1、乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page1 of 18知识结构一、 排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关一般地，从 个不同的元素中取出 m( n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元n素中取出 m个元素的一个排列根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺
2、序不同，它们也是不同的排列排列的基本问题是计算排列的总个数从 n个不同的元素中取出 m( n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做 P根据排列的定义，做一个 元素的排列由 个步骤完成：步骤 1：从 n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有 n种方法；步骤 2：从剩下的( 1)个元素中任取一个元素排在第二位，有( 1)种方法；步骤 m：从剩下的 ()nm个元素中任取一个元素排在第 m个位置，有 1nm（ ） (种)方法；由乘法原理，从 个不同元素中取出 个元素的排列数是 12n（ ） （ ） （ ） ，即12.1mnPn（ ） （ ） （ ）
3、，这里， n，且等号右边从 开始，后面每个因数比前一个因数小 1，共有 个因数相乘二、 排列数一般地，对于 mn的情况，排列数公式变为 1231nPn（ ） （ ） 表示从 个不同元素中取 个元素排成一列所构成排列的排列数这种 个排列全部取出的排列，叫做 n个不同元素的全排列式子右边是从 开始，后面每一个因数比前一个因数小 ，一直乘到 的乘积，记为 !，读做 的阶乘，则nP还可以写为： !n，其中 !123nn （ ） （ ） 排列组合乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page2 of 18在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些
4、物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算三、 组合问题日常生活中有很多“分组”问题如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题一般地，从 n个不同元素中取出 m个( n)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个组合从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合从 n个不同元素中
5、取出 m个元素( n)的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m个不同元素的组合数记作 nC一般地，求从 个不同元素中取出的 个元素的排列数 mnP可分成以下两步：第一步：从 个不同元素中取出 个元素组成一组，共有 C种方法；第二步：将每一个组合中的 m个元素进行全排列，共有 m种排法根据乘法原理，得到 nPC因此，组合数 12)13mn （ ） （ （ ）（ ） （ ） 这个公式就是组合数公式四、 组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质： mnC( )这个公式的直观意义是： n表示从 个元素中取出 个元素组成一组的所有分组方法 nmC表示从 n个元素中取出( m)个元素组成一组
6、的所有分组方法显然，从 n个元素中选出 个元素的分组方法恰是从 个元素中选 个元素剩下的( )个元素的分组方法例如，从 5人中选 3人开会的方法和从 5人中选出 2人不去开会的方法是一样多的，即 325规定 1nC， 0n五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：所要分解的物体一般是相同的：所要分解的物体必须全部分完：参与分物体的组至少都分到1 个物体，不能有没分到物体的组出现乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page3 of 18在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已
7、知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法六、 使用插板法一般有如下三种类型：1 m个人分 n个东西，要求每个人至少有一个这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的()个空隙中放上 (1)m个插板，所以分法的数目为1mnC2 个人分 个东西，要求每个人至少有 a个这个时候，我们先发给每个人 (1)a个，还剩下(1)na个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型来处理就可以了所以分法的数目为()mC3 m个人分n个东西，允许有人没有分到这个时候，我们不妨先借来乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page4 of 18m个东西，每
8、个人多发1个，这样就和类型一样了，不过这时候物品总数变成了()nm个 ，因乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page5 of 18此分法的数目为 1mnC例题精讲一可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例 1】 （1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2 ）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有
9、多少种不同的结果？（3 ）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1） （2） （3）【例 2】 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 67种不同方案.【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A、 B、 C、 D、38838A38【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把 8 名学生看作 8 家“店” ，3 项冠军看作 3 个“客” ，他
10、们都可能住进任意一家 “店” ，每个 “客”有 8 种可能，因此共有 种不同的结果。所以选 A二相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例 1】 ,BCDE五人并排站成一排，如果 ,AB必须相邻且 在 A的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把 视为一人，且 B固定在 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，42种【例 2】 （2009 四川卷理）3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 间接法 6 位同学
11、站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 2234CA=种其中男生甲站两端的有 ，符合条件的排法故共有 288 1223AC=4三相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page6 of 18【例 1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数为5A种，再用甲乙去插 6 个空位有26A种，不同的排法种数是52630A种【例 2】 书架上某层有 6 本书
12、，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 1789=04【例 3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为526A3600【例 4】 某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6项工程的不同排法种数是 【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5 个空中，可得有25A20 种不
