1、2018 届河北省大名县 第一中学高三（实验 班）上学期第一次月考数学（文）（解析版）一、选择题1. 已知集合 A=x|x2+x-20,B=y|y=2x,xR,则 AB 等于 ( )A. (0,1 B. 1,+) C. (0,2 D. 【答案】A【解析】因为 x2+x-20,所以-2x1,根据指数函数的性质知 y=2x0,所以集合 A= ,B= ,则 AB= ,故选 A.|21 |0b,则 am2bm2;命题“xR,sin x 1”的否定是“ xR,sin x1”;函数 f(x)= -cos x 在0,+)内有且仅有两个零点. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】 对于,当
2、 x= 时,sin ,充分性成立;当 sin 时,x + +2k 或 x+ +2k,kZ,得3 (+2)=12 (+2)=12 2=6 2=56x=- +2k 或 x= +2k,kZ,故必要性不成立,故正确; 对于,当 m=0 时,若 ab,am2bm2 不成立,故不正确;3 3对于,命题“xR,sin x 1”的否定是“x 0R,sin x01”,故不正确;对于,函数 y= 与 y=cos x 的图象有且只有一个交点,故函数 f(x)= -cos x 在 内有且仅有一个零点,故不正确.综上,正确的只有一个,故选 A. 0,+)4. 下列函数中,既是奇函数又在 (0,+)上单调递增的函数是 (
3、 )A. y=ex+e-x B. y=ln(|x|+1) C. y= D. y=x-|【答案】D【解析】 A,B 选项中的函数为偶函数,排除,C 选项中的函数是奇函数,但在(0,+) 上不是单调递增函数.故选D.5. 设函数 f(x)=ln(1+x2)- ,则使得 f(x)f(2x-1)成立的 x 的取值范围是 ( )11+|A. B. C. D. (13,1) (,13)(1,+) (13,13) (,13)(13,+)【答案】A【解析】试题分析：当 时， 是增函数，又0是偶函数，由 ，故选 A.()=(),()考点：函数的奇偶性；函数的单调性6. 若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:
4、 P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上;P,Q 关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q )与( Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数 f(x)=则此函数的“ 友好点对 ”有 ( )(12),0,+1,0, A. 3 对 B. 2 对 C. 1 对 D. 0 对【答案】C【解析】设 f(x)= (x0)图象上任一点为 A(x,y)(x0,y0),点 A 关于原点的对称点 A(-x,-y)在 y=x+1 上,所以-(12)y=-x+1,即 y=x-1, 得“ 友好点对 ”的个数就是方程组 的根的个数,而 y=x-1(x0)的图象与 y=(12)
5、=1(0) 的图象有且只有一个交点,“友好点对”共 1 对,故选 C.=(12)7. 设函数 ,“ 是偶函数”是“ 的图象关于原点对称”的( )=(),=|()| =()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 是偶函数 ,而 不一定是奇函数,故 的图象不一定关于原点对称; 当=|()| =() =()的图象关于原点对称时,函数 是奇函数,则 是偶函数,因此“ 是偶函数”是“=() =() =|()| =|()|的图象关于原点对称” 的必要不充分条件.故选 B.=()8. 关于函数 y=2sin +1,下列叙述有误的是 ( )(3
6、+4)A. 其图象关于直线 x=- 对称4B. 其图象可由 y=2sin +1 图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到(+4)C. 其图象关于点 对称(1112,0)D. 其值域为-1,3【答案】C9. 已知ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 =0,则ABC 的面积为 ( )+2A. 1+ B. C. 1+ D. 212+2 22 12+22【答案】D【解析】.由 =0 得 =- ,两边平方可得 =0,则AOB=90;由+2 + 2 =0 得 =- ,两边平方可得 = ,则AOC=135;同理可得BOC=135, 则+2 +2 22ABC 的面积为 SAOB+SBOC+SAOC= ,故选
