1、2018 届河北省唐山市五校高三 2 月联考数学（理） （A 卷）试卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 2log(31)Axyx, 24Byx,则 BCR)（A 1, B C 1(3 D 1(,2)32已知复数 z满足 izi4)（ ，则 z的虚部是A-1 B 1 C-2 D2 3已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为A 5 B 6C 7 D 2 4设375314(),(),logabc，则 cba,的大小顺序是A B C D abc5如图的平面图形由 16 个全部是边长为 1 且有一个内角为 6
2、0的菱形组成，那么图形中的向量CDB,的数量积 A 172 B 59C8 D76执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为A 2018 B 2018 C 2019 D 2019 7. 若 sinco，则 sincoA 1 B1 C 5 D1 或 58若 ,xy满足0,则下列不等式恒成立的是A 1 B 2x C 20xy D 210xy9函数 )sin()(xf ( )的部分图象如图所示 ,则 A 3B 3 C 2D 2或10如图， F是抛物线 2:Cypx( 0)的焦点，直线 l过点 F且与抛物线及其准线交于 A,B,C 三点，若 3B, 9A，则抛物线 C的标准方程是A 2yx B 24y
3、x C 8 D 1611 ， 则 其 零 点 的 个 数 为已 知 函 数 xexfln3)(A0 个 B1 个 C 2 个 D 3 个12 已知四面体 ABCD 的四个顶点都在半径为 3 的球面上，AB 是球的直径，且ABCD，BC=3，CD=2，则四面体 ABCD 的体积为A 21 B 23 C 3 D 24二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 已知随机变量 2,N，若 0.2P，则 1P .14. 若 36dxn(其中 0n),则 nx)1（ 的展开式中 x的系数为 .15. 已知点 P(3,0)，在： 2y上随机取一点 Q,则 13的概率为 .16. 已知不
4、等式 ()xeab 恒成立，则 52ba的最大值为_.三、解答题：共 70 分 17 （12 分）数列 na的前 n 项和为 ,nS若 13a，点 ),(1nS在直线 1nyx*()nN上.（）求证：数列 是等差数列；（）若数列 nb满足12nan，求数列 nb的前 n 项和 T.18 （12 分）某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 x (单位：万元)和产品营业额 y (单位：万元)的统计折线图.()根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用 x与产品营业额 y的关系，请用相关系数加以说明；()建立产品营业额 y关于宣传费用 x的归
5、方程；()若某段时间内产品利润 z与宣传费 和营业额 y的关系为 50)8.01.(xz应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润. 参考数据： 713.28iy， 5.3， 7160.8ixy， 721().iy， 72.64参考公式：相关系数， niniiiiiiyxr1122)()(，回归方程 yabx中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 xbyaxniiiii 12,)(计算结果保留两位小数)19 （ 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 是边长为 2的正方形，.A（）求证： ；（）若 E， F分别为 ， 的中点， EF平面 PCD，求直线 与平面 所成角的大小20 （
6、12 分）已知点 F(1，0)，圆 E: 8)1(2yx，点 P 是圆 E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q()求动点 Q 的轨迹 的方程；()若直线 l与圆 O: 2yx相切，并与(1)中轨迹 交于不同的两点 A、B当O=，且满足 432时，求AOB 面积 S 的取值范围21 （12 分）函数 2()ln1)fx，（）求函数 (yf在点 ,()f处的切线方程；（）若 0m时，有 ()0xfe成立，求 m的取值范围.选考题：共 10 分请考生在第(22)，(23) 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐
7、标系 xOy中，曲线 C的参数方程是 12cos inxy（ 为参数） ，以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为3sincos0m（）写出曲线 的普通方程和直线 l的直角坐标方程；（）设点 ,P，直线 l与曲线 C相交于 A， B两点， 1PA，求实数 m的值23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 ,abc为正数，函数 ()15fx（）求不等式 (0f的解集；（）若 )x的最小值为 m，且 abc，求证： 221abc2018 年唐山市五校高三联考理科数学试卷答案一.选择题（每题 5 分，共 60 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8、 11 12(A) A B B D A A B D C C C B二、填空题：(每小题 5 分， 共 20 分)13. 0.8 14.60 15. 32 16. 3ln三、解答题： 17 （12 分）数列 na的前 n 项和为 ,nS若 1a，点 ),(1nS在直线 1nyx*()N上.(来I）求证：数列 是等差数列；（II）若数列 nb满足12nan，求数列 nb的前 n 项和 T解：（I） )(),( *1 NxyS在 直 线点上，,1n同除以 1:,11nS则 有 2 分数列 S是以 3 为首项，1 为公差的等差数列. 4 分（II）由（I）可知， ),(2*Nnn 当 n=1 时，a