13、同排法。【例 5】某市春节晚会原定 10 个节目，导演最后决定添加 3 个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的 10 个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种.【解析】： 190=【例 6】.马路上有编号为 1，2，3 ，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯35C种方法,所以满足条件的关灯方案有 10 种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排
14、队模型，装盒模型可使问题容易解决.【例 7】 3 个人坐在一排 8 个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？【解析】： 解法 1、先将 3 个人（各带一把椅子）进行全排列有 A ，*，在四个空3中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 A 种，所以每个人左右两边都空位的排法有14=24 种.314A解法 2：先拿出 5 个椅子排成一排，在 5 个椅子中间出现 4 个空，*再让 3 个人每人带一把椅子去插空，于是有 A =24 种.34【例 8】 停车场划出一排 12 个停车位置，今有 8 辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？【解析】：先排好 8 辆车有
15、 A 种方法，要求空车位置连在一起，则在每 2 辆之间及其两端的 98个空档中任选一个，将空车位置插入有 C 种方法，所以共有 C A 种方法. 19198注：题中*表示元素， 表示空.四元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。【例 1】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ） 高考资源网 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种【解析】： 方
16、法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。23A6方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法 4312C；若小张、小赵都入选，则有选法 123A，共有选法 36 种，选 A. 乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page7 of 18【例 2】 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有13A种，4 名同学在其余 4 个位置上有4A种方法；所以共有437A种。.【例 3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】 法一： 法二： 法三：1
17、6530A256036067A五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高考资源网 【例 1】 （1 ） 6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种（2 ）把 15 人分成前后三排，每排 5 人，不同的排法种数为（A） （B） （C） （D） 5103105A153510A（3 ） 8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】 ：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素
18、排成一排，共672种，选 C. （2）答案：C（3 ）看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有24A种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有5种，故共有5760种排法.五定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例 1】. ,BDE五人并排站成一排，如果 B必须站在 的右边（ ,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） 【解析】 ： 在 A的右边与 在 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即5602种【例 2】 书架上某层有 6 本书，新买
19、3 本插进去，要保持原有 6 本书的顺序，有多少种不同的插法【解析】 ：法一： 法二：39A961A【例 3】将 A、B、C、D、E、F 这 6 个字母排成一排，若 A、B、C 必须按 A 在前，B 居中，C 在后的原则（A、B、C 允许不相邻） ，有多少种不同的排法？ 【解析】 ：法一：36法二： 631A六标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例 1】 将数字 1，2 ，3，4 填入标号为 1，2 ，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6 种 B、9
20、 种 C、11 种 D、23 种 【解析】 ：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 331=9种填法，选 .【例 2】 编号为 1、2 、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3 、4、5 的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10 种 B 20 种 C 30 种 D 60 种 乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page8 of 18答案：B【例 3】：同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人
21、从中拿一张别人送出的贺年卡，则 4 张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6 种 （B）9 种 （C）11 种 （D）23 种 【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为 a、b、c、d。第一步，甲取其中一张，有 3 种等同的方式；第二步，假设甲取 b，则乙的取法可分两类：（1 ）乙取 a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2 ）乙取 c 或 d（2 种方式） ，不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加法原理和乘法原理，一共有 种分配方式。 故选（B）129()【例 4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )（A）6
22、0 种 （B）44 种 （C）36 种 （D）24 种 答案：B 六不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例 1】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高考资源网 分成 1 本、2 本、3 本三组；分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本；分成每组都是 2 本的三个组；分给甲、乙、丙三人，每个人 2 本；分给 5 人每人至少 1 本。【解析】 ：（1） （2 ） （3） （4 ） （5）32516C32516AC326C2462155432CA【例 2】将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则
23、不同的分配方案有 种（用数字作答） 【解析】：第一步将 4 名大学生按， 2，1，1 分成三组，其分法有214CA;第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇，其分法有3A所以满足条件得分配的方案有21346CA说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.【例 3】 5 名志愿者分到 3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A）150 种 (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种 【解析】：人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两种方式，若是 1,2,2，则有31352A60 种，若是 1,1,3，则有12354CA90 种，所以共有 1