7、 D.12+24+24=12+2210. 已知向量 a=(cos,-sin),b=(-cos2,sin2)(,2),若向量 a,b 的夹角为 ,则有 ( )A. = B. =- C. =- D. =-2【答案】C【解析】由题意知 cos= =- ( ) =-cos=cos(-).因为|= 222+22+2 2+2(,2),所以 -(0,),而 0,所以 =-,故选 C.11. 已知数列 , 都是公差为 1 的等差数列， 是正整数 ，若 ，则 ( ) 1 1+1=10 1+2+9=A. 81 B. 99 C. 108 D. 117【答案】D【解析】试题分析：由题意可设 ， ，则 故正确选项为 D
8、1+2+9=考点：等差数列的运用【方法点睛】题中已知条件说明数列 是连续的自然数列，且首项为正数，据此便可假设数列 的首 相以及通项，同时也能得出 的首项以及通项；本题也可等差数列性质直接先求 ，然后累加求和12. 已知函数 ,关于 的方程 R)有四个相异的实数根,则 的取()=| 2()+(+1)()+4=0( 值范围是( )A. B. C. D. (4,4+1) (4,3) ( 4+1,3) ( 4+1,)【答案】A【解析】 = ,当 时 时, 单调递减， 时,()=| ,0,0 ()=(1)2 =0,=1,(0,1) () (1,+)单调递增,且当 ,当 , 当 时，() (0,1)时
9、,()(,+) (1,+)时 ,()(,+) 0 (,0) () ()(0,+)R)有四个相异的实数根.令 = 则2()+(+1)()+4=0( ()=,2+(+1)+40, ,即 .0,2+(+1)+4F(6),F(n)F(6)= ,故 的最小值为 . 33 33 212 212三、解答题17. 已知函数 f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x.(1)将函数 f(2x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象,若 x ,求函数 g(x)的值域;6 12,2(2)已知 a,b,c 分别为 ABC 中角 A,B,C 的对边,且满足 f(A)= +1,A ,a=2 ,b=2,求A
10、BC 的面积. 3【答案】 （1）0,3；（2）2 .3【解析】 【试题分析】 （1）先运用三角变换公式中的余弦二倍角公式进行化简，再借助正弦函数的图像的变换得到 g(x)，然后求 g(x)的值域；（2）先借助题设条件求出 A 的正弦与余弦，然后运用余弦定理求出边c，最后求出三角形的面积.解：(1) f(x)=cos 2x+2sin2x+2sin x=cos2x-sin2x+2sin2x+2sin x=cos2x+sin2x+2sin x=1+2sin x,所以 f(2x)=1+2sin2x. 因为函数 f(2x)的图象向右平移 个单位得到函数 g(x)的图象,6所以 g(x)=2sin +1
11、,即 g(x)=2sin +1.2(6) (23)因为 x ,所以 2x 所以 sin ,所以 g(x)0,3,12,2 36,23, (23) 12,1所以函数 g(x)的值域为0,3. (2) 因为 f(A)= +1,所以 sin A= ,332因为 A ,所以 cos A=. (0,2)又 cos A= ,a=2 ,b=2,所以 c=4. 2+222 3所以ABC 面积 SABC=bcsin A=2 . 318. 已知数列a n满足 a1=,an+1=3an-1(nN*).(1)若数列 bn满足 bn=an-,求证:b n是等比数列;(2)求数列 an的前 n 项和 Sn. 【答案】 （
12、1）见解析；（2） 。3+12【解析】 【试题分析】 （1）先依据题设得到 an+1 =3 (nN*),从而有 bn+1=3bn,b1=a1-=1,然后运用等比12 (12)数列的定义分析推证；（2）先借助（1）的结论及题设条件求出 Sn=30+3+3 n-1+，然后运用等比数列的前 n 项和求解.解：(1) 由题可知 an+1 =3 (nN*),从而有 bn+1=3bn,b1=a1-=1,12 (12)所以b n是以 1 为首项,3 为公比的等比数列. (2) 由第 1 问知 bn=3n-1,从而 an=3n-1+,有 Sn=30+3+3 n-1+=30+31+32+3n-1+n= . 19
