， ；第二次： ，满足条件， ；第三次： ，满足条件 ， ；第四次： ，满足条件， ；第五次： ，满足条件， ；第六次： ，满足条件， ；第七次：
4、，满足条件， ；第八次： ，满足条件， ；第八次： ，不满足条件，输出 。选 D。8. 如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据三视图可得该几何体由前后两部分组合而成，前面为半圆柱（底面圆半径为 1，高为 1），后面为三棱柱（底面为腰为 的等腰直角三角形，高为 2）。故其体积为。选 A。 9. 已知函数 （ ） ， ， 的零点分别为 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据函数 分别与 图像交点,可知选 C.10. 设等比数列 前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】数列 为等
5、比数列， ， ， ， 成等比数列，且公比为 。 。选 B。点睛：（1）若等比数列 前 项和为 ，则 ， ， ， ,仍成等比数列。（2）在等比数列的基本运算问题中，一般是列出 a1，q 满足的方程组，求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度。解题中要注意挖掘已知和“隐含”的条件11. 设函数 的导数为 ，对任意 都有 成立，则（ ）A. B. C. D. 与 的大小不确定【答案】C【解析】试题分析：设 ， ，则 ， ， ， .考点：1.导数的运算；2.特殊函数法.12. 如图，已知 为抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧， （其中 为
6、坐标原点） ，则 与 面积之差的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设直线 的方程为 ，由 消去 x 整理得 ，显然 ，设 ，则 ， ，由题意得 ，即 ，解得 或 （舍去） 。直线 与 x 轴的交点为，当且仅当 ，即 时等号成立。故 与 面积之差的最小值是 。选 C。点睛：（1）设直线方程时，当直线斜率是否存在不知道时，为了避免讨论，可将直线方程设为 的形式，其中当 时表示斜率不存在的情形。（2）解析几何中求最值时，可将所需求最值的量用某一参数表达出来，然后根据目标函数的形式借助函数的知识或基本不等式求得最值。若用基本不等式求最值，不要忘了等号成立的条件。二、填空题：本大题
7、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ， ，且 ，则 等于_【答案】【解析】 ， ， 。答案：14. 若 ， 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】3【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示。表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图形知，可行域内的点 A 与原点连线的斜率最大。由，解得 ，即 . 。答案：15. 已知 的角 ， ， 所对的边分别是， ， ，且 ，若 的外接圆半径为 ，则面积的最大值为_【答案】【解析】 ，即 ， 。 。又 的外接圆半径为 ， 。由余弦定理得， ，当且仅当 时等号成立。答案：点睛：解三角形时，余弦定理、三角形的面积
8、公式经常结合在一起考查，解题时要注意公式的变形，如，经过变形便出现了 和 的形式，为整体代换创造了条件。另外对于三角形面积最值的问题要注意基本不等式的应用，根据 便可得到 的最大值， 然后根据面积公式求解即可，不过解题时要注意不等式中等号成立的条件。16. 已知三棱锥 所有顶点都在球 的表面上，且 平面 ，若 ，则球 的表面积为_【答案】【解析】试题分析：由余弦定理得 ,从而三角形 外接圆半径为 ，因此球 的半径等于 ，球 的表面积为考点：外接球表面积【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何
9、知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 等差数列 中，公差 ， ，（）求 的通项公式；（）记 为数列 前 项的和，其中 ， ，若 ，求 的最小值【答案】 （） （） 【解析】试题分析：本题考查等差数列通项公式的求法及含有绝对值的数列的求和。 （）由等差数列的性质可得求得 ， ，可得数列的公差，进而可求得通项公式。 （）将 去掉绝对值后转化为数列 的求和问题，求得 后结合解不等式可得 ，故可得 的
10、最小值。试题解析：（） ，由解得 （舍去） ， ， ，等差数列 的公差 （）由（）知 ,当 时， ；当 时， .故当 时， 不成立。当 时，。由 ，得 ，解得 ，又 , 的最小值为 18. 为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取 名学生的数学成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 组： ， ， ， ， ，频率分布直方图如图所示成绩落在中的人数为 （）求和 的值；（）根据样本估计总体的思想，估计该校高三年级学生数学成绩的平均数 和中位数 ；（）成绩在 分以上（含 分）为优秀，样本中成绩落在 中的男、女生人数比为 ，成绩落在中的男、女生人数比为 ，完成 列联表，并判断是否有 的把握认为数学成绩
11、优秀与性别有关参考公式和数据： 男生 女生 合计优秀不优秀合计【答案】 （） , （） , （）见解析.【解析】试题分析：本题考查频率分布直方图及其应用和独立性检验。 （）由所有频率和为 1 可得；根据频率、频数和样本容量的关系可得 。 （）根据平均数为各组中点値和频率之积的和可得 ，然后利用中位数将频率分布直方图分为面积相等的两部分求得中位数。 （）根据题意给出的数据求得 后再结合临界值表进行判断。试题解析：（）由题意可得， ， （）由题意，各组的频率分别为 ， ， ， ， ， 即高三年级学生数学成绩的平均数 为 。由 ，解得 即高三年级学生数学成绩的中位数为 75.（）由题意，优秀的男生为 人，女生为 人，不优秀的男生为 人，女生为 人， 列联表如下：男生 女生 合计优秀不优秀合计由表中数据可得 ，没有 的把握认为数学成绩优秀与性别有关点睛：利用频率分布直方图估计样本的数字特征（1）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值（2）平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和（3）众数：最高的矩形的中点的横坐标19. 如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 是平行四边形， ， ， 为 的中点，点 在线段 上（）求证： ；
