1、2018 届江西省赣州市寻乌中学高三上学期期中考试数学（理）试题试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故选 C.2. 已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向量 ， ，由 ，得 ，解得： ，故选 B.3. 已知向量 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ， ，故选 C.考点：向量的运算.4. 已知 ，则 的值为（ ）A. B. C. D.
2、 【答案】B【解析】 ，则 ，故选 B.5. 莱因德纸草书 （Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把 100个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两分之和，则最小的 1 份为（ ）A. B. C. D. 【答案】C.6. 等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 ， ， ，若 ，则 ， 不成立；若 成立，则 ，又 ， ， ， 成立， 综合可知， “ ”是“ ”必要而不充分条件，故选 B.7. 已知函数 （，
3、）的图象如图所示，它与 轴相切于原点，且 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为 ，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：定积分在求面积中的应用【 思路点睛 】 由图可知 得到 的解确定出 的值，确定出 的解析式，由于阴影部分面积为 ，利用定积分求面积的方法列出关于的方程求出并判断的取舍即可8. 已知函数 是定义域为 的偶函数，且 ，若 在 上是减函数，记 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，函数是周期为 2 的周期函数； 为偶函数， 在 上是减函数， 在 上单调递增，并且 ， ， ， ，故选 A.点睛：本题主要考查偶函数的定义，函数的单调性
4、，首先根据 得函数为周期函数，偶函数在其对称区间内单调性相反，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间 上，根据单调性去比较函数值大小.9. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若函数 在区间 和 上均单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，得，由 ，得 ，当 时，函数的增区间为 ，当 时，函数的增区间为 ，要使函数 在区间 和 上均单调递增，则，解得 ，故选 B.点睛：本题考查三角函数的图象变换，考查了 型函数的性质，是中档题；由函数的图象平移求得函数 的解析式，进一步求出函 的
5、单调增区间，结合函数 在区间 和 上均单调递增列关于的不等式组求解.10. 已知数列 满足 （ ） ， ，且 ，若 为数列 的前 项和，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】数列a n满足 （ ） ， 为等差数列， ，且 ，设公差为 ，解得 ， ， ，设 ，则 ，当， ，函数单调递减，当 ， ，函数单调递增，当 时，当 时， ， 的最小值为 ，故选 D.11. 已知函数 （其中为自然对数的底数） ，则 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，又， 有两个实数解， ， ， ， ， ，且当时， ， ，当 时， ，
6、 ，当 时， ， ，只有选项C 符合，故选 C.12. 定义在 上的函数 满足： ， ， 是 的导函数，则不等式 （其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ，（ ） ，则 ， ， ， 在定义域上单调递增， ， ，又， ， ，不等式的解集为 ，故选 A.点睛：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键；构造函数 ，（ ） ，研究 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 .第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是，
7、， ， ， ， ，则 _【答案】【解析】 ， ， ，由正弦定理 ，得 ， 可得 B 是锐角，因此， ，故答案为 .14. 已知 ， 满足 且 的最大值与最小值的比值为 ，则的值是_【答案】【解析】由 可得 ， ，不等式组表示的平面区域如图所示的 ，由 可得 ，则表示直线 在 轴上的截距，截距越大，越小，作直线 ： ，把直线向可行域平移，当直线经过 A 时最小，由 ，可得 ，此时 ，当直线经过点 B 时，最大， ，此时 ，故 ，解得 ，故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还
8、是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 一艘海轮从 出发，以每小时 海里的速度沿东骗西 方向直线航行，30 分钟后到达 处，在 处有一座灯塔，海轮在 观察灯塔，其方向是东偏南 ，在 处观察灯塔，其方向是北偏东 ，则 ， 两点间的距离是_海里【答案】【解析】如图，由已知可得， ， ， ，从而 ，在 中，由正弦定理可得，故答案为 .16. 数列 满足 （ ， ） ， 是 的前 项和，若 ，则 _【答案】【解析】设 ，由 得： ， ， ，故，故答案为 4.三、解答题 （本
9、大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在 中，点 在边 上， ， ， （1）求 的值；（2）若 的面积为 7，求 的长【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求 ，由 ，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求 的值，再利用三角形面积公式求得 ，与余弦定理即可得解 的长度.试题解析：（1）因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 （2）在 中，由正弦定理 ，故 又 ，解得 在 中，由余弦定理得.18. 已知数列 的前 项和为 ， ， （ ） （1）求数列 的通项公式；（
10、2）设 （ ） ，数列 的前 项和为 ，证明： （ ） 【答案】(1) (2)见解析.【解析】试题分析：（1）由数列递推式结合 ，可得 （ ） ，然后利用累积法求得数列通项公式；（2）把数列 的通项公式代入 ( )，然后利用裂项相消法求和，放缩得答案试题解析：（1）当 时， ，解得 ；当 时， ， ，以上两式相减，得 ， ， ，（2）当 时， ；当 时， ， ， （ ） 点睛：本题主要考查了 这一常用等式，需注意 的范围，累乘法求通项公式以及数列求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于
11、 ，错位相减法类似于，其中 为等差数列， 为等比数列等.19. 在 中，内角 ， ， 所对边长分别为， ， ， ， ， （1）求 的最大值；（2）求函数 的值域【答案】(1) 的最大值为 16;(2) 值域为 .【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，代入余弦定理可得 ，由基本不等式可得，进而可得 的最大值；（ 2）结合（1）可得 ，进而可得的范围，利用辅助角公式将函数化为 ，由三角函数的知识可得所求 .试题解析：（1） ， ，即 ，又 ，所以 ，即 的最大值为 16，当且仅当 ， 时取得最大值（2）结合（1）得， ，所以 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，当 ，即 时， ，当 ，即 时， ，所以
12、，函数 的值域为 20. 已知数列 是公差为正数的等差数列，其前 项和为 ，且 ， （1）求数列 的通项公式；（2）数列 满足 ， .求数列 的通项公式；是否存在正整数 ， （ ） ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) ；存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列.【解析】试题分析：（1）直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）把数列 的通项公式代入 ，然后裂项，累加后即可求得数列 的通项公式；假设存在正整数 ， （ ） ，使得 ， ， 成等差数列，则 ，由此列关于 的方程，求解得答案.试题解析：（1）设数列 的公差为 ，则 由 ， ，得 解得 或 （舍去） 所以 （2）因为 ， ，所以 ，即 ， ， ， （ ）累加得 ，所以 ，也符合上式，故 ， 假设存在正整数 、 （ ） ，使得 ， ， 成等差数列，则 又 ， ， ，所以 ，即 ，化简得： ，当 ，即 时， （舍去） ；当 ，即 时， 符合题意所以存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列