13、. 正项数列 满足 . 2(21)2=0(1)求数列 的通项公式 ； (2)令 ，求数列 的前 项和为 . =1(+1) 【答案】 （1） ；（2） 。=22(+1)【解析】试题分析：（1）将 变形可得到通项公式，由各项均是正数，因此通项公2(21)2=0式为 =2（2）由 代入可得到数列 的通项公式 ，因此采用裂项相消法求和=2 =12(+1)试题解析：（1）（2）考点：数列求通项求和20. 已知三棱锥 A-BCD 中, ABC 是等腰直角三角形,且 ACBC,BC=2,AD平面 BCD,AD=1.(1)求证:平面 ABC平面 ACD;(2)若 E 为 AB 中点,求点 A 到平面 CED
14、的距离. 【答案】 （1）见证明过程；（2） 。255【解析】试题分析：（1）通过 ， 可证得 平面 ，又 平面 ，利用面面垂直 的判定定理可得证.(2) 利用等体积法 ，解得 .=13=131 =255试题解析（1）证明：因为 平面 平面 ，所以 ，又因为 ， , ,=所以 平面 平面 ，所以平面 平面 . , （2）由已知可得 ，取 中点为 ，连结 ，由于 ，所以 为等腰三角形，=3 =12=2 从而 ， ，由（1 ）知 平面 所以 到平面 的距离为 1， ，令 到平面=52 =154 , =32 的距离为 ，有 ，解得 . =13=131 =255点晴：本题考查的是空间的线面关系和空间多
15、面体体积的求解.第一问要考查的是面面垂直，通过先证明线和面内的两条相交直线垂直证得线面垂直，再结合面面垂直的判定定理，可证得；对于第二问点到平面的距离利用等体积法， ，解得 .=25521. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ,以椭圆短轴为直径的圆经过1(2,0),2(2,0)点 .(1,0)(1)求椭圆 的方程;(2)过点 的直线 与椭圆 相交于 两点,设点 ,直线 的斜率分别为 ,问 是否为定值? , (3,2) , 1,2 1+2并证明你的结论. 【答案】 （1） ；（2）是定值为 2。23+2=1【解析】试题分析：(1)由焦点坐标可得 ，又以椭圆短轴为直径的圆经过点 可得 ，=2 (1,0)
16、 =|=1所以可求出 ，从而得到椭圆方程；(2)当 的斜率不存在时，求出点 的坐标，再计算 ，当=3 , 1+2存在斜率时，设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，由韦达定理得到 ， =(1) 1+2=6232+1,计算 即可.12=32332+1 1+2试题解析： （1）依题意，由已知得 ， ，由已知易得 ，解得 ，=2 22=2 =|=1 =3则椭圆的方程为 .23+2=1（2） 当直线 的斜率不存在时，由 ，解得 . =123+2=1 =1,=63设 ，则 为定值.(1,63),(1,63) 1+2=2632+2+632 =2当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 . =(1)将 代入 整理
17、化简，得 .=(1)23+2=1 (32+1)262+323=0依题意，直线 与椭圆 必相交于两点，设 ， (1,1),(2,2)则 ， ，又 ，1+2=6232+1 12=32332+1 1=(11),2=(21)所以 1+2=2131+2232=(21)(32)+(22)(31)(31)(32)=2(11)(32)+2(21)(31)93(1+2)+12 =122(1+2)+2124(1+2)+693(1+2)+12=122(1+2)+232332+146232+1+6936232+1+32332+1 =12(22+1)6(22+1)=2综上得 为定值 2.1+2考点：1.椭圆的定义与性质
