1、江苏省泰州中学 2017-2018 学年度高三年级学情调研第卷（共 60 分）一、填空题：本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知全集 ，集合 ，则 .1,23456I132,6ABICAB2.已知复数 （ 是虚数单位）是实数，则 zai,aRia3.根据如图的伪代码，输出的结果 为 T4.某校在市统测后，从高三年级的 1000 名学生中随机抽出 100 名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示，则估计该校高三学生中数学成绩在 之间的人数为 10,45.“ ” 是“函数 为奇函数”的 条件.0a32fxaxR6.已
2、知 ，则 ,sin45tn7.已知点 满足 ，则 的最大值为 ,Pxy1yxyzx8.设正项等比数列 满足 ，若存在两项 ，使得 ，则 的值为 na5342a,nma14nman9.在正方体 中， 为 中点， 为 的中点， ，则三棱锥 的体1ABCDP1AQ1C2ABBPQD积为 10.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，不等式 的fxR0x21fx23fxfx解集用区间表示为 11.在 中， ，设 是 的内心，若 ，则 的值为 ABC2,3ACOABCAOpBqCp12.在 中， ，以 为边作等腰直角三角形 （ 为直角顶点， 两点2,1D、 D在直线 的两侧） ，当 变化时，线段 长的最
3、大值为 ABCD13.矩形 中， 为矩形 所在平面内一点，且满足 ，矩形对角线 ，DPAB3,4PAC6AC则 P14.已知 ，若存在实数 满足 ，0ba,xy0,xayb，则 的最大值为 2222xybab二、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知 .23sincos1fxx（1）求 的最大值，以及该函数取最大值时 的取值集合；x（2）在 中， 分别是 所对的边长，且 ，求角 .ABC,abc,，ABC1,2,abfAC16.在直三棱柱 中， 是 的中点， 分别是113,BCD ,EF上一点，且 .1, 2EFa（1）求证： 平面
4、；1BAD（2）求三棱锥 的体积；（3）求证： 平面 ./EF17. 已知椭圆的离心率为 ，焦距为 2，直线 与椭圆 交于 两点， 为其右准线0ykxC,ABM与 轴的交点，直线 分别与椭圆 交于 两点，记直线 的斜率为 .x,AMBC1,AB11k（1）求椭圆 的方程；C（2）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.1k18. 如图，在某商业区周边有 两条公路 和 ，在点 处交汇，该商业区为圆心角 ，半径 3 的扇形，1l2Okm现规划在该商业区外修建一条公路 ，与 ， 分别交于 ，要求 与扇形弧相切，切点 不在 ，AB,ABT1l上.2l（1）设 试用 表示
5、新建公路 的长度，求出 满足的关系式，并写出 的,OAakmb,a,ab,ab范围；（2）设 ，试用 表示新建公路 的长度，并且确定 的位置，使得新建公路 的长度TAB,ABAB最短.19. 已知函数 的图象在 处的切线方程为 ，其中 是自然对数的底数.xafe0yxe（1）求实数 的值；（2）若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；0,221fxkxk（3）若函数 的两个零点 ，试判断 的正负，并说明理由.lngxfbR12,12xg20. 已知两个无穷数列 分别满足 ，其中 ，设数列,nab11,|2|nnba*nN的前 项和分别为 .,nab,nST（1）若数列 都为递增数列，求数
6、列 的通项公式；,n ,nab（2）若数列 满足：存在唯一的正整数 ，使得 ，称数列 为“ 坠点数列”.c2k1kcnck若数列 为“ 坠点数列” ，数列 为“ 坠点数列” ，是否存在正整数 ，使得 ，若napnqm1mST存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.m选修 4-2：矩阵与变换21.已知：点 在变换 ： 作用后，再绕原点逆时针转 90，得到点 ，若点AT2xxyy B的坐标为（-3,4） ，求点 的坐标.B选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22.若以直角坐标系 的 为极点， 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 的极坐xOyx C标方程是 .2cosin（1）将曲线 的极
7、坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；C（2）若直线 的参数方程为 （ 为参数） ，当直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 .l32xtylCAB|A23.在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字 1,2,3,4） ，由转盘停止时指针所指数字决定是否过关.在闯 关时，转 次，当次转得n数字之和大于 时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得 10 欧元，之后每多闯2n一关，奖金翻倍，假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立.（1）求某人参加一次游戏，恰好获得 10 欧元的概率；
8、（2）某人参加一次游戏，获得奖金 欧元，求 的概率分布和数学期望.X24.设集合 ，集合 ，满足 ，且1,23,5,*SnN123,Aa123a.32,aAS（1）若 ，求满足条件的集合 的个数；6nA（2）对任意的满足条件的 及 ，求集合 的个数.n试卷答案一、填空题1. 2,6【分析】根据题意和补集、交集的运算分别求出 和 .ICAIB【解答】解：因为全集 ，集合 ，所以 ，又 ，则1,2345,6I1,352,46ICA2,36B，故答案是 .2,6ICAB2. 13.100 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件 时， 的