24、50 种，选 A【例 4】 将 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）A70 B140 C280 D840 答案 ：（ A ）【例 5】 将 5 名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有（ ）乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page9 of 18（A）种 （B ）种 （C）种 （D）种【解析】：将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将 5名教师分成三组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有1254A种方法，再将 3 组分到 3
25、 个班，共有3190种不同的分配方案，选 B.【例 6】 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目 ,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 A16 种 B36 种 C42 种 D60 种【解析】：按条件项目可分配为 2,10与 ,的结构，2344620CA故选 D；【例 7】 （1 ）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 答案： .（2 ） 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有多少种？答案：43128
26、C【例 8】 有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种【解析】：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有21075C种，选 C.【例 9】.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，
27、有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有38A；若乙参加而甲不参加同理也有 8种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另两个城市有28A种，共有27方法.所以共有不同的派遣方法总数为4328840种【例 10】 四个不同球放入编号为 1，2 ，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C种，再排：在四个盒中每次排 3 个有34种，故共有234C种.七相同元素的分配问题隔板法：【例 1】：把 20 个相
28、同的球全放入编号分别为 1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【解析】：向 1，2，3 号三个盒子中分别放入 0，1，2 个球后还余下 17 个球，然后再把这 17个球分成 3 份，每份至少一球，运用隔板法，共有 种。06C【例 2】 10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为684C种 乐课力
29、模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page10 of 18变式 1：7 个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种变式 2：马路上有编号为 1，2，3 ，4，5，6 ，7，8 ，9 的 9 盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有 种【例 3】：将 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球放入 4 各不同的盒子中的 3 个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？【解析】： 1、先从 4 个盒子中选三个放置小球有34C
30、种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球所产生的 3 个、4 个 5 个空挡中分别插入两个板。各有23C、4C、 种方法。3、由分步计数原理可得34C25=720 种八多面手问题（ 分类法-选定标准）【例 1】： 有 11 名外语翻译人员，其中 5 名是英语译员，4 名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出 8 人，使他们可以组成翻译小组，其中 4 人翻译英语，另 4 人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的 8 人名单可以开出几张？ 3123524542534125412354
31、5 CC变式：. 有 11 名外语翻译人员,其中有 5 名会英语,4 名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出 8 人,组成两个翻译小组,其中 4 人翻译英语,另 4 人翻译日语,问共有多少不同的选派方式? 答案 ：九走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）【例 1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有 16 级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？【 解析】 ：插空法解题：考虑走 3 级台阶的次数：1）有 0 次走 3 级台阶（即全走 2 级） ，那么有 1 种走法；2）有 1 次走三级台阶。 （不可能完成任务） ；3）有两次走 3 级台阶，
32、则有 5 次走 2 级台阶：（a ）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空中，有 种16C（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空中，有种走法。254）有 3 次（不可能）5）有 4 次走 3 级台阶，则有 2 次走两级台阶，互换角色，想成把两个 2 级台阶放到 3 级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种 走法；125C6）有 5 次（不可能） 故总共有：1+6+15+15=37 种。变式：欲登上第 10 级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有 ( )（A）34 种 （B）55 种
33、 （C）89 种 （D）144 种 答案： （C）十排数问题（注意数字“0” ）【例 1】 （1 ）由数字 0，1，2，3，4 ，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种【解析】 ：按题意，个位数字只可能是 0，1，2 ，3，4 共 5 种情况，分别有5A个，乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page11 of 18131313142,AA个，合并总计 300 个, 选 B.（2 ）从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取
34、法（不计顺序）有多少种？【解析】 ：将 ,0I 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集 4,8120A ；能被4 除余 1 的数集 597B ，能被 4 除余 2 的数集 2,69C ，能被 4 除余 3 的数集3,7D，易见这四个集合中每一个有 25 个元素；从 中任取两个数符合要；从 ,BD中各取一个数也符合要求；从 C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有21255种.十一染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论 ;（2 ）根据相对区域是否同色分类讨论;（3 ）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。【例 1】 将一个四
35、棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5SABD种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_.【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B 、C、D 四点，此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色，故有 种方法。125460CA(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种染A 与 B，由于 A、B 颜色可以交换，故有 种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染 D 或 C，而 D 与24C，而 D 与 C 中另一个只需染与