18、；2. 直线与椭圆的位置关系.22. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 . , , 2+2=2【答案】(1) ；（2） .=23 158【解析】 【试题分析】 （1）先正弦定理将已知 ,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出 ，然后运用余弦二倍角求出 ，进而运用=14 =78平方关系求出 .解：(1) ,2+2=2,2+2=2,=2+222 =2=12, .(0,) =23(2) 在 中,由正弦定理: ,得 ,= ,=2=122=12116=78.=12=1(78)2=158(1)求 的大小;(2)设 的平分线 交 于 ,求 的值. ,=23,=1 参考答案1. 【答案】A【解析】本题
19、考查集合的基本运算、 解一元二次不等式及求指数函数的值域,属于基础题.因为 x2+x-20,所以-2x1,根据指数函数的性质知 y=2x0,所以集合 A= ,B= ,则 AB= ,故选 A.|21 |0 |0b,am2bm2 不成立,故不正确;对于3 3,命题“xR,sin x 1”的否定是“x 0R,sin x01”,故不正确;对于,函数 y= 与 y=cos x 的图象有且只有一个交点,故函数 f(x)= -cos x 在 内有且仅有一个零点,故不正确.综上,正确的只有一个,故选 A. 0,+)4. 【答案】D【解析】本题考查函数的单调性与奇偶性知识,属于基础题.A,B 选项中的函数为偶函
20、数,排除,C 选项中的函数是奇函数,但在(0,+) 上不是单调递增函数.故选 D.5. 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性及导数在研究函数中的应用,解一元二次不等式、绝对值不等式,属于难题.f(-x)=ln =ln =f(x),函数 f(x)为偶函数.当 x0 时,f(x )=ln (1+x2) ,求导1+()2 11+| (1+2) 11+| 11+得 f(x)= 恒为正,即函数 f(x)在 单调递增,21+2+ 1(1+)2 0,+)f(x)是偶函数, f(x)在(-,0)上单调递减,则 f(x)f(2x-1)等价于 f(|x|)f(|2x-1|),即|x|2x-1|,平方得 3x2-
21、4x+10)图象上任一点为 A(x,y)(x0,y0),点 A 关于原点的对称点 A(-x,-y)在 y=x+1 上,所以-y=-x+1,即(12)y=x-1,得“友好点对”的个数就是方程组 的根的个数,而 y=x-1(x0)的图象与 y 的图象有且只=(12)=1(0) =(12)有一个交点,“友好点对” 共 1 对,故选 C.7. 【答案】B【解析】本题考查函数的奇偶性,考查图象的对称性.若 是偶函数,而 不一定=|()| =()是奇函数,故 的图象不一定关于原点对称 ;当 的图象关于原点对称时,函数 是奇函数,=() =()则 是偶函数,因此“ 是偶函数”是“ 的图象关于原点对称”的必要
22、不充分条件.故选 B.8. 【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质、 图象变换,属于中档题.关于函数 y=2sin +1,令 x=- ,求得 y=-1,为函数的最小值,故 A 正确; 由 y=2sin +1 图象上所有点4 (+4)的横坐标变为原来的倍,可得 y=2sin +1 的图象,故 B 正确;令 x= ,求得 y=1,可得函数的图象关于点(3+4) 1112对称,故 C 错误;函数的值域为-1,3, 故 D 正确.故选 C.(1112,1)9. 【答案】D【解析】本题考查向量的运算.由 =0 得 =- ,两边平方可+2 2得 =0,则AOB=90; 由 =0 得 =- ,两边平方可得
23、 = ,则 +2 +2 AOC=135;同理可得 BOC=135,则 ABC 的面积为 SAOB+SBOC+SAOC= ,故选 D.12+24+24=12+2210. 【答案】C【解析】本题考查向量的夹角、向量的坐标运算、 二倍角、同角三角函数的基本关系、诱导公式.由题意知 cos= =- ( ) =-cos=cos(-).因为|= 222+22+2(,2),所以 -(0,),而 0,所以 =-,故选 C.11. 【答案】D【解析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和 ，考查计算能力.,1=1+(11)1=1+11=101=9.故选 D.1+2+9=1+(1+1)+(1+8)=9+10+17=9+172 9=11712. 【答案】A【解析】本题考查分段函数导函数的应用 ，函数与方程的关系. = ,当()=| ,0,0