9、值.135719TT【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件 值， ，故输出 1903572的 值为 100.故答案为 100.T4. 660 【分析】由样本频率分布直方图，求出该校高三学生中数学成绩在 之间的频率，由此能10,4估计该校高三学生中数学成绩在 之间的人数.10,4【解答】解：由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在 之间的频率为：,，估计该校高三学生中数学成绩在 之间的人数为：0.2.60.2.6104.故答案为 660.15.充要6. 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 的值，可得 的值，再利用两
10、7 cos4tan4角差的正切公式，求得 的值.tan【解析】解：已知 ， ，30,si455,4， ，24cos1sin45sin31tan4tan4co，故答案为： .tan777. 3 【分析】画出满足条件的平面区域，由 表示过平面区域的点 与 的直线的斜率，yzx,xy0,通过图象即可得出.【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由 表示过平面区域的点 与 的直线的z,斜率，由 ，得 ，显然直线过 时， 取得最大值， ，故答案为：3.14xy,3A1,3A3yzx8.6【分析】正项等比数列 满足 ，则 ，可得 ，na5342a231qa210,qq解得 ，若存在两项 ，使得 ，可得
11、 ，化简即可得出.12q,nm1nm1421mn【解答】解：正项等比数列 满足 ，则 ，可得 ，na5342a23qa210,qq解得 ，若存在两项 ，使得 ，可得 ， .故答12q,nm1nm1421mn6案为 6.9. 【分析】由题意画出图形，取 中点 ，连接 ，可得 平面 ，求出 的43PQG,DBPQBGD面积，代入棱锥体积公式求解.【解答】解：如图，连接 ，则 ，取 中点 ，连接 ，可得/AC,，又 ，则 平面 ，在 中，由,BGPQDDBPBRtP，可得 ，同理可得 ，则 边 上的高为5,23G3GD， ，则 .故答案为 .223112BDGS14233BPCDV10. 【分析】根
12、据题意，由函数在 时的解析式分析可得其在 上减函数，结合函数的1,30x,0奇偶性可得 在 上为减函数，又由 ，分析有 ，解可得 的取值范围，fxR2-3ffx23x即可得答案.【解答】解：根据题意， 是定义在 上的奇函数，则有 ，当 时，fxR0f0为减函数，则当 时， 也为减函数，综合可得 在 上为减221fx0xxfxR函数，若 ，则有 ，解可得 ，即不等式 的解集-3ffx32132-3为 .故答案为： .,11. 【分析】在 两边分别同乘以向量 ，从而得到2AOpBqC，ABCAOB，画出图形并取 边的中点 在 上，所以2pBqCA ,D，由余弦定理可得 ，这样进行数量积的计算即可得
13、到3coscs|DQ 3cos4关于 的两个方程，解方程组即可求出 ，从而求出 .,pq,pqp【解答】解：如图， 为 的内心， 为 中点，则： 在线段 上；OABCDACOBD，根据余弦定理： ；由132cos|DAQ 493cos2得pBqC， ，O2A 2coscosOBApBqACB；同理 ，可以得到 ；联立可求得9342pCq9p； ，故答案为 .32,7pq3p212. 【答案】3【解析】不妨设 ，在 中，由余弦定理得 ，ABDkBC 2 02cos9CDkkABC整理得 ，在 中， ，22sinCkA1AB，又由正弦定理知 ，5cosDk ,sinsisinik从而 ， ，从而当
14、 时，2incs54sinC0C34， .2max9Cmax313. 【分析】由题意可得 ，再利用两个向量的数量积的定义，1PBDABPAD余弦定理求得它的值. 【解答】解：由题意可得 2ABPD90PADB 9936cosPACPC，故答案为 .22118822C 1214. 【分析】设 ，由 得30,AbBxCaby22xaybxay为等边三角形，设 边长为 ， ，过 作 轴与 ，则ABCm06OABCH， ，当 ,cos,cos66Habcos13tan2ba0=时， ，故答案为 . max23b23二、解答题15. 【分析】 （1）利用倍角公式，和差公式可得 ，再利用三角函数的值域即可
15、得出.（2） ，fx ab可得 为锐角，由 ，可得 ，解得 ，再利用余弦定理与正弦定理即可得出.A2fAsin6AA【解答】解：（1） ，当23icos13sin2cos2in26fxxxxx，即 ，解得 时取等号. 的最大值为 2，该sin216x226=k,6kZf函数取最大值时 的取值集合为 .|,x（2） ， ，解得 ， , 为锐角，2fAsin26A,6AkZabA ，由余弦定理可得： ， ，化为6cosab221cos6，解得 ，由正弦定理可得： ，可得210c62csiniacAC， 或 .sin1i24ACa015C16.证明：（1） 为 中点， .在直三棱柱 中， 底,BCD
16、DB1B1B面 ， 底面 ， . 平面 ， 平面1A1,ACF， .在矩形 中， ，1BC1AF12CFaFa， ， ，RtDtB1DB019,DBD平面 .1,（2） 平面 ， .1BFAD1 31 152332BADFADF aVSBADFB（3）连 ，设 ，连 ， ，四边形 为矩形， 为,ECMECaECM中点， 为 中点， . 平面 ， 平面 ， 平面/.ADF17.【分析】 （1）由题意 ，根据椭圆的离心率，即可求得 的值， ，即可求得椭圆1ca221bac方程；（2）根据椭圆的准线方程，即可求得 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得 及 ，AM1AB，存在 ，使得 恒成立.0163ykkx31k【解答】解：（1）由椭圆的焦距 ，则 ，双曲线的离心率 ，则 ，则2c 2cea，椭圆的标准方程： ；221bac21xy（2）设 ，则 ，则 ，右准线方程 ，则 ，直0,Axy220000,yBkx2x,0M线 的方程为 ，M0x，整理得： ，该方程两个根为 ，022yx2 222000xyxx10,Ax ，则12222 00000 48=Ayxxyxx 043x，则 ，同理可得11100043,2232AAAyx 01032， yA