36、其相对顶点同色即可，故有 种方法。1254(3)若恰用五种颜色染色，有 种染色法510综上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。 【答案】420.【解析二】设想染色按 SABCD 的顺序进行，对 S、A、B 染色，有 种染色方法。360由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色，这影响到 D 点颜色的选取方法数，故分类讨论：C 与 A 同色时（此时 C 对颜色的选取方法唯一） ，D 应与 A（C） 、S 不同色，有 3 种选择；C 与 A 不同色时， C 有 2 种选择的颜色，D 也有 2 种颜色可供选择，从而对 C、D 染色有种染色方法。1327由乘法原理，总的染色
37、方法是 6074【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用 5 种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？总体实施分步完成,可分为四大步:给 S 涂色有 5 种方法;给 A 涂色有 4 种方法(与 S 不同色);给 B 涂色有 3 种方法( 与 A,S 不同色);给 C,D 涂色.当 C 与 A 异色时 ,C,D 都有 2 种涂色方法; 当 C 与 A 同色时,C 有一种涂色方法(与 A 同色),D有 3 种涂色方法.给 C,D 涂色共有 22+3=7 种方法.由分步计数原理共有 5437=420 种方法规律小结 涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论
38、;（2）根据相对区域是否同色分类讨论;（3 ）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。十二 “至多” “至少”问题用间接法或分类:十三 几何中的排列组合问题:【例 1】 已知直线 （ 是非零常数）与圆 有公共点，且公共点的横坐标和纵1xyab， 210xy坐标均为整数，那么这样的直线共有 条 【解析】： 圆上的整点有： 12 个(6,8) (,6)(,)乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page12 of 18其中关于原点对称的有 4 条 不满则条件 切线有 ，21C=6 12C=其中平行于坐标轴的有 14 条 不满则条件 66-4+12-14
39、=60 答案:60【 巩固巩固 】 4 男 2 女 6 个人站成一排合影留念，要求 2 个女的紧挨着有多少种不同的排法？【例 1】 将 A、B、C、D、E、F、G 七位同学在操场排成一列，其中学生 B 与 C 必须相邻请问共有多少种不同的排列方法？【 巩固巩固 】 6 名小朋友 、 、 、 、 、ABCDEF站成一排，若 ，AB两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若 、 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？【例 2】 书架上有 4 本不同的漫画书，5 本不同的童话书，3 本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法
40、？【 巩固巩固 】 四年级三班举行六一儿童节联欢活动整个活动由 2 个舞蹈、2 个演唱和 3 个小品组成请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page13 of 18【例 3】 8 人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？【 巩固巩固 】 a，b，c ，d，e 五个人排成一排，a 与 b 不相邻，共有多少种不同的排法？【例 4】 一台晚会上有 6个演唱节目和 4个舞蹈节目求：当 4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？当要求每 2个舞蹈节目之间
41、至少安排 1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【 巩固巩固 】 由 4个不同的独唱节目和 3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？【例 5】 有 10 粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page14 of 18【 巩固巩固 】 小红有 10 块糖，每天至少吃 1 块，7 天吃完，她共有多少种不同的吃法？【 巩固巩固 】 有 12 块 糖 ， 小 光 要 6 天 吃 完 ， 每 天 至 少 要 吃
42、 一 块 ， 问 共 有 种 吃 法 【例 6】 10 只无差别的橘子放到 3 个不同的盘子里，允许有的盘子空着请问一共有多少种不同的放法？【 巩固巩固 】 将 13个相同的苹果放到 3个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。【例 7】 把 20 个苹果分给 3 个小朋友，每人最少分 3 个，可以有多少种不同的分法？【 巩固巩固 】 三所学校组织一次联欢晚会，共演出 14 个节目，如果每校至少演出 3 个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page15 of 18【例 8】 (1)小明
43、有 10 块糖，每天至少吃 1 块，8 天吃完，共有多少种不同吃法?(2)小明有 10 块糖，每天至少吃 1 块，8 天或 8 天之内吃完，共有多少种吃法 ?【 巩固巩固 】 有 10 粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？【例 9】 马路上有编号为 1， 2， 3， 10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？【 巩固巩固 】 学校新修建的一条道路上有 12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的 2盏灯，那么熄
44、灯的方法共有多少种？【例 10】 在四位数中，各位数字之和是 4 的四位数有多少？【 巩固巩固 】 大于 2000 小于 3000 的四位数中数字和等于 9 的数共有多少个？乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page16 of 18【例 11】 所有三位数中，与 456 相加产生进位的数有多少个？【 巩固巩固 】 从 1 到 2004 这 2004 个正整数中，共有几个数与四位数 8866 相加时，至少发生一次进位？课堂检测【随练 1】 某小组有 12 个同学，其中男少先队员有 3 人，女少先队员有 4人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起
45、，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？【随练 2】 把 7 支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙 3 个人，每人至少 1 支，问有多少种方法？【随练 3】 在三位数中，至少出现一个 6 的偶数有多少个？乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page17 of 18家庭作业【作业 1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。【作业 2】 学校合唱团要从 6个班中补充 8名同学，每个班至少 1名，共有多少种抽调方法？【作业 3】 能被 3 整除且至少有一个数字是 6 的四位数有个。【作业 4】 学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生某次比赛后他们站成一排照相，请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？【作业 5】 由 0，1，2，3，4，5 组成的没有重复数字的六位数中，百位不是 2 的奇数有个乐课力模块化分级讲义体系 五年级奥数.计数综合. 排列组合（ABC 级）.学生版 Page18 of 18【作业 6】 停车站划出一排 12个停车位置，今有 8辆不同的车需要停放，若要求剩余的 4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?教学反馈学生对本次课的评价特别满意 满意 一般家长意见及建议家长签字：
