1、 2018 届河北省定州中学高中毕业班下学期开学考试数学试题（解析版）一、单选题1. 抛物线 的准线交 轴于点 ，过点 的直线交抛物线于 两点， 为抛物线的焦点，若，则直线 的斜率 为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】D【解析】易知直线 的斜率存在，且不为零.设 ，即 ，带入 ，得由 得： ，设 ， ，由韦达定理得，由题知 ，得 ， ,把 ，带入整理，得故选：D2. 如图为正方体 ，动点 从 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到，运动过程种，点 与平面 的距离保持不变，运动的路程 与 之间满足函数关系 ，则此函数图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
2、取线段 中点为 N，计算得： .同理，当 N 为线段 AC 或 C 的中点时，计算得 .符合 C 项的图象特征.故选：C3. 对 ，设 是关于 的方程 的实数根， ， （符号 表示不超过 的最大整数） .则 （ ）A. 1010 B. 1012 C. 2018 D. 2020【答案】A【解析】设 ，则 记当 是增函数，方程 只有一个实根 即 故选 A.4. 定义在 上的奇函数 满足：当 时， （其中 为 的导函数）.则 在 上零点的个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】构造函数 ， ，由于当 时， ，故当时， 为增函数.又 ，所以当 时， 成立，由于 ，所以 ，由
3、于为奇函数，故当 时， ，即 只有一个根就是 .【点睛】本题考查了零点的判断，考查了函数的奇偶性，和利用导数来研究函数的单调性.本题的难点在于构造新函数 ，然后利用导数来判断新函数的最值，进而判断出 的取值.如何构造函数，主要靠平时积累，解题时要多尝试.5. 已知 ，顺次连接函数 与 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当正弦值等于余弦值时，函数值为 ，故等边三角形的高为 ，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故 .6. 已知 ，下列程序框图设计的是求 的值，在“ ”中应填的执行语句是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】不妨
4、设 ，要计算 ，首先 ，下一个应该加，再接着是加 ，故应填 .7. 已知 ，则 （ ）A. 18 B. 24 C. 36 D. 56【答案】D8. 设曲线 （为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在曲线 上某点处的切线 ，使得 ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以直线 的斜率分别为 ，则由题设可得 ，即 ，又因为对任意 ，都有 ，故 存在 使得 ，即存在 使得 ，故 ，即 ，应选答案 D 。点睛：本题将导数的几何意义与函数的切线的斜率有解地整合在一起，旨在考查导数的几何意义、全称命题与特称命题的真假判定等有关知识的综合运用。求解时先对函数进行
5、求导，再运用导数的几何意义分别求出两条切线的斜率，再借助题设条件得到方程 ，充分借助“任意” 、 “存在”等量词的含义建立不等式，从而使得问题简捷、巧妙获解。9. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 ，已知 ， ，点 是双曲线 右支上的动点，且 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 垂直于 轴，则 为双曲线的通径的一半， ， 的坐标为 ，则 ， ，又，故有 在第 1 象限上即在右支上，则有 ，即 ，故选 B.10. 已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答
6、案】C【解析】因为 和 都是偶函数,问题可以转化为当 时， 恒成立，在同一坐标系中画出及 的图像如图所示，易知 ，当 时， ， ，又 ，在 上， 恒成立，故 恒成立，故 ，故选 C.点睛：解答本题的技巧在于借助于数形结合增强了解题的直观性，利用函数的奇偶性，将解不等式的问题转化为两函数图象在 上的相对位置关系来处理，然后根据函数图象的交点情况，通过先猜后证的方式得到结果.11. 已知双曲线 的右支与抛物线 交于 两点， 是抛物线的焦点， 是坐标原点，且 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】把 代入双曲线 ，可得： ， 故选 A.12. 定义：如果函数 在区间 上
7、存在 ，满足 ， ，则称函数 是在区间 上的一个双中值函数，已知函数 是区间 上的双中值函数，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，函数 是区间 上的双中值函数，区间 上存在 ，满足 方程 在区间 有两个不相等的解，令 ，则 ，解得 实数的取值范围是 .故答案为 二、填空题13. 已知函数 满足 ，且当 时 .若在区间 内，函数 有两个不同零点，则的范围为_【答案】【解析】 当 时， 故函数 作函数 与 x 的图象所示，过点 时， 在区间 内，函数 有两个不同零点，则的范围为故答案为 .【点睛】本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，解题时注意数形结合
8、的思想应用14. 如图所示，平面四边形 的对角线交点位于四边形的内部， ， ， ， ，当 变化时，对角线 的最大值为_【答案】3【解析】设 ，则由余弦定理可得 ，由正弦定理可得 ，时， 有最大值 ， 取得最大值为 ，故答案为 .15. 三棱锥 的各顶点都在同一球面上，若 ， ， ，侧面 为正三角形，且与底面 垂直，则此球的表面积等于_【答案】【解析】设侧面 SAB 的外心为 ，底面 的外心为 ，球心为 ， 的中点为 ，因为侧面 为正三角形，且与底面 垂直，所以 为矩形，由正三角形的性质可得 ，由余弦定理可得，设 外接圆半径为，由正弦定理得 ，由勾股定理可得 ，外接球的表面积为 ，故答案为 .故
9、答案为16. 奇函数 是 上单调函数， 有唯一零点，则的取值集合为_【答案】【解析】函数 有且只有一个零点，即方程 有且只有一个根或两相等实数根，函数 f（x）是奇函数，即 =f（1+3x）有且只有一个根或两相等实数根，又 f（x）是 R 上的单调函数，方程 =1+3x，即 有且只有一个根或两相等实数根，作出 的图象：由图易得：的取值集合故答案为：三、解答题17. 已知点 在椭圆 上， 为椭圆 的右焦点， 分别为椭圆 的左，右两个顶点. 若过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆 交于 两点，且线段 的斜率之积为 .（1 ）求椭圆 的方程；（2 ） 已知直线 与 相交于点 ，证明： 三点共线 .【答
10、案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据点 在椭圆上和 的斜率之积为 可得到关于 的方程组，解方程组后可得椭圆的方程 （2）由（1）可得 轴，要证 三点共线，只需证 轴，即证 ，即证直线 与交点的横坐标为 1根据题意可得直线 ， ，故只需证当 x=1 时，成立即可，结合由直线的方程和椭圆方程联立消元后得到的二次方程可得 显然成立，故得所证结论成立试题解析：（1）点 在椭圆 ， 设 ，由线段 的斜率之积为 得， ，由解得， ， .所以椭圆 的方程为 .（2）由（1）可得 轴，要证 三点共线，只需证 轴，即证 .由 消去 y 整理得 ，直线与椭圆 交于 两点， 设 ， ，则 ， （*） ，因为直线 ， ，即证： ，