9、1=3，当 ,12,1nSa时 经检验，当 n=1 时也成立， *().n 6 分121,nannbTb8 分211()2nnn 32T21nn 10 分即 112nnnT 12 分18 （ 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是边长为 2的正方形， .PABD （）求证： ；（）若 E， F分别为 ， 的中点， EF平面 PCD，求点 B 到平面 C的距离.解：（）连接 ，交 于点 O，底面 ABCD是正方形， BDAC，且 为 的中点，又 P， ， 平面 A-2 分由于 O平面 ，故 P，又 O，故 PDB；4 分（）设 的中点为 Q，连接 A， E， Q/ 12C， AFE
10、为平行四边形， /F， 平面 PCD， 平面 PD， Q， 的中点为 Q， 2A， 6 分由 平面 PCD，又可得 AC，又 ， Q， D平面 PA， A，又 B， 平面 B， 8 分由题意， ， P， 两两垂直，以 为坐标原点，向量， D， 的方向为 x， y， z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 则 (0,)， (2,0)， 2(,)Q， (0,2)D， (0,2)P， (,)AQ， (,)PB， 10 分而 为平面 CD的一个法向量，设直线 与平面 所成角为 ， 1sin2|PBAQ，直线 PB与平面 所成角为 6. 12 分19 （12 分）某公司想了解对某产品投入的
11、宣传费用与该产品的营业额的影响.下面是以往公司对该产品的宣传费用 x (单位：万元)和产品营业额 y (单位：万元)的统计折线图. ()根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用 x与产品营业额 y的关系，请用相关系数加以说明；()建立产品营业额 y关于宣传费用 x的归方程；()若某段时间内产品利润 z与宣传费 和营业额 y的关系为 50)8.01.(xz，应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润. 参考数据：713.28i， 5.3，7160.8i，721).iiy， 72.64参考公式：相关系数， niniiiiiiyxr1122)()(，回归方程 yabx中斜率和截距的最小
12、二乘法估计公式分别为 xbyxbniiiii 12,)(.(计算结果保留两位小数)（）由折线图中数据和参考数据得： 4x，271()8iix， 160.8437.20.9r因为 y与 x的相关系数近似为 0.99，说明 y与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与 的关系. 4 分（）715.3iy， 160.8437.20.1b3， 68.341.05a所以 关于 x的回归方程为 .xy. 8 分（）由 506305)801.( 2xz ，可得 3x时， max5.4z.所以投入宣传费 3 万元时，可获得最大利润 55.4 万元. 12 分20 （12 分）已知点 F(1，0)，
13、圆 E: 8)1(2yx，点 P 是圆 E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q()求动点 Q 的轨迹 的方程；()若直线 l与圆 O: 12yx相切，并与(1)中轨迹 交于不同的两点 A、B当O=，且满足432时，求AOB 面积 S 的取值范围()连接 QF，|QE|QF|=|QE|QP|=|PE|= 2(|EF|=2)，点的轨迹是以 E(-1，0) 、F(1，0)为焦点，长轴长 2a的椭圆，即动点 Q 的轨迹 的方程为 12yx； 4 分()依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线 l的方程为 nmyx( R)直线 l即 0nmyx与圆 O: 12yx相切， 1|
14、2n得 12 5 分又点 A、B 的坐标( 1x， y)、( 2， y)满足： 022yxnm消去整理得 02nm，由韦达定理得 21y， 221y其判别式 8)(8)(42 nnn ， 7 分 =OBA= 212121 ymyx3)()1( 222 nmy 2 3， 49 分212124yyABSO 122m 10 分 12m，且 2m 3， AOBS)( 46， 12 分21 （12 分）函数 2()ln1)fx，（）求函数 (yfx在点 ,()f处的切线方程；（）若 0m时，有 0xe成立，求 m的取值范围.解：（） ()2ln1)2lnfxx (1)f又 (1)f所以在点 ,(f处在切
15、线方程为 0y 4 分()由于函数 )yx定义域为 0,)所以 2()0(ln1(ln1)xx x emfeem6 分令 ln1)g则 ()x，可得当 (0,)x时， ()0gx，当 (1,)时， ()0gx所以 min()g 8 分令 ()xeh，则 2(1)xeh，可得当 0,1时， ()0，当 (,)时， ()0hx所以 max()he 10 分因此，由 得， 12 分选考题：共 10 分请考生在第(22)，(23) 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程是 12cos inxy（ 为参数）
16、 ，以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为3sincos0m（）写出曲线 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程；（）设点 ,P，直线 l与曲线 C相交于 A， B两点， 1PA，求实数 m的值解：（1） 212cos 1inxxyy， 故曲线 C的普通方程为 2 2 分直线 l的直角坐标方程为 33yxmyx4 分（2）直线 l的参数方程可以写为 2 1ty（ 为参数） 5 分设 A， B两点对应的参数分别为 1t， 2，将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程 21xy，可以得到2231mtt 230mt， 7 分所以 2121PABt 9 分20或 20，解得 3m或 0或 m 10 分23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 ,abc为正数，函数 ()15fxx（）求不等式 0f的解集；（）若 ()x的最小值为 m，且 abc，求证： 221abc解析:（） 15fx等价于 ()0x或 15()0x或 5(1)0x，解得 31或 5或 7 3 分所以不等式 ()fx的解集为 3x. 5 分（）因为 (1)56x，所以 m，即 6abc.法 1： 2ab， 2ac， 2bc
